四川省内江市第六中学2022-2023学年高二数学（理）上学期期中考试试卷（Word版附解析）

内江六中2022-2023学年度（上）高2024届数学

期中考试试题（理科）

时间：120分钟    总分：150分

一、选择题（每小题5分，共60分）

1. 过点且与直线平行的直线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】设出直线方程，代入点求出，得到.

【详解】设与直线平行的直线方程为，

将代入，得，解得：，

故直线方程为.

故选：D

2. 下列说法正确的是（    ）

A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

B. 过空间内不同的三点，有且只有一个平面

C. 棱锥的所有侧面都是三角形

D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台

【答案】C

【解析】

【分析】根据定义逐项分析即可

【详解】对：根据棱柱的定义知，有两个面平行，其余各面都是四边形，

且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，所以错误，反例如图：

对：若这三点共线，则可以确定无数个平面，故错误；

对：棱锥的底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，故正确；

对：只有用平行于底面平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故错误，

故选：.

3. 若为圆的弦的中点，则直线的方程为

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：利用圆心和弦的中点的连线和弦所在的直线垂直，两直线垂直，斜率之积等于-1，求出直线AB的斜率，用点斜式求得直线AB的方程．

圆的圆心为（1，0），

直线AB的斜率等于，由点斜式得到直线AB的方程为，即，

故选 C．

考点：直线一般方程

4. 某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x值为39，则a=（ ）

A. 19 B. 9 C. 4 D. 3

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：根据框图的循环结构依次为: ; ; ,跳出循环,输出,解得．

故选：C

考点：算法．

5. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求.

【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.

故选：B.

6. 若，满足约束条件，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由约束条件画出可行域，问题转化为直线与可行域有交点情况下截距最小，进而确定临界点，求目标式的最小值即可.

【详解】由题设约束条件，作出可行域，如下图所示，

将目标函数为，并平移直线.

结合图象，当直线过点时，取得最小值.

由，得.

∴.

故选：C.

7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据三视图还原出几何体，然后计算表面积即可.

【详解】本题考查三视图，考查直观想象与数学运算的核心素养．

如图所示，该几何体是四棱锥，其中，，，所以四棱锥的表面积为．

故选：B.

8. 空间四边形ABCD的两对边，E、F分别是AD、BC上的点，且，，则AB与CD所成角大小为（    ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°

【答案】C

【解析】

【分析】作交于，连接，可证得，得是与所成的角或其补角，由平行线性质求得，由余弦定理求得，从而得与所成的角．

【详解】作交于，如图，连接，

则，又，所以，所以，

所以是与所成的角或其补角，

，，所以，，

，所以，

中，，

是三角形内角，所以，

所以与所成的角是，

故选：C．

9. 已知点P在圆上，点，，则错误的是（    ）

A. 点P到直线AB的距离小于10 B. 点P到直线AB的距离大于2

C. 当最小时， D. 当最大时，

【答案】B

【解析】

【分析】求出过的直线方程，再求出圆心到直线的距离，得到圆上的点到直线的距离范围，判断选项A与B；画出图形，由图可知，当过的直线与圆相切时，满足最小或最大，求出圆心与点间的距离，再由勾股定理求得判断选项C与D．

【详解】圆的圆心为，半径为4，

直线的方程为，即，

圆心到直线的距离为，

则点到直线的距离的最小值为，最大值为，

所以点到直线的距离小于10，但不一定大于2，故选项A正确，B错误；

如图所示，当最大或最小时，与圆相切，点位于时最小，位于时最大），

连接，，可知，，，

由勾股定理可得，故选项CD正确．

故选：B．

10. 从原点O引圆C：的切线，当m变化时切点P的轨迹方程是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由图知，设，表示出三个线段的长度，代入等式整理即得．

【详解】根据题意画出示意图，圆心，半径，

设切点的坐标为，由切线的性质可知

，，，

所以点的轨迹方程为

故选：C．

11. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若满足，顶点，，且其“欧拉线”与圆M：相切，则下列结论正确的是（    ）

A. 圆M上的点到原点的最大距离为

B. 圆M上不存在三个点到直线的距离为

C. 若点在圆M上，则的最小值是

D. 若圆M与圆有公共点，则

【答案】D

【解析】

【分析】由题意求出的垂直平分线可得的欧拉线，再由圆心到直线的距离求得，得到圆的方程，求出圆心到原点的距离，加上半径判断A；求出圆心到直线的距离判断B；再由的几何意义，即圆上的点与定点连线的斜率判断C；由两个圆有公共点可得圆心距与两个半径之间的关系，求得的取值范围可判断D.

【详解】对于A，由题意可得的欧拉线即为的垂直平分线，

因为，，

所以的中点坐标为，，

所以线段的垂直平分线方程为，即，

因为“欧拉线”与圆M：相切，

所以，所以圆M：，

所以圆M上的点到原点的最大距离为，所以A错误；

对于B，因为圆心到直线的距离为，而圆的半径为，

所以圆M上存在三个点到直线的距离为，所以B错误；

对于C，表示圆上的点与定点连线的斜率，

设过与圆相切的直线方程为，即，则

，解得，

所以的最小值为，所以C错误，

对于D，圆的圆心为，半径为，

因为圆M：的圆心为，半径为，

所以要使圆M与圆有公共点，则只要圆心距的范围为，

所以，解得，所以D正确，

故选：D.

12. 在正三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，，点E在线段AB上，且，过点E作该正三棱锥外接球的截面，则所得截面圆面积的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】构造以PA，PB，PC为棱长的正方体PADB﹣CFGH，且该正方体棱长为，以B为原点，BP为x轴，BD为y轴，BH为z轴，建立空间直角坐标系，则该正三棱锥外接球球心为AH中点O，求出外接球的半径，当所得截面圆面积取最小值时截面圆的圆心为E，从而当所得截面圆面积取最小值时截面圆的半径为r，由此能求出所得截面圆面积的最小值.

【详解】∵在正三棱锥中，PA，PB，PC两两垂直，，

∴构造以PA，PB，PC为棱长的正方体，且该正方体棱长为，

以B为原点，BP为x轴，BD为y轴，BH为z轴，建立空间直角坐标系，

则该正三棱锥外接球球心为AH中点O，半径为R，

∵点E在线段AB上，且AE＝2EB，

∴E，O，

，

过点E作该正三棱锥外接球的截面，当所得截面圆面积取最小值时截面圆的圆心为E，

∴当所得截面圆面积取最小值时截面圆的半径

r，

∴过点E作该正三棱锥外接球的截面，

则所得截面圆面积的最小值为.

故选：D

二、填空题（每小题5分，共20分）

13. 圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是__________．（选择以下答案填空：“相离”，“外切”，“相交”，“内切”，“内含”）

【答案】内切

【解析】

【分析】首先计算两圆圆心之间的距离，利用圆心距与两圆半径作比较即可判断.

【详解】由题意可得圆：的圆心为，半径；

圆：的圆心为，半径，

两圆圆心距，

因为，所以两圆内切，

故答案为：内切

14. 已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为______．

【答案】

【解析】

【分析】先依据斜二测画法的规则求得四棱锥的底面积，再去求其体积即可.

【详解】依据斜二测画法的规则，四棱锥的底面是边长为1，高为的平行四边形.

则四棱锥的底面积为，此四棱锥的体积为

故答案为：

15. 已知圆O：x2+y2=1，A(3，3)，点P在直线l：x﹣y=2上运动，则|PA|+|PO|的最小值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】首先作点关于直线的对称点，由图象可知|PA|+|PO|=|PA|+|PO′|≥|AO′|，计算最小值.

【详解】由于点A与点O在直线l：x﹣y=2的同侧，

设点O关于直线l：x﹣y=2的对称点为O′(x′，y′)，

∵kOO′=﹣1，∴OO′所在直线方程为y=﹣x，

联立，解得，即OO′的中点为(1，﹣1)，

∴O′(2，﹣2)，

则|PA|+|PO|=|PA|+|PO′|≥|AO′|=.

故答案为：.

16. 如图，在底面边长为4，高为5的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为__________．

【答案】

【解析】

【分析】结合图形，由题意可知大球的半径为，设小球的半径为，利用已知条件，结合勾股定理，推出结果即可．

【详解】由题意可知大球的半径为，设小球的半径为，如图，设大圆的圆心为O，小圆的圆心为C，E为小圆与上底面的切点，作交于点D，由题意可知，，，，所以，即，，解得，结合可知

故答案为：．

三、解答题（共6个小题，共70分）

17. 如图，AB是圆柱的底面直径，AB＝2，PA是圆柱的母线且PA＝2，点C是圆柱底面圆周上的点.

（1）求圆柱的侧面积和体积；

（2）若AC＝1，D是PB的中点，点E在线段PA上，求CE＋ED的最小值.

【答案】（1）圆柱的侧面积为，体积为   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据圆柱的侧面积和体积公式即可求解；

（2）将CE和ED转化到一个平面中，利用两点间线段最短即可求得最小值.

【小问1详解】

圆柱的底面半径r＝1，高h＝2，

圆柱的侧面积.

圆柱的体积.

【小问2详解】

将△PAC绕着PA旋转到使其与平面PAB共面，且在AB的反向延长线上.

∵，，

，，

∴在三角形中，

由余弦定理得，

∴CE＋ED的最小值等于.

18. 已知关于、的方程．

（1）若方程表示圆，求的取值范围；

（2）若圆与圆外切，求的值；

（3）若圆与直线相交于、两点，且，求的值．

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）利用二次方程表示圆可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围；

（2）求出两圆圆心坐标与半径，利用两圆外切可得出关于实数的等式，即可解得实数的值；

（3）求出圆的圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.

【小问1详解】

解：由已知可得，解得.

【小问2详解】

解：圆标准方程为，该圆的圆心为，半径为，

圆的标准方程为，其中，该圆圆心为，半径为，

由于两圆外切，则，解得.

【小问3详解】

解：圆的圆心到直线的距离，

由勾股定理可得，解得.

19. 已知圆C：，直线l：．

（1）求证：直线l与圆C恒相交；

（2）当时，过圆C上点作圆的切线交直线l于点P，Q为圆C上的动点，求的取值范围．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）直线方程整理为关于的方程，然后由恒等式知识列方程组求解得出直线所过定点坐标，证明定点在圆内即可；

（2）求出点坐标，再计算（为圆心），由加减半径得距离的最大值和最小值，从而得所求范围．

【小问1详解】

∵直线l的方程可化为m(x＋2y－7)＋2x＋y－8＝0，故l恒过点A(3，2)．

∵(3－2)2＋(2－3)2＝2＜4，即点A在圆C内，

∴直线l与圆C恒相交．

【小问2详解】

圆心是,圆半径为2,因此过的切线方程为x＝0．

又当m＝1时，l：x＋y＝5，

∴联立，得交点P（0，5），

∴，圆半径为2，

∴．

20. 已知某几何体的直观图及该几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图为矩形，俯视图为直角梯形，侧（左）视图为等腰直角三角形，尺寸如图所示．

（1）求此几何体的体积；

（2）求异面直线AC与所成角的大小；

（3）求点到平面的距离．

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）题干中的几何体可以看作三棱柱截去三棱锥得到的，结合棱柱、棱锥体积公式，以及题干数据求解即可；

（2）取CC1中点D，连接DB1，DA1．由平行关系∠DA1B1为所求角，结合题干数据求解即可；

（3）等体积法，可得解.

【小问1详解】

如图所示，作交延长线于，连接，

故题干中的几何体可以看作三棱柱截去三棱锥得到的，

结合三视图可知平面，平面，

【小问2详解】

取CC1中点D，连接DB1，DA1．

∵DC∥AA1，DC＝AA1．

∴四边形DCAA1为平行四边形．

∴AC∥DA1，AC＝DA1．

故∠DA1B1为所求角或其补角．

△DA1B1中，，

，

故异面直线AC与所成角的大小为.

【小问3详解】

由题意，点到平面的距离可看作三棱锥以为底面的高，记所求距离是h，结合三视图可知，平面，

由等体积法，即，

结合三视图，，

∴，

∴

21. 已知直角三角形的项点坐标，直角顶点，顶点在轴上.

（1）求边所在的直线方程；

（2）设为直角三角形外接圆的圆心，求圆的方程；

（3）已知与平行的直线交轴于点，交轴于点.若为圆上任意一点，求三角形面积的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

（1）设中点为，则，得到，求出，利用点斜式写方程即可；（2）利用（1）得到圆心坐标以及半径即可得解；（3）先求，再求直线的方程，点到直线的距离，则三角形的高，最后利用求解即可.

【详解】

（1）设中点，又，

则，

，

则,又，

所以，

则，

所以，

故，

则边所在的直线方程为：；

所以边所在的直线方程为：；

（2）由为直角三角形外接圆的圆心，

则为的中点坐标为，

又,

则圆的方程为：；

（3）由，，

得，

直线与直线平行，又，

则直线的方程为：，

则，

所以点到直线的距离，

则三角形的高，

，

则，

三角形面积的取值范围为.

【点睛】方法点睛：圆上的点到直线的距离的范围问题，转化为圆心到直线的距离加半径最大，减半径最小.

22. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上的圆C经过点，且被y轴截得的弦长为．经过坐标原点O的直线l与圆C交于M，N两点．

（1）求圆C的方程；

（2）求当满足时对应的直线l的方程；

（3）若点，直线PM与圆C的另一个交点为R，直线PN与圆C的另一个交点为S，分别记直线l、直线RS的斜率为，，求证：为定值．

【答案】（1）   

（2）   

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由题意设邮圆方程为（），然后由已知点坐标和轴上的弦长列方程组，得方程；

（2）过点C作CD⊥MN于D，由是中点，由平面向量的性质得，从而利用勾股定理求得，再设出直线方程，由点到直线距离公式求得参数值得直线方程；

（3）设，，，，写出直线方程，与圆方程联立求得点坐标（用表示），同理得点坐标，然后计算斜率进行证明．

【小问1详解】

由已知圆C的圆心在x轴上，经过点，

且被y轴截得的弦长为．设圆C：（），

所以，解得，

所以圆C的方程为；

【小问2详解】

过点C作CD⊥MN于D，由是中点，

由得到，，

所以，

即，

所以

设直线l的方程为（直线l与x轴重合时不符题意）

由圆心到直线距离公式得，，

所以直线l的方程为．

【小问3详解】

设，，，，

直线PM的方程为，其中．

与联立得，

由韦达定理得，

所以，，

所以，同理，

所以

，

所以．

【点睛】思路点睛：本题考查求圆的方程，考查向量的线性运算在几何中的运用，直线与圆相交问题．难点是定值问题，方法是直接法，设，，由解方程组的方法用的坐标表示的坐标，然后直接计算斜率．