四川省遂宁中学2022-2023学年高二数学(理)上学期期中考试试卷(Word版附解析)
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四川省遂宁中学2022~2023学年度上期半期考试
高二理科数学
考试时间:120分钟 满分:150分
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的班级、姓名和准考证号填写在试卷和答题卡上.
2.选择题用2B铅笔在对应的题号涂黑答案.主观题用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡上对应的答题区域内.
3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,请将答题卡上交.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一.选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分)
1. 直线的倾斜角为( )
A. B. C. D. 不存在
【答案】C
【解析】
【分析】直线的斜率不存在,即得倾斜角.
【详解】直线的斜率不存在,直线与轴垂直,
其倾斜角为.
故选:C.
2. 设点是点,,关于平面的对称点,则( )
A. 10 B. C. D. 38
【答案】A
【解析】
【分析】写出点坐标,由对称性易得线段长.
【详解】点是点,,关于平面的对称点,
的横标和纵标与相同,而竖标与相反,
,,,
直线与轴平行,
,
故选:A.
3. 已知直线两坐标轴上的截距互为相反数,则实数a=( )
A. 1 B. -1
C. 2或1 D. 2或-1
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用直线的截距互为相反数求出参数的值.
【详解】解:当时,直线为,故直线无横截距,不符合题意;
当时,直线的横截距为,纵截距为
由于直线两坐标轴上的截距互为相反数,故,解得或.
故选:D.
4. 如图,一个水平放置的图形的直观图是一个等腰直角三角形,斜边长,那么原平面图形的面积是( )
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据斜二测画法可得原图形为直角三角形,运算即可得解.
【详解】根据斜二测画法可得原图形为如图所示,
因为是等腰直角三角形,根据斜二测画法可得为直角三角形,
,,,
所以原平面图形的面积是.
故选:B.
5. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为,,过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】分析:首先根据正方形的面积求得正方形的边长,从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高,从而利用相关公式求得圆柱的表面积.
详解:根据题意,可得截面是边长为的正方形,
结合圆柱的特征,可知该圆柱的底面为半径是的圆,且高为,
所以其表面积为,故选B.
点睛:该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题,在解题的过程中,需要利用题的条件确定圆柱的相关量,即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高,在求圆柱的表面积的时候,一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.
6. 设,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,下列命题中正确的是 ( )
A. 若,,,则 B. 若,,,则
C 若,,,则 D. 若,,,则
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.
【详解】解:对于A:若,,,则与可能平行、相交、异面,故A错误;
对于B:若,,,则与可能平行、异面,故B错误;
对于C:若,,则,又,所以,故C正确;
对于D:若,,,则与可能平行、相交(不垂直)、垂直,故D错误;
故选:C
7. 某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为( )
A. 2 B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
由三视图做出几何体的直观图,再根据体积公式计算即可得答案.
【详解】解:根据三视图可得直观图为四棱锥,如图:
底面是一个直角梯形,
,,
,,
且底面,
∴该四棱锥的体积为,
故选:D.
【点睛】本题考查根据三视图求几何体的体积,考查空间想象能力,运算能力,是基础题.
8. 过点作直线,若点、到它的距离相等,则直线的方程为( )
A. 或 B.
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】分两种情况讨论:①;②直线过线段的中点.求出两种情况下直线的斜率,利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】分以下两种情况讨论:
①若,则直线斜率为,
此时,直线的方程为,即;
②若直线过线段的中点,则直线的斜率为,
此时,直线的方程为,即.
综上所述,直线的方程为或.
故选:C.
9. 已知,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知条件以及,解得,再利用二倍角公式即可化简求得结果.
【详解】,且,
,解得.又,
.
,,
.
故选:D.
【点睛】本题主要考查的是同角三角函数基本关系式,二倍角公式在三角函数化简求值中的应用,是基础题.
10. 方程表示的曲线是( )
A. 一个圆和一条直线 B. 半个圆和一条直线
C. 一个圆和两条射线 D. 一个圆和一条线段
【答案】C
【解析】
【分析】
根据两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为或,表示以原点为圆心,3为半径圆和直线在圆外面的两条射线,如图所示.
【详解】解:变形为:或,
表示以原点为圆心,3为半径的圆和直线在圆外面的两条射线,如右图.
故选:.
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,利用了数形结合的思想,画出相应的图形是解本题的关键.
11. 如图所示,在正四棱锥中,E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,动点P在线段MN上运动(与点M,N均不重合)时,给出下列四个结论:
①EP⊥AC;②EPBD;③EP平面SBD;④EP⊥平面SAC.其中恒成立的结论为( )
A. ①③
B. ②④
C. ①③④
D. ②③④
【答案】A
【解析】
【分析】连接、相交于点O,连接.
对于①,先证明平面与平面平面,可以得到平面,即可证明;
对于②,利用异面直线的定义即可判断;
对于③,由①可知平面平面,利用面面平行的性质即可得到;
对于④,由①同理可得平面,若平面,得到矛盾.
【详解】如图所示,连接、相交于点O,连接,
对于①,由正四棱锥,可得平面.
因为平面,所以.
因为,平面,
所以平面.
因为E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,
所以,
因为平面,平面,
所以平面平面.所以平面.
因为平面,所以,故①正确;
对于②,由异面直线的定义可知与是异面直线,不可能有,故②不正确;
对于③,由①可知平面平面,
因为平面,所以平面,故③正确;
对于④,由①同理可得平面,
若平面,则,与矛盾,
故与平面不垂直,故④不正确.
故选:A.
12. 我们知道,在平面直角坐标系中,方程表示的图形是一条直线,具有特定性质:“在轴,轴上的截距分别为”;类比到空间直角坐标系中,方程表示的点集对应的图形也具有某特定性质,设此图形为,若与平面所成角正弦值为 ,则正数的值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由方程表示平面,且在x轴,y轴,z轴上的截距分别为,设平面与x轴,y轴,z轴的交点分别为A,B,C,利用的等面积法求解.
【详解】解:由题意,方程表示平面,且在x轴,y轴,z轴上的截距分别为,
如图所示:
设平面与x轴,y轴,z轴的交点分别为A,B,C,
中,BC边上的高为h,则m与zoy平面所成的角正弦值为,
所以 ,解得,
因为,
所以,
因为,
所以由等面积得,
解得,
故选:D
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.)
13. 圆心在直线上的圆与轴交于两点,则圆的方程为___.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析:先由条件求得圆心C的坐标,再求出半径r=|AC|,从而得到圆C的方程.
因为直线AB的中垂线方程为x=-3,代入直线x-2y+7=0,得y=2,
故圆心的坐标为C(-3,2),再由两点间的距离公式求得半径r=|AC|=
∴圆C的方程为.
故答案为.
考点:圆的标准方程.
14. 如图,在正方体中,上底面中心为,则异面直线与所成角的余弦值为______
【答案】
【解析】
【分析】由题意,连接和,结合正方体的结构特征,得到异面直线与所成角即为直线与所成角,设,在直角中,即可求解,得到答案.
【详解】由题意,连接和,设正方体的棱长为,则,
在正方体中,可得,
所以异面直线与所成角即为直线与所成角,设,
直角中,可得
在直角中,可得.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解,其中解答中结合正方体的结构特征,得到异面直线与所成角即为直线与所成角是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.
15. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》并头两句为“白日登山望锋火,黄昏饮马傍交河”,其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”,即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发,先到河边饮马再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,已知军营所在的位置为,若将军从山脚下的点处出发,河岸线所在直线方程为,则“将军饮马”的最短总路程为___________
【答案】
【解析】
【分析】先找点关于直线的对称点,然后计算对称点到点的距离即可.
【详解】设点关于直线的对称点为,
得与直线垂直,点与点的中点坐标为
建立方程组,解得:,
所以
所以,
所以“将军饮马”的最短总路程为.
故答案为:
16. 如图1所示的几何模型是由一个半圆和矩形组成的平面图形,将半圆沿直径折成直二面角(如图2)后发现,在半圆弧(不含、点)上运动时,三棱锥的外接球始终保持不变,若,,则该三棱锥外接球的表面积为______.
【答案】.
【解析】
【分析】设半圆的圆心为,设外接球的球心为,则面,取的中点,则垂直平分,即为外接球的半径,由勾股定理可得半径的长,从而得到外接球的表面积.
【详解】由题意,如图,将半圆沿直径折成直二面角,设半圆的圆心为,
可得半圆面,设外接球的球心为,则面,
取的中点,则垂直平分,即为外接球的半径,
且四边形为长方形,
是直角三角形,所以半径,
三棱锥的高不变,
三棱锥外接球的半径,
从而可得该三棱锥外接球的表面积.
故答案为:.
三、解答题(17题10分,其余每题各12分)
17. 已知两条直线:,:.
(1)若,求的值;
(2)若,求的值.
【答案】(1)1;(2).
【解析】
【分析】
(1)由求解,同时要检验是否重合;
(2)由求解.
【详解】(1)由于,所以,解得或,
时两直线方程分别为,,两直线平行,
时,两直线方程分别为,,即,两直线重合,不合题意,舍去.
所以;
(2)若,则,.
【点睛】本题考查两直线平行与垂直的条件.在由两直线平行求参数时要进行检验,排除重合的情形.
18. 已知数列的前n项和Sn=n2+2n.
(1)求{an}通项公式;
(2)设bn=,的前n项和为Tn,求Tn
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由与的关系即可求解;
(2)利用裂项相消法即可求和.
【小问1详解】
当时,,
当时,由,符合上式.
所以的通项公式为.
【小问2详解】
,
,
.
19. 已知三垂线定理:在平面内的一条直线和平面的一条斜线的射影垂直,则它和这条斜线垂直.请用图形语言和数学符号翻译该定理并证明.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】按照定理内容转化成符合语言再证明即可.
【详解】解:已知三垂线定理:在平面内的一条直线和平面的一条斜线的射影垂直,则它和这条斜线垂直.
如图所示:若,是垂足,斜线,,,证明.
证明:,,
,
,
又,都在平面内,
平面,
平面,
.
20. 如图,已知三棱台中,平面平面,是正三角形,侧面是等腰梯形,,为的中点.
(1)求证:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)分别取、的中点、,连接、、,证明出平面,利用线面垂直的性质可证得结论成立;
(2)以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴的空间直角坐标系,利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【小问1详解】
证明:如图,分别取、的中点、,连接、、,
为等边三角形,为的中点,则,
因为平面平面,平面平面,平面,
平面,同理可证平面,所以,,
分别过点、在平面内作,,垂足分别为点、,
因为,,,所以,四边形为矩形,
因为四边形为等腰梯形,则,,
又因为,所以,,
所以,,
为的中点,则,且,
又因为,所以,四边形为矩形,所以,,
因为,、平面,平面,
平面,.
【小问2详解】
解:因为平面,,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示:
则、、、,
设平面的法向量为,,,
则,取,可得,
,.
因此,直线与平面所成角的正弦值为.
21. 从①直线与平面ABCD所成的角为60°;②为锐角三角形且三棱锥的体积为2这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并完成解答.
如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,平面ABCD,E,F分别为AB,SC的中点.
(1)求证:直线平面;
(2)若,,______,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)取的中点,证明四边形为平行四边形,从而,则可得到平面;
(2)若选①首先证明为正三角形,从而取中点为,以为坐标原点,,,的方向分别为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,计算出平面的一个法向量,平面的一个法向量,利用向量夹角公式即可得到答案;若选②,先有棱锥体积公式得到,则得到,从而其对角,以下步骤与选①一致.
【小问1详解】
如图所示,取的中点为,连接,,
为中点,所以,
所以且,
因为为中点,四边形为菱形,所以且,
所以且,
所以四边形为平行四边形,所以,
因为平面,平面,所以平面.
【小问2详解】
选择条件①:
因为平面,所以直线与平面所成角为.
因为,,所以,所以为正三角形.
取中点为,连接,以为坐标原点,,,方向分别为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示
则,,,,,
,,.
设平面的一个法向量
则,即,令,则,
设平面的一个法向量,
则,即,令,则,
设平面与平面所成锐二面角为,则,
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
选条件②:由,
解得, 因为,所以.则其对角,
取中点为,连接,以为坐标原点,,,的方向分别为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,以下步骤与选①一致.
22. 如图正方形的边长为,、分别为,的中点,以为棱将正方形折成如图所示的的二面角,点在线段上.
(1)若为的中点,且直线与平面的交点为,试确定点的位置,并证明平面.
(2)是否存在点,使得直线与平面所成的角为?若存在,求的长; 若不存在,说明理由.
【答案】(1)点在的延长线上,且,证明见解析;
(2)存在,或,理由见解析.
【解析】
【分析】(1)先确定点在平面与平面的交线上,从而得到,连接交与点,则为的中点,连接,由中位线定理证明,利用线面平行的判定定理证明即可.
(2)建立合适的空间直角坐标系,求出点的坐标和向量,设,求出直线的方向向量与平面的法向量,由向量的夹角公式建立关于的关系,求出的值,再求解的长即可.
【小问1详解】
证明:直线平面,故点在平面也在平面内,所以点在平面与平面的交线上,
如图所示,
由已知得,且点是中点,
所以,
故,,
所以在的延长线上,且,
延长与,且交于点,连接,,连接,
因为四边形为矩形,所以为中点,
故为的中位线,所以,
又平面,平面,
所以平面;
【小问2详解】
由已知可得,,且,,平面,
平面,
又平面,所以平面平面,
由已知得,取中点,则,,
所以以点为坐标原点,如图建立空间直角坐标系,
则,,,,
设,则,
所以,,,
设平面的法向量,
则,令,则,,
所以,
又直线与平面所成角为,
故,
即,
化简可得,解得或,
即或,
故存在点,使直线与平面所成角为,
此时或.
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