2023-2024学年四川省眉山市仁寿县文宫中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年四川省眉山市仁寿县文宫中学高一上学期期中数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设是定义域为的函数，命题“，”，则命题的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.
【详解】命题“，”的否定是：，.
故选：C
2．设集合，，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】计算，再计算交集得到答案.
【详解】，，.
故选：A
3．若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】依次判断各选项中的函数是否满足定义域和值域要求即可.
【详解】对于A，函数在处有意义，不满足定义域为，A错误；
对于B，函数的定义域为，值域为，满足题意，B正确；
对于C，函数在处有意义，不满足定义域为，C错误；
对于D，函数在处有意义，不满足定义域为，D错误.
故选：B.
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】通过求出两不等式的解，即可得出结论.
【详解】由题意，
在中，或，
在中，或，
∴“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．或B．或
C．或D．
【答案】A
【分析】由已知列出不等式组，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，，
解得，或.
故选：A．
6．已知且，则的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】变换，利用均值不等式计算最值即可.
【详解】，
当且仅当，即，时等号成立，
故选：C.
7．若函数满足对任意的实数都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意，需要保证每段函数在对应区间为增函数，且在分割点处需要满足函数值对应的关系即可，列出不等式求解，则问题得解.
【详解】因为函数满足：
对任意的实数，都有成立，
所以函数在（-∞，+∞）上是增函数，
所以在（-∞，1），（1，+∞）上均单调递增，
且-12+2a×1≤（2a-1）×1-3a+6，
故有，
解得1≤a≤2．
所以实数a的取值范围是[1，2]．
故选：B．
【点睛】本题考查根据函数单调性求参数范围的问题，属基础题.
8．若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】确定函数是上的减函数，且为偶函数，考虑和两种情况，根据函数的单调性和奇偶性解不等式得到答案.
【详解】对任意的，且，都有，
即对任意两个不相等的正实数，，不妨设，
都有，所以有，
所以函数是上的减函数，
又因为为奇函数，即有，有
所以有，所以为偶函数，
所以在上单调递增.
①当，即时，有，由，
得，所以，解得，此时无解；
②当，即时，由，得，
所以，解得或.
综上所述：不等式的解集为.
故选：B
二、多选题
9．已知集合，则下列表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】先求得集合，集合元素与集合的关系，集合与集合的关系，即可求解.
【详解】由方程，解得或，所以集合可表示为，所以C正确，
根据元素与集合的关系，可得，，所以A正确，B不正确，D不正确.
故选：AC.
10．某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为，观影人数记为，关于的函数图像如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后关于的函数图像．给出下列四种说法，其中正确的说法是（ ）
A．图（2）对应的方案是：提高票价，并提高固定成本
B．图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本
C．图（3）对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变
D．图（3）对应的方案是：提高票价，并降低固定成本
【答案】BC
【分析】由图（1）可设关于的函数为，，，分析出为票价，为固定成本，根据图（2）和图（3）图像的变化，即可分析出正确答案．
【详解】由图（1）可设关于的函数为，，，为票价，
当时，，则为固定成本；
由图（2）知，直线向上平移，不变，即票价不变，变大，则变小，固定成本减小，故A错误，B正确；
由图（3）知，直线与轴的交点不变，直线斜率变大，即变大，票价提高，不变，即不变，固定成本不变，故C正确，D错误；
故选：BC．
11．下列命题正确的是（ ）
A．若，，则；
B．若正数a、b满足，则；
C．若，则的最大值是；
D．若，，，则的最小值是8；
【答案】BD
【分析】举反例得到A错误，根据函数的单调性计算最值得到C错误，利用均值不等式计算最值得到BD正确，得到答案.
【详解】对选项A：取，，，则，，错误；
对选项B：，则，
，
当且仅当，即时等号成立，正确；
对选项C：在上单调递减，故函数的最大值为，错误；
对选项D：，，，故，，
，
当且仅当，即，时等号成立，正确；
故选：BD
12．已知函数的定义域是，对，都有，且当时，，且，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数在上单调递增
C．
D．满足不等式的的取值范围为
【答案】ABD
【分析】令求出的值可判断A；令可得，利用函数单调性的定义证明单调性可判断B；由以及可判断C；通过计算可得，原不等式等价于，利用单调性求出的取值范围可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：令，得，所以，故选项A正确；
对于B：令，得，所以，
任取，，且，则，
因为，所以，所以，所以在上单调递增，故选项B正确；
对于C：
，故选项C不正确；
对于D：因为，由可得，所以，
所以不等式等价于即，
因为在上单调递增，所以 解得：，
所以原不等式的解集为，故选项D正确；
故选：ABD．
【点睛】利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号）， 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数.
三、填空题
13．已知幂函数在上为增函数，则实数m的值是 ．
【答案】3
【分析】根据幂函数的定义求得，再由单调性确定最终结论．
【详解】由题意，解得或，时，在上递减，时，在上递增，所以．
故答案为：3.
14．不等式的解集是，则 ．
【答案】
【分析】由一元二次不等式的解集可得求a、b，即可确定目标式的结果.
【详解】由题设，，可得，
∴.
故答案为：
15．已知函数，且，则、的大小关系是 ．
【答案】
【分析】，两边平方，化简得到答案.
【详解】，故，即，
故，即，
即.
故答案为：.
16．设定义域为R的函数，且，则x的值所组成的集合为 .
【答案】
【分析】首先换元，令求出的范围，从而对进行分类讨论求方程的根即可.
【详解】令，
当时，有单调递增，
所以此时，
当时，有，
当时，有单调递增，
所以此时，
综上所述，
将方程转化成，
由以上分析可知当且仅当，或时，，
即当且仅当或，
由以上分析可知：
当时， 有，此时方程无解，
当时，有，此时存在使得恒有解，即此时的解集为，
当时，有，所以，
又，所以.
综上所述：满足题意的x的值所组成的集合为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是换元，令求出的范围，从而分类讨论即可顺利求解.
四、解答题
17．设集合，，．
(1)，求；
(2)若，求实数的取值集合．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）确定得到或，再计算交集得到答案.
（2）根据得到，解得答案.
【详解】（1）当时，，故或，
又，故；
（2），所以需满足，解得，故的取值集合为.
18．已知函数，且.
(1)判断函数在上是单调递增还是单调递减？并证明；
(2)求在上的值域.
【答案】(1)函数在上是单调递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）求出函数的表达式，利用单调性定义即可判断函数的单调性；
（2）根据单调性即可得出函数在上的值域.
【详解】（1）单调递增，由题意证明如下，
函数，且，有，解得，
所以的解析式为：.
设，且，有.
由，得，则，即.
所以在区间上单调递增.
（2）由（1）知在上是增函数，
所以在区间上的最小值为，最大值为，
所以在上的值域为.
19．已知定义在上的函数满足，二次函数的最小值为，且．
(1)分别求函数和的解析式；
(2)设，，求的最小值．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（1）通过构造方程组的方法求得，设，根据已知条件可得的解析式；
（2）求出，分、、讨论可得答案.
【详解】（1）定义在上的函数满足①，
可得②，
由①②可得；
设二次函数，
因为的最小值为，且，
所以，解得，
可得；
（2）
，
当时，在上单调递增，
所以，
当时，在上单调递减，
所以，
当时，所以，
所以．
20．某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完．
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）
(2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？
【答案】(1)
(2)公司获得的年利润最大，每年应生产9万件该芯片
【分析】（1）分和两种情况，分别求出函数解析式；
（2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解.
【详解】（1）根据题意得，
当时，，
当时，，
故
（2）当时，，且当时，单调递增，当时，单调递减，
此时．
当时，，当且仅当时，等号成立．
因为，故当时，取得最大值24，
即为使公司获得的年利润最大，每年应生产万件该芯片．
21．已知函数.
(1)若不等式的解集是空集，求m的取值范围；
(2)当时，解不等式.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）对二次项系数分类讨论，与，当时， ，求解不等式组即可得解；
（2）分，和三种情况解不等式.
【详解】（1）①，即时，解集不是空集，舍去，
②时，即时，，
即，∴，
解得，
∴的取值范围是；
（2）∵化简得：，
①时，即时，解集为，
②时，即时，，
，解集为或，
③时，即时，解集为，
∵，∴，
∴，
∴解集为.
综上，时，解集为或；
时，解集为；
时，解集为
22．设，函数.

(1)若，在直角坐标系中作出函数的图像，并根据图像写出函数的单调区间.
(2)若函数的图象关于点对称，且对于任意的，不等式恒成立，求实数的范围.
【答案】(1)图象见解析，单调递减区间为，；单调递增区间为
(2)
【分析】（1）确定函数的解析式，根据解析式画出函数图像，根据图像得到单调区间；
（2）确定函数为奇函数，计算，变换，构造，根据函数的单调性计算最值得到范围.
【详解】（1），的图象如下：

由图知：在，上递减，在上递增，
故单调递减区间为，；单调递增区间为.
（2）的图象关于点对称，即关于原点对称，
所以为奇函数，则，
所以，即在上恒成立，
所以，故，则，
故，
所以，则恒成立，即，
由，
令，构造函数.
任取，且，
因为，所以，函数在上递增.
所以，故，
综上所述：，即.