上海交通大学附属中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题

交大附中高一期末数学试卷

2022.01

一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）

1. 函数的最小正周期__________；

【答案】

【解析】

【详解】分析：直接利用三角函数的周期公式，求出函数的周期即可

详解：由三角函数的周期公式可知：

函数的最小正周期

故答案为

点睛：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题．

2. 已知函数是奇函数，则实数______．

【答案】0

【解析】

【分析】由奇函数定义入手得到关于变量的恒等式后，比较系数可得所求结果．

【详解】∵函数为奇函数，

∴，

即，

整理得在R上恒成立，

∴．

故答案为．

【点睛】本题考查奇函数定义，解题时根据奇函数的定义得到恒等式是解题的关键．另外，取特殊值求解也是解决此类问题的良好方法，属于基础题．

3. 若集合，，则______．

【答案】##

【解析】

【分析】求解绝对值不等式解得集合，求解分式不等式求得集合，再求交集即可.

【详解】因为，，

故可得.

故答案：.

4. 方程的解为______.

【答案】2.

【解析】

【分析】

由对数的运算性质可转化条件为，即可得解.

【详解】方程等价于，

所以，解得.

故答案为：2.

【点睛】本题考查了对数方程的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.

5. 设函数，那么=_____

【答案】

【解析】

【分析】欲求,根据原函数的反函数为知,只要求满足于的值即可,故只解方程即得.

【详解】解答：令,则,

当有不合,

当有,（舍去）

那么

故答案为

【点睛】本题主要考查了反函数,一般地,设函数的值域是,根据这个函数中的关系,用把表示出,得到.

6. 若集合，，则_______．

【答案】

【解析】

【分析】易知，分别验证和集合的关系即可得结果.

【详解】因为，

，，即，，

所以，

故答案为：.

7. 幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）．设点，连接，线段恰好被其中的两个幂函数的图像三等分，即有．那么_______．

【答案】1

【解析】

【分析】求出的坐标，不妨设，，分别过，，分别代入点的坐标，变形可解得结果.

【详解】因为，，，

所以，，

不妨设，，分别过，，

则，，

则，所以．

故答案为：1

8. 已知函数，的图象不经过第四象限，则a的取值范围为__________．

【答案】.

【解析】

【分析】

根据和两种情况讨论，令，得出不等式，即可求解.

【详解】当时，令，可得，此时不等式的解集为空集，（舍去）；

当时，令，可得，即，即实数的取值范围，

综上可得，实数的取值范围.

故答案为：.

9. 已知函数在上的最小值为，则实数a的值为_________．

【答案】-2

【解析】

【分析】根据函数在上的最小值为，分在上递增，递减和不单调，利用三角函数的性质求解.

【详解】因为函数在上的最小值为，

所以当在上递增时，的最小值为，不成立；

当在上递减时，的最小值为 ，

此时，

因为 ，则，而在 上递增，成立；

当在上不单调时， ，

令，解得 或 ，

当 时， ，因为 ，所以 ，所以 ，不成立；

当时， ，因为 ，所以 ，，不成立；

故实数a的值为-2，

故答案为：-2

10. 给出四个命题：①存在实数，使；②存在实数，使；③是偶函数；④是函数的一条对称轴方程；⑤若是第一象限角，且，则．

其中所有正确命题的序号是_____________．

【答案】③④

【解析】

【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误；利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误；化简函数解析式，结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误；利用代入检验法可判断④的正误；利用特殊值法可判断⑤的正误.

【详解】对于命题①，，所以，不存在实数使得，①错误；

对于命题②，，所以，不存在实数使得，②错误；

对于命题③，，因为，

所以函数是偶函数，③正确；

对于命题④，当时，，

所以，是函数的图象的一条对称轴方程，命题④正确；

对于命题⑤，取，，，但，⑤错误.

因此，正确命题的序号为③④.

故答案为：③④.

11. 某同学向王老师请教一题：若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．王老师告诉该同学：“恒成立，当且仅当时取等号，且在有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】

由参变量分离法可得出，利用已知条件求出函数在上的最小值，由此可得出实数的取值范围.

【详解】，，由可得，

由于不等式恒成立，当且仅当时取等号，且存在，使得，

所以，，当且仅当时，等号成立，.

因此，实数取值范围是.

故答案为：.

【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），.

12. 设二次函数，若函数的值域为，且，则的取值范围为___________.

【答案】[1,13]

【解析】

【分析】根据二次函数的性质和已知条件得到m与n的关系，化简后利用不等式即可求出其范围.

【详解】二次函数f(x)对称轴为，

∵f(x)值域为，

∴且，n＞0.

，

∵

====

∴，，

∴∈[1,13].

故答案为：[1,13].

二、选择题（本大题共4题，满分20分）

13. 一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是（    ）弧度

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】A

【解析】

【分析】结合扇形面积公式及弧长公式可求，，然后结合扇形圆心角公式可求.

【详解】设扇形半径r，弧长l，则，解得，，

所以圆心角为，

故选：A.

14. 对于函数f（x）=asinx+bx+c(其中，a,bR,cZ),选取a,b,c的一组值计算f（1）和f（-1），所得出的正确结果一定不可能是

A. 4和6 B. 3和1 C. 2和4 D. 1和2

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：求出f（1）和f（﹣1），求出它们的和；由于c∈Z，判断出f（1）+f（﹣1）为偶数．

解：f（1）=asin1+b+c  ①

f（﹣1）=﹣asin1﹣b+c  ②

①+②得：

f（1）+f（﹣1）=2c

∵c∈Z

∴f（1）+f（﹣1）是偶数

故选D

考点：函数的值．

15. 设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是

A. 当时，

B. 当时，

C. 当时，

D. 当时，

【答案】B

【解析】

【详解】令,可得．

设

根据题意与直线只有两个交点，

不妨设，结合图形可知，当时如右图，

与左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点，

根据对称性可得，即，此时，

，

同理可得，当时如左图，，

故选：B．

【点睛】本题从最常见了两类函数出发进行了巧妙组合，考查数形结合思想、分类讨论思想，函数与方程思想等，难度较大，不易入手,具有很强的区分度.

16. 设函数，对于实数a､b，给出以下命题：命题；命题；命题.下列选项中正确的是（    ）

A. 中仅是的充分条件

B. 中仅是的充分条件

C. 都不是的充分条件

D. 都是的充分条件

【答案】D

【解析】

【分析】令，g(x)是奇函数，在R上单调递增，h(x)是偶函数，在(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h(x)＞0，根据这些信息即可判断.

【详解】令，g(x)是奇函数，在R上单调递增，h(x)是偶函数，在(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h(x)＞0.

，

即g(a)＋h(a)≥－g(b)－h(b)，

即g(a)＋h(a)≥g(－b)＋[－h(b)]，

①当a＋b≥0时，a≥－b，故g(a)≥g(－b)，又h(x)＞0，故h(a)＞－h(b)，∴此时，即是q的充分条件；

②当时，a≥0，，，

(i)当a≥1时，a≥，则－b≤a，故g(a)≥g(－b)；

此时，h(a)＞0，－h(b)＜0，∴h(a)＞－h(b)，∴成立；

(ii)当a＝0时，b＝0，f(0)＋f(0)＝6≥0成立，即成立；

(iii)∵g(x)在R上单调递增，h(x)在(－∞，0)单调递增，

∴在(－∞，0)单调递增，

∵f(－1)＝0，∴f(x)＞0在(－1，0)上恒成立；

又∵x≥0时，g(x)≥0，h(x)＞0，∴f(x)＞0在[0，＋∞)上恒成立，

∴f(x)＞0在(－1，＋∞)恒成立，

故当0＜a＜1时，a＜＜1，，

∴f(a)＞0，f(b)＞0，

∴成立.

综上所述，时，均有成立，∴是q的充分条件.

故选：D.

【点睛】本题的关键是将函数f(x)拆成一个奇函数和一个函数值始终为正数的偶函数之和，考察对函数基本性质的掌握与熟练运用.

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

17. 已知函数的定义域为集合，集合，且.

（1）求实数取值范围；

（2）求证：函数是奇函数但不是偶函数.

【答案】（1） ;（2）见解析.

【解析】

【详解】试题分析：（1）由对数的真数大于0，可得集合，再由集合的包含关系，可得的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得的定义域，计算与比较，即可得到所求结论．

试题解析：（1）令，解得，所以，

因为，所以，解得，即实数的取值范围是

（2）函数的定义域，定义域关于原点对称

而，，所以

所以函数是奇函数但不是偶函数.

18. 如图，在半径为的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．

（1）①设，矩形的面积为，求表达式，并写出的范围：

②设，矩形的面积为，求表达式，并写出x的范围：

（2）怎样截取才能使截得的矩形的面积最大？并求最大面积．

【答案】（1）①，；②，.   

（2）当截取，时能使截得矩形的面积最大，最大面积为400

【解析】

【分析】（1）①用和半径表达出边，进而表达出面积并写出的取值范围，②用表达出，进而表达出面积并写出的取值范围；（2）利用三角函数的有界性求面积最大值.

【小问1详解】

①连接，则cm，cm，cm，则cm，则，.

②连接OC，则cm，由勾股定理得： cm， cm，则，，

【小问2详解】

由（1）知：，，所以，当，即时，取得最大值，最大值为400，此时，，所以当截取，时能使截得的矩形的面积最大，最大面积为400

19. 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：，双曲余弦函数：．（是自然对数的底数，）．

（1）解方程：；

（2）类比两角和的正弦公式，写出两角和的双曲正弦公式：________，并证明；

（3）若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围．

【答案】（1）或；   

（2），证明见解析；   

（3）.

【解析】

【分析】（1）由已知可得出，求出的值，即可求得的值；

（2）类比两角和的正弦公式可得出两角和的双曲正弦公式，再利用指数的运算性质可证得结论成立；

（3）分析可知恒成立，利用函数的单调性可求得实数的取值范围.

【小问1详解】

解：由，可得，可得，解得或.

【小问2详解】

解：，

右边

.

【小问3详解】

解：，则，则，

所以，，当且仅当时，等号成立，

则恒成立，

因为函数、均为上增函数，故函数在上为增函数，

所以，.

20. 对闭区间I，用表示函数在I上的最大值．

（1）对于，求的值：

（2）已知，且偶函数，，求的最大值：

（3）已知，若有且仅有一个正数a使得成立，求实数k的取值范围．

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】小问1：判断的单调性即可求解；

小问2：由偶函数求得，根据的最大值判断范围，即可求解；

小问3：讨论与，当时，判断正数a的取值个数，即可求解．

【小问1详解】

对任意，且时，

由

对任意，且时，

由

所以在上单调递减，在上单调递增；

又

所以

【小问2详解】

由于偶函数，所以

则

解得

则

因为，所以

故的最大值为.

【小问3详解】

①当时，由于，则，所以，

若时，有，

所以，得；

若时，有，此时无解；

若时，有，此时有一解；

若时，有，此时无解；

若时，有，

所以，因为

若时，此时无解，若时，此时无解；

若时，此时有一解；

②当时，由于，则，所以，

有，则

若，则得或等，

若，，则或，在必有两解．

综上所述：

21. 定义域为的函数，对于给定的非空集合，，若对于中的任意元素，都有成立，则称函数是“集合上的函数”.

（1）给定集合，函数是“集合上的函数”，求证：函数是周期函数；

（2）给定集合，，若函数是“集合上的函数”，求实数、、所满足的条件；

（3）给定集合，函数是集合上的函数，求证：“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”．

【答案】（1）证明见解析；   

（2），，；   

（3）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）推导出且，可得出，由此可证得结论成立；

（2）由已知可得对任意的恒成立，由此可得出、、所满足的条件；

（3）利用函数的定义、函数周期性的定义结合充分条件、必要条件的定义可证得结论成立.

【小问1详解】

证明：由题意可知，对任意的，，可得，

对任意的，，所以，，

因此，函数为周期函数.

【小问2详解】

解：由题意可知，对任意的，，

即，可得对任意的恒成立，

所以，，即，，.

【小问3详解】

证明：若函数是周期函数，设其周期为，

因为函数是集合上的函数，

则存在、，使得，

所以，，，

对任意的，，

所以，，

所以，对任意的，，

对任意的，，

并且，

所以，对任意的，为常数，

即“是周期函数”“是常值函数”；

若函数是常值函数，对任意的、，成立，

且，所以，函数是周期函数.

即“是周期函数”“是常值函数”.

综上所述，“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，本题第三问的难点在于利用函数的周期性推导出函数为常值函数，需要充分利用题中“函数”的定义结合函数值的不等关系以及函数的周期性来进行推导.