上海交通大学附属中学2021-2022学年高一上学期开学摸底数学试题（解析版）

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上海交通大学附属中学2021-2022学年度第一学期高一数学摸底试卷一､填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分）1. 已知：点､在反比例函数的图像上，则a___________b（用“>”“=”､“<”填）.【答案】【解析】【分析】结合题意求出，即可求解【详解】由点在反比例函数的图像上，得，由在反比例函数的图像上，得，因为，所以，故答案为：2. 若集合，则实数___________.【答案】4【解析】【分析】根据题意，得到的两根为和，从而可求出结果.【详解】因为关于的不等式的解集为，所以不等式的解集为即方程的两根为和，即.故答案为：.3. 在和中，，且，则的周长=___________cm.【答案】40【解析】【分析】先证明,再利用相似三角形的性质求解.【详解】因为，所以,所以,所以.所以的周长=40.故答案为：404. 如图，内接于，，，BD为的直径，，则AB等于___________.【答案】【解析】【分析】由圆的性质结合题意可知，，进而由求解即可【详解】因为，，所以，又因为，，所以，则，故答案为：5. 把有理数a代入得到，称为第一次操作，再将作为a的值代入得到，称为第二次操作，…，若，经过第2021次操作后得到的是___________.【答案】【解析】【分析】利用题中法则，依次计算、、…、、，得到规律，即得.【详解】由代入，经过第1次操作后，得；经过第2次操作后，得；经过第3次操作后，得；经过第4次操作后，得；经过第5次操作后，得；经过第6次操作后，得；……经过第2021次操作后，得.故答案为：.6. 已知集合，，若，则实数m的取值构成的集合为___________.【答案】【解析】【分析】先化简集合M，然后再根据N⊆M，求出m的值，即可求解．【详解】∵集合，∴集合，∵，，∴，或，或三种情况，当时，可得；当时，∵，∴，∴；当，，∴；∴实数m的取值构成的集合为，故答案为：7. 若和或都是假命题，则的范围是__________【答案】【解析】【分析】先由和或都是假命题，求出x的范围，取交集即可.【详解】若为假命题，则有或若或是假命题，则所以的范围是即的范围是胡答案为：8. 已知是实数，若a，b是关于x一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是___________.【答案】【解析】【分析】a，b是关于的一元二次方程的两个非负实根，根据根与系数的关系，化简即可求解．【详解】解：a，b是关于x的一元二次方程的两个非负实根，可得，，，又 ，可得，，又， ，又，，故答案为：．9. 如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC､BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG､BG､BE，当时，的面积记为；当时，的面积记为，……，以此类推，当时，的面积记为，则的值为___________.【答案】
 【解析】【分析】作辅助线,构建同底等高三角形,根据等腰直角三角形面积公式可得结论.详解】连接EC,∵正方形ACDE和正方形CBFG，,和是同底（BG ）等高的三角形，即，当BC=n时, ，故答案为：10. 如图，已知圆O的面积为，AB为直径，弧AC的度数（劣弧AC所对圆心角的度数）为，弧BD的度数为，点P为直径AB上任一点，则的最小值为___________.【答案】3【解析】【分析】先设圆O的半径为r，由圆O的面积为3π求出r的值，再作点C关于AB的对称点C′，连接OD，OC′，DC′，则DC′的长即为PC+PD的最小值，由圆心角、弧、弦的关系可知，故，由可知，由OC′＝OD可求出∠ODC′的度数，进而可得出结论．详解】设圆O的半径为r，∵⊙O的面积为3π，∴3π＝πr2，即r＝．作点C关于AB的对称点C′，连接OD，OC′，DC′，如图，则DC′的长即为PC+PD的最小值，∵的度数为80°，∴，∴，∵，∴，∵OC′＝OD，∴∠ODC′＝30°∴，即PC+PD的最小值为3．故答案为：311. 设为非空实数集满足：对任意给定的（可以相同），都有，，，则称为幸运集.①集合为幸运集；②集合为幸运集；③若集合、为幸运集，则为幸运集；④若集合为幸运集，则一定有；其中正确结论的序号是________【答案】②④【解析】【分析】①取判断；②设判断；③举例判断；④由可以相同判断；【详解】①当，，所以集合P不是幸运集，故错误；②设，则，所以集合P是幸运集，故正确；③如集合为幸运集，但不为幸运集，如时，，故错误；④因为集合为幸运集，则，当时，，一定有，故正确；故答案为：②④【点睛】关键点点睛：读懂新定义的含义，结合“给定的（可以相同），都有，，”，灵活运用举例法.12. 已知a，b，c不全为无理数，则关于三个数，，，下列说法正确的是___________（把所有正确选项都填上）①可能均为有理数②可能均为无理数③可能恰有一个为有理数④可能恰有两个为有理数【答案】①②③【解析】【分析】根据实数的定义解答即可.【详解】a，b，c不全为无理数,可以都为有理数，此时三个数，，均为有理数，故①正确；若中有2个无理数一个有理数时，此时三个数，，可能均为无理数，故②正确；若中有一对为相反数的无理数，一个有理数，则三个数，，恰有一个为有理数，故③正确；a，b，c不全为无理数,与b或a与c，或b与c不可能均互为相反数.关于三个数，，，不可能有两个为有理数.故④错误.故答案为：①②③二､选择题（本大题满分20分，共有4题，每题5分）13. 若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由二次根式有意义可得，解的根，解为正数解，进而确定的范围，注意增根时的值除外，再根据为整数，确定的值，即可求解【详解】由去分母得：，解得，关于x的分式方程有正数解，则，解得，又增根，当时，，即，所以，由二次根式有意义，则，解得，因此且，因为为整数，所以可以为：，所以符合条件的整数m的和是，故选：D14. 如图，在中，，，.P是AB边上一动点，于点D，点E在P的右侧，，连结CE.P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动.在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况（    ）A. 一直减小 B. 一直不变C. 先减小后增大 D. 先增大后减小【答案】C【解析】【分析】设PD＝x，AB边上的高为h，想办法求出AD、h，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．【详解】在RT△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，∴AB＝＝，设PD＝x，AB边上的高为h，则∵PD∥BC，,∴AD＝2x，AP＝，，∴当时，的值随x的增大而减小，当时，的值随x的增大而增大．故选：C15. 古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（    ）A. 大于 B. 小于 C. 大于等于 D. 小于等于【答案】A【解析】【分析】设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案.【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.由杠杆的平衡原理：，．解得，，则.下面比较与10的大小：（作差比较法）因为，因为，所以，即.所以这样可知称出的黄金质量大于.故选：A16. 关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正.给出三个结论：①这两个方程的根都是负根；②；③.其中正确结论的个数是（    ）A 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】A【解析】【分析】列出两个方程的根与系数关系和判别式，判断①②的正误；再根据两个方程的根与系数关系，分别求得的表达式，证得和，由此判断③的正误.【详解】设方程的两根为、，方程的两根为、.由题意知，，所以，，这两个方程的根都是负根，故①正确；依题意，第一个方程的判别式，第二个方程的判别式，，故②正确；，，，又因为、均为负整数，，；，，又、均为负整数，，，即；，故③正确.综上所述，正确的结论有3个.故选:A.三､解答题（本大题满分76分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤.17. 已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求实数t的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）可得出B={x|1 <x <3 }，t=2时求出集合A，然后进行并集的运算即可;（2）根据即可得出集合A={x|-1≤x≤t}，进而可得出t的取值范围.【详解】（1），，当时，，（2），A={x|-1≤x≤t}， ，实数t的取值范围18. 如图，点，在反比例函数的图象上，经过点A､B的直线与x轴相交于点C，与y轴相交于点D.
 （1）若，求n的值；（2）求的值；（3）连接OA､OB，若，求直线AB的函数关系式.【答案】【解析】【分析】（1）先把A点坐标代入求出k的值得到反比例函数解析式为，然后把代可求出n的值；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4m＝k，﹣4n＝k，然后把两式相减消去k即可得到m+n的值；（3）作AE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，如图，利用正切的定义得到tan∠AOE，，则，加上，于是可解得，从而得到，，然后利用待定系数法求直线AB的解析式．【详解】（1）当m＝2，则A（2，4），把A（2，4）代入得k＝2×4＝8，所以反比例函数解析式为，把代入得﹣4n＝8，解得n＝﹣2；（2）因为点A（m，4），B（﹣4，n）在反比例函数的图象上，所以4m＝k，﹣4n＝k，所以4m+4n＝0，即m+n＝0；（3）作AE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，如图，在Rt△AOE中，tan∠AOE，在Rt△BOF中，，而tan∠AOD+tan∠BOC＝1，所以，而m+n＝0，解得m＝2，n＝﹣2，则A（2，4），B（﹣4，﹣2），设直线AB的解析式为y＝px+q，把代入得，解得，所以直线AB的解析式为y＝x+2．19. 某同学在解答题目：“化简并求值，其中”时：解答过程是：；（1）请判断他的解答是否正确；如果不正确，请写出正确的解答过程.（2）设（n为正整数），考查所求式子的结构特征：①先化简通项公式；②求出与S最接近的整数是多少？【答案】（1）不正确，解答过程见解析；（2）①；②当时，S最接近的整数是1或2；当时，S最接近的整数是.【解析】【分析】（1）利用根式运算求解；（2）①利用根式运算求解；②根据①的结果，利用裂项相消法求解.【详解】（1）不正确；因为，所以.（2）①因为n为任意的正整数，所以，，，；②由①得：，，，，当时，S最接近的整数是1或2；当时，S最接近的整数是.20. 交中的新生小明同学非常喜欢数学，他在课外书上看到了一个有趣的定理——“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍.如图1，在中，点D为BC中点，“中线长定理”即.小明尝试对它进行证明，部分过程如下：解：过点A作于点E，如图2，在中，，同理可得：，，为证明的方便，不妨设，，∴……（1）请你完成小明剩余的证明过程；
 理解运用：（2）①在中，点D为BC的中点，，，，则___________；②如图3，的半径为6，点A在圆内，且，点B和点C在上，且，点E､F分别为AO，BC的中点，则EF的长为___________；拓展延伸：（3）小明解决上述问题后，联想到某课外书上的某题目：如图4，已知的半径为（圆心为原点O），以为直角顶点的的另两个顶点B，C都在上，D为BC的中点，求AD长的最大值.请你利用上面的方法和结论，求出AD长的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）①，②；（3）10【解析】【分析】（1）结合题意，利用勾股定理证明即可；（2）①利用中线定理计算即可；②利用中线定理即可求解；（3）连接，取的中点，连接，利用中线定理求出，再利用三边关系即可求解【详解】（1）过点A作于点E，如图2，在中，，同理可得：，，为证明的方便，不妨设，，∴；（2）①因为，所以，所以；②如图3：因为是的中线，是的中线，是的中线，因为，，，所以，所以，所以（负根舍弃）；（3）如图4中，连接，取的中点，连接，由（2）的②可知：，所以，在中，，，因为,所以AD长的最大值为10.21. 已知集合A为非空数集，定义：，（1）若集合，直按写出集合S，T（无需写计算过程）（2）若集合，，且，求证：（3）若集合，，记为集合A中元素的个数，求的最大值.【答案】（1），；（2）见解析；（3）1348.【解析】【分析】（1）根据题目定义，直接计算集合及；（2）根据两集合相等即可找到，，，的关系；（3）通过假设集合，，，，，，，求出相应的及，通过建立不等关系求出相应的值．【详解】解：（1）根据题意，由集合，，计算集合，4，，，；（2）由于集合，，，，，且，所以中也只包含四个元素，即，，，，剩下的，所以；（3）设，， 满足题意，其中，则，，，，，由容斥原理，中最小的元素为0，最大的元素为，，，，实际上当，675，676，，时满足题意，证明如下：设，，，，，，则，，，，，，1，2，，，依题意有，即，故的最小值为674，于是当时，中元素最多，即，675，676，，时满足题意，综上所述，集合中元素的个数的最大值是1348．