广西桂林市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题

桂林市2021~2022学年度上学期期末质量检测

高一年级数学

一､单项选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的.

1. 下列关系中，正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据自然数集、正整数集、整数集以及有理数集的含义判断数与集合的关系.

【详解】对于A，，所以A错误；

对于B，不是整数，所以，所以B错误；

对于C，，所以C正确；

对于D， 因为不含任何元素，则，所以D错误.

故选：C.

2. 命题“，有”的否定是（    ）

A. ，使 B. ，有

C. ，使 D. ，使

【答案】D

【解析】

【分析】全称命题的否定：将任意改存在并否定原结论，即可知正确选项.

【详解】由全称命题的否定为特称命题，

∴原命题的否定为.

故选：D

3. 要完成下列两项调查：（1）某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查有关消费购买力的某项指标；（2）从某中学高一年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习情况；应采用的抽样方法分别是（    ）

A. （1）用简单随机抽样，（2）用分层随机抽样 B. （1）（2）都用简单随机抽样

C. （1）用分层随机抽样，（2）用简单随机抽样 D. （1）（2）都用分层随机抽样

【答案】C

【解析】

【分析】根据简单随机抽样、分层抽样的适用条件进行分析判断.

【详解】因为有关消费购买力的某项指标受家庭收入的影响，而社区家庭收入差距明显，所以①用分层抽样；

从10名体育特长生中抽取3人调查学习情况，个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，所以②用简单随机抽样.

故选：C

4. 在同一坐标系中，函数与大致图象是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，结合对数函数与指数函数的性质，即可得出结果.

【详解】由指数函数与对数函数的单调性知： 在上单调递增，在上单调递增，只有B满足.

故选：B.

5. 若，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】对于ACD，举例判断即可，对于B，利用不等式的性质判断

【详解】解：对于A，令，，满足，但，故A错误，

对于B，∵，∴，故B正确，

对于C，当时，，故C错误，

对于D，令，，满足，而，故D错误.

故选：B.

6. “x>1”是“x>0”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分、必要条件间的推出关系，判断“x>1”与“x>0”的关系.

【详解】“x>1”，则“x>0”，反之不成立.

∴“x>1”是“x>0”的充分不必要条件.

故选：A.

7. 甲、乙两人破译一份电报，甲能独立破译的概率为0.3，乙能独立破译的概率为0.4，且两人是否破译成功互不影响，则两人都成功破译的概率为（    ）

A. 0.5 B. 0.7 C. 0.12 D. 0.88

【答案】C

【解析】

【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式，即可求解.

【详解】由题意，甲、乙分别能独立破译的概率为和，且两人是否破译成功互不影响，

则这份电报两人都成功破译的概率为.

C.

8. 若，则的最小值是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】采用拼凑法，结合基本不等式即可求解.

【详解】因为，，当且仅当时取到等号，故的最小值是3.

故选：C

9. 已知函数，则，（    ）

A. 4 B. 3 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据分段函数解析式代入计算可得；

【详解】解：因为，，所以，

所以

故选：D

10. 函数的零点所在的区间是（   ）

A. （-2，-1) B. (-1，0) C. (0，1） D. （1，2）

【答案】C

【解析】

【分析】

利用零点存在性定理判断即可.

【详解】易知函数的图像连续

， ，

由零点存在性定理，排除A；

又，，排除B；

，，结合零点存在性定理，C正确

故选：C.

【点睛】判断零点所在区间，只需利用零点存在性定理，求出区间端点的函数值，两者异号即可，注意要看定义域判断图像是否连续.

11. 设，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性求出的范围，即可解出．

【详解】因为，，，所以．

故选：D．

12. 函数的单调递减区间是

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】令，则有或，在上的减区间为，故在上的减区间为，选A．

二､多项选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

13. 下列函数中是偶函数，且在上为增函数的有（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】

根据函数的奇偶性的定义和基本初等函数的性质，逐项判定，即可得解.

【详解】对于A：定义域为，关于原点对称，是奇函数，不满足题意；

对于B：定义域为R，关于原点对称，，，是偶函数，由二次函数的性质可知，函数在上为增函数，满足题意；

对于C：定义域为R，关于原点对称，，，是奇函数，不满足题意；

对于D：定义域为，关于原点对称，，，是偶函数，当时，，由对数函数的性质可知，在上为增函数，满足题意.

故选：BD.

14. 从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的事件是（    ）

A. 恰有1个红球与恰有2个红球 B. 至少有1个白球与都是红球

C. 恰有2个红球与恰有2个白球 D. 至少有1个红球与至少有1个白球

【答案】AC

【解析】

【分析】由题意知所有的实验结果为：“都是白球”，“1个白球，1个红球”，“都是红球”，再根据互斥事件以及对立事件的定义判断，即可得答案．

【详解】A、“恰有1个红球”和“恰有2个红球，这两事件不会同时发生，但也可能都不发生，故二者是互斥而不对立的事件，故A对；
B、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，与“都是红球”是对立事件，故B不对；
C、“恰有2个红球”发生时，“恰有2个白球”不会发生，二者互斥，但在一次实验中还可能二者都不发生，即不可能必有一个发生，故二者不是对立事件，故C对；
D、“至少有1个红球”和“至少有1个白球”都包含“1个白球，1个红球”的情况，二者不是互斥事件，故D不对；
故选：AC．

15. 已知是定义域为的奇函数，函数，，当时，恒成立，则（    ）

A. 在上单调递增

B. 的图象与x轴有2个交点

C.

D. 不等式的解集为

【答案】BC

【解析】

【分析】变换得到，函数单调递减，A错误，计算，B正确，根据结合奇偶性得到C正确，解不等式得到D错误，得到答案.

【详解】，两边同时除以得，

即，，则在上单调递减，A错误；

因为是定义域为的奇函数，且，所以在上单调递减，且，B正确.

由得，即，

即，C正确.

不等式的解集为，D错误.

故选：BC.

三､填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.

16. 已知幂函数的图象经过点，则___________.

【答案】##

【解析】

【分析】根据题意得到，求出的值，进而代入数据即可求出结果.

【详解】由题意可知，即，所以，即，所以，

因此，

故答案为：.

17. 函数的定义域为_____________.

【答案】

【解析】

【分析】根据偶次根式和分式有意义的要求可得不等式组，解不等式组可求得结果.

【详解】由题意得：，解得：且，即的定义域为.
故答案为：.

18. 已知，用m，n表示为___________.

【答案】

【解析】

【分析】结合换底公式以及对数的运算法则即可求出结果.

详解】，

故答案为：.

19. 已知，若，则的最小值是___________.

【答案】16

【解析】

【分析】乘1后借助已知展开，然后由基本不等式可得.

【详解】因为，

所以

当且仅当，，即时，取“=”号，

所以的最小值为16.

故答案为：16

20. 已知一组样本数据5、6、a、6、8的极差为5，若，则其方差为________.

【答案】3.2

【解析】

【分析】根据极差的定义可求得a的值，再根据方差公式可求得结果.

【详解】因为该组数据的极差为5，，

所以，解得.

因为，

所以该组数据的方差为．

故答案为：.

四､解答题：本大题共7小题，共70分，解答应给出文字说明､证明过程及演算步骤.

21. 已知全集.

（1）求；

（2）求.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据交集计算可得.

（2）根据补集与并集的计算可得.

【小问1详解】

由己知，

所以

【小问2详解】

∵，

所以，

所以.

22. 已知函数，.

（1）利用定义证明函数单调递增；

（2）求函数的最大值和最小值.

【答案】（1）证明见详解；（2）最大值；最小值.

【解析】

【分析】

（1）任取、且，求，因式分解，然后判断的符号，进而可得出函数的单调性；

（2）利用（1）中的结论可求得函数的最大值和最小值.

【详解】（1）任取、且，

因为，

所以，

，

，，，

，

即，

因此，函数在区间上为增函数；

（2）由（1）知，当时，函数取得最小值；

当时，函数取得最大值.

【点睛】关键点睛：求函数的最值利用函数的单调性是解决本题的关键.

23. 为适应新冠肺炎疫情长期存在的新形势，打好疫情防控的主动仗，某学校大力普及科学防疫知识，现需要在2名女生､3名男生中任选2人担任防疫宣讲主持人，每位同学当选的机会是相同的.

（1）写出试验的样本空间，并求当选的2名同学中恰有1名女生的概率；

（2）求当选的2名同学中至少有1名男生的概率.

【答案】（1）样本空间答案见解析，概率是   

（2）

【解析】

【分析】（1）将2名女生，3名男生分别用a，b；c，d，e表示，即可列出样本空间，再根据古典概型的概率公式计算可得；

（2）设事件“当选的2名同学中至少有1名男生”，事件“当选的2名同学中全部都是女生”，事件B，C为对立事件，利用古典概型的概率公式求出，最后根据对立事件的概率公式计算可得；

【小问1详解】

解：将2名女生，3名男生分别用a，b；c，d，e表示，

则从5名同学中任选2名同学试验的样本空间为

，

共有10个样本点，

设事件“当选的2名同学中恰有1名女生”，

则，样本点有6个，

∴.

即当选的2名同学中恰有1名女生的概率是

【小问2详解】

解：设事件“当选的2名同学中至少有1名男生”，事件“当选的2名同学中全部都是女生”，事件B，C为对立事件，

因为，∴，

∴.

即当达的2名同学中至少有1名男生的概率是.

24. 某种产品的成本是50元/件，试销阶段每件产品的售价（单位：元）与产品的日销售量（单位：件）之间有如下表所示的关系：

（1）根据以上表格中的数据判断是否适合作为与的函数模型，并说明理由；

（2）当每件产品的售价为多少时日利润（单位：元）最大，并求最大值.

【答案】（1）适合，理由见解析.   

（2）当每件产品售价为75元时日利润最大，且最大值为1250.

【解析】

【分析】（1）把，分别代入，求得，再代入检验成立；

（2）设日利润为（单位：元），由（1）求得，根据二次函数的性质可求得最大值.

【小问1详解】

解：适合，理由如下：

把，分别代入，得

解得则，

把，分别代入，检验成立.

【小问2详解】

解：设日利润为（单位：元），

则，

当时，，

则当每件产品的售价为75元时日利润最大，且最大值为1250.

25. 某校对100名高一学生的某次数学测试成绩进行统计，分成五组，得到如图所示频率分布直方图.

（1）求图中a值；

（2）估计该校高一学生这次数学成绩的众数和平均数；

（3）估计该校高一学生这次数学成绩的75%分位数.

【答案】（1）   

（2）众数为，平均数为   

（3）

【解析】

【分析】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解；

可得，

（2）根据频率分布直方图的中众数的概念和平均数的计算公式，即可求解；

（3）因为50到80的频率和为0.65，50到90的频率和为0.9，结合百分数的计算方法，即可求解.

【小问1详解】

解：由频率分布直方图的性质，可得，

解得.

【小问2详解】

解：根据频率分布直方图的中众数的概念，可得众数为，

平均数为.

【小问3详解】

解：因为50到80的频率和为0.65，50到90的频率和为0.9，

所以75%分位数为.

26. 已知函数的图象恒过定点A，且点A又在函数的图象上.

（1）求实数a的值；

（2）若函数有两个零点，求实数b的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由函数图象的平移变换可得点A坐标，然后代入函数可解；

（2）将函数零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，作图可解.

【小问1详解】

函数的图象可由指数函数的图象，向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到.

因为函数的图象过定点，故函数的图象恒过定点，

又因为A点在图象上，则

∴解得

【小问2详解】

，

若函数有两个零点，则方程有两个不等实根，

令，，则它们的函数图象有两个交点，

由图可知：，故b的取值范围为.

27. 已知函数是定义域为的奇函数.

（1）求实数的值；

（2）若，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）若，且函数在上最小值为，求的值.

【答案】（1）0（2）（3）2.

【解析】

【分析】

（1）是定义域为的奇函数,由，得到的值；（2）根据得到的范围，从而得到的单调性，结合的奇偶性，得到将不等式转化为在上恒成立，通过得到的范围；（3）由得到，从而得到解析式，令，得到，动轴定区间分类讨论，根据最小值为，得到的值.

【详解】（1）因为是定义域为的奇函数，所以，所以，所以，经检验，当时，为上的奇函数

（2）由（1）知:，

因为，所以，

又且，所以，

所以是.上的单调递减函数，

又是定义域为的奇函数，

所以，

即在上恒成立，

所以，

即，

所以实数的取值范围为

（3）因为，所以，

解得或(舍去)，

所以，

令，

则，

因为在R上为增函数，且，

所以，

因为在上最小值为，

所以在上的最小值为，

因为的对称轴为，

所以当时，

，解得或（舍去），

当时，，解得（舍去），

综上可知:.

【点睛】本题考查根据函数奇偶性求参数的值，根据函数的性质解不等式，二次函数在上恒成立问题，根据函数的最小值求参数的范围，运用了换元的方法，属于中档题.