广西钦州市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题

钦州市2021年秋季学期教学质量监测

高一数学

考试时间：120分钟；赋分：150分

第Ⅰ卷

一、选择题：木大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合，则中元素的个数为（    ）

A. 0 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】先求出集合,再求,最后数出中元素的个数即可.

【详解】因为集合,,

所以,

所以,

则中元素的个数为2个.

故选：B

2. 下列函数中，在上单调递增的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用基本初等函数的单调性可得出合适的选项.

【详解】函数、、在上均为减函数，

函数在上为增函数.

故选：B.

3. 设，则a，b，c大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用有理指数幂和幂函数的单调性分别求得，，的范围即可得答案．

【详解】，，

，

又在上单调递增，

，

，

故选：C．

4. 若函数的定义域是，则函数值域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据的单调性求得正确答案.

【详解】根据复合函数单调性同增异减可知在上递增，

，

即.

故选：A

5. 已知关于的方程在区间上存在两个不同的实数根，则实数的取值范围是（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】本题首先可根据方程存在两个不同的实数根得出、，然后设，分为、两种情况进行讨论，最后根据对称轴的相关性质以及的大小即可得出结果.

【详解】因为方程存在两个不同的实数根，

所以，，解得或，

设，对称轴为，

当时，

因为两个不同的实数根在区间上，

所以，即，解得，

当时，

因为两个不同的实数根在区间上，

所以，即，解得，

综上所述，实数的取值范围是，

故选：C.

6. 已知一组数据为20，30，40，50，50，50，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是（    ）

A. 平均数＝第60百分位数＞众数 B. 平均数＜第60百分位数＝众数

C 第60百分位数＝众数＜平均数 D. 平均数＝第60百分位数＝众数

【答案】B

【解析】

【分析】从数据为20，30，40，50，50，50，70，80中计算出平均数、第60百分位数和众数，进行比较即可.

【详解】解：平均数为，

，第5个数50即为第60百分位数.

又众数为50，

它们的大小关系是平均数第60百分位数众数.

故选：B.

7. 在一段时间内，若甲去参观市博物馆的概率为0.8，乙去参观市博物馆的概率为0.6，且甲乙两人各自行动．则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是（    ）

A. 0.48 B. 0.32 C. 0.92 D. 0.84

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意求得甲乙都不去参观博物馆的概率，结合对立事件的概率计算公式，即可求解.

【详解】由甲去参观市博物馆的概率为0.8，乙去参观市博物馆的概率为0.6，

可得甲乙都不去参观博物馆的概率为,

所以甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是.

故选：C.

8. 若，，若，则a的取值集合为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】或，分类求解，根据可求得的取值集合．

【详解】或，

，，

或或，解得或，综上，．

故选：．

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 某学校为了调查学生在放学后体育运动的情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中运动时间在分钟内的有72人，则下列说法正确的是（    ）

A. 样本中放学后体育运动时间在分钟的频率为0.36

B. 样本中放学后体育运动时间不少于40分钟的人数有132

C. 的值为200

D. 若该校有1000名学生，则必定有300人放学后体育运动时间在分钟

【答案】ABC

【解析】

【分析】由频率分布直方图求得运动时间在分钟的频率，从而得出总人数，再计算后判断各选项．

【详解】由频率分布直方图得运动时间在分钟频率是，A正确；

所以总人数为．C正确；

运动时间不少于40分钟的人数为，B正确；

若该校有1000名学生，根据样本频率估计总体频率，只能说明可能有300人放学后体育运动时间在分钟，D错误．

故选：ABC．

10. 若函数是幂函数且为奇函数，则的值为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】BD

【解析】

【分析】根据幂函数的定义，由求得的值，再分别代入函数的解析式，验证函数的奇偶性即可求解.

【详解】因为函数是幂函数，所以，

解得：或，

当时，函数，此时函数为奇函数，满足题意；

当时，函数，此时函数为奇函数，满足题意，

故选：BD.

11. 已知甲袋中有5个大小相同的球，4个红球，1个黑球；乙袋中有6个大小相同的球，4个红球，2个黑球，则（    ）

A. 从甲袋中随机摸出一个球是红球的概率为

B. 从乙袋中随机摸出一个球是黑球的概率为

C. 从甲袋中随机摸出2个球，则2个球都是红球的概率为

D. 从甲、乙袋中各随机模出1个球，则这2个球是一红球一黑球的概率为

【答案】ACD

【解析】

【分析】A.根据红球数与甲袋中总球数的比求得结果；B.根据黑球数与乙袋中总球数的比求得结果；C.先利用组合数计算出摸出个球的总的取法数，再分析摸出个球都是红球的取法数，根古典概型的概率计算公式求得结果；D.利用概率的乘法公式求得结果即可.

【详解】对选项A，从甲袋中随机摸一个球是红球的概率为，故A对；

对选项B，从乙袋中随机摸一个球是黑球的概率为，故B错；

对选项C，从甲袋中随机摸2个球，则2个球都是红球的概率，故C对；

对选项D，从甲、乙袋中各随机摸出1个球，则这2个球是一红球一黑球的概率；

故选：ACD.

12. 某打车平台欲对收费标准进行改革，现制订了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用y（单位：元）与打车里程x（单位：km）的函数关系大致如图所示，则（    ）

A. 当打车里程为8km时，乘客选择甲方案更省钱

B. 当打车里程为10km时，乘客选择甲、乙方案均可

C. 打车里程在3km以上时，每千米增加的费用甲方案比乙方案多

D. 甲方案3km内（含3km）付费5元，打车里程大于3km时每增加1km费用增加0.7元

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据图象一一判断即可.

【详解】解：对于A，当3＜x＜10时，甲对应函数值小于乙对应的函数值，故当打车里程为8km时，乘客选择甲方案更省钱，故A正确；

对于B，当打车里程为10km时，甲、乙方案的费用均为12元，故乘客选择甲、乙方案均可，故B正确；

对于C，打车3km以上时，甲方案每千米增加的费用为（元），乙方案每千米增加的费用为（元），故每千米增加的费用甲方案比乙方案多，故C正确；

对于D，由图可知，甲方案3km内（含3km）付费5元，3km以上时，甲方案每千米增加的费用为1（元），故D错误.

故选:ABC.

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是_________．

【答案】0

【解析】

【分析】根据充要条件的定义即可求解.

【详解】，

则{x|}＝{x|}，

即.

故答案为：0.

14. 已知函数在上的最大值为2，则_________．

【答案】1

【解析】

【分析】先求导可知原函数在上单调递增，求出参数后即可求出.

【详解】解：在上

在上单调递增，且当取得最大值

，可知

故答案为：1

15. 已知指数函数的解析式为，则函数的零点为_________．

【答案】1

【解析】

【分析】解方程可得．

详解】由得，．

故答案为：1．

16. 调查某高中1000名学生的肥胖情况，得到的数据如表：

若，则肥胖学生中男生不少于女生的概率为_________．

【答案】

【解析】

【分析】先求得，然后利用列举法求得正确答案.

【详解】依题意，

依题意，

记，则所有可能取值为，

，

，共种，

其中肥胖学生中男生不少于女生的为，，，共种，

故所求的概率为.

故答案为：

四、解答题：本大题共6题，共70分，解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知全集，，集合．

（1）求；

（2）求．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据集合的并运算，结合已知条件，即可求得结果；

（2）先求，再求交集即可.

【小问1详解】

全集，，集合，

故.

【小问2详解】

集合，故或，  

故.

18. 1.汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为40 km/h的弯道上，现场勘查测得一辆事故汽车的刹车距离略超过10米．已知这种型号的汽车的刹车距离（单位：m）与车速（单位：km/h）之间满足关系式，其中为常数．试验测得如下数据：

（1）求的值；

（2）请你判断这辆事故汽车是否超速，并说明理由．

【答案】（1）   

（2）超速，理由见解析

【解析】

【分析】（1）将表格中的数据代入函数的解析式建立方程组即可求得答案；

（2）根据（1）建立不等式，进而解出不等式，最后判断答案.

【小问1详解】

由题意得，解得.

【小问2详解】

由题意知，，解得或（舍去）

所以该车超速．

19. （1）计算：；

（2）计算：．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）由根式化为分数指数幂，再由幂的运算法则计算．

（2）利用对数的换底公式和运算法则计算．

【详解】（1）原式=8+0.1+1=9.1       

（2）原式==1+=1+2=3

20. 某市3000名市民参加“美丽城市我建设”相关知识初赛，成绩统计如图所示．

（1）求a的值；

（2）估计该市参加考试的3000名市民中，成绩在上的人数；

（3）若本次初赛成绩前1500名参加复赛，则进入复赛市民的分数线应当如何制定（结果保留两位小数）．

【答案】（1）；   

（2）1950；    （3）进入复赛市民的分数应当大于或等于77.14.

【解析】

【分析】（1）根据频率之和为，结合频率分布直方图即可求得；

（2）根据（1）中所求，求得成绩在的频率，根据频数计算公式即可求得结果；

（3）根据频率分布直方图中位数的求解，结合已知数据，即可求得结果.

【小问1详解】

依题意，，故.

【小问2详解】

成绩在[70, 90)上的频率为，

所以，所求人数为3000×0.65=1950.

【小问3详解】

依题意，本次初赛成绩前1500名参加复赛，即求该组数据的中位数，

因为≈77.14

所以，进入复赛市民的分数应当大于或等于77.14.

21. 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等.

（1）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；

（2）若两人分别从甲、乙两个盒子中各摸出一球，规定：两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），这样规定公平吗？请说明理由.

【答案】（1）（2）这样规定公平，详见解析

【解析】

【分析】（1）利用列举法求得基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解；

（2）利用古典概型及其概率的计算公式，求得的概率，即可得到结论.

【详解】由题意，设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x、y.

用表示抽取结果，可得，则所有可能的结果有16种，

（1）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A，则，

事件A由4个基本事件组成，故所求概率.

（2）设“甲获胜”事件B，“乙获胜”为事件C，

则，.

可得，

即甲获胜的概率是，乙获胜的概率也是，所以这样规定公平.

【点睛】本题主要考查了古典概型的概率的计算及应用，其中解答中认真审题，利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题题.

22. 已知函数．

（1）用函数奇偶性的定义证明是奇函数；

（2）用函数单调性的定义证明在区间上是增函数；

（3）解不等式．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）证明见解析；    （3）.

【解析】

【分析】（1）先求出函数定义域，证明即可；

（2）根据函数单调性的定义域，作差、定号即可证明函数单调性；

（3）将原不等式转化为二次不等式求解即可.

【小问1详解】

证明：由函数的解析式，得其定义域为，   

又因为

故是奇函数.

【小问2详解】

证明：任取，，

则

=

=，   

因为，，

所以，，

所以，

综上所述，对任意都有，

所以，在区间上是增函数.

【小问3详解】

因为，所以等价于，

当时，，解得；

当时，，解得；

所以，不等式的解集为.