2023年中考数学一轮复习函数 专题《第七节 二次函数的简单综合》专练（通用版）

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第三章  函　数第七节  二次函数的简单综合 点对点·课时内考点巩固30分钟1. 如图，已知抛物线y＝ax2＋x＋2的开口向下，与x轴的交点坐标为A，B(点A在点B的左侧)，与y轴的交点为C.(1)当a＝－1时，求抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)当点O将线段AB分为1∶3两部分时，求a的值；(3)当a＝a1时，抛物线与x轴的正半轴相交于点M(m，0)；当a＝a2时，抛物线与x轴的正半轴相交于点N(n，0)．若点M在点N的左边，试比较a1与a2的大小．      2. (全国视野创新题推荐)已知二次函数y＝x2－ax＋b在x＝0和x＝4时的函数值相等．(1)求二次函数y＝x2－ax＋b的对称轴；(2)过点P(0，1)作x轴的平行线与二次函数y＝x2－ax＋b的图象交于不同的两点M、N.①当MN＝2时，求b的值；②当PM＋PN＝4时，请结合函数图象，直接写出b的取值范围．     3. 如图，抛物线y＝－(x－1)2＋k＋1(k为常数，且k>0)与反比例函数y＝(x>0)的图象交于点M，N.顶点为D，对称轴分别与反比例函数、x轴交于点E，F.(1)判断该抛物线是否经过原点O，并说明理由；(2)若点E将线段DF分为1∶2的两部分，求此时抛物线的解析式；(3)设反比例函数的图象与抛物线对称轴右侧部分的交点为N，其横坐标为m，请用含m的代数式表示k，并写出m的取值范围．         点对线·板块内考点衔接10分钟如图，在直角坐标系中，直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为x＝1的抛物线过B, C两点，且交x轴于另一点A，连接AC.(1)直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；(2)已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标．   参考答案第七节  二次函数的简单综合点对线·板块内考点衔接1. 解：(1)当a＝－1时，y＝－x2＋x＋2，∴a＝－1，b＝1，c＝2，由顶点坐标公式(－，)得抛物线的顶点坐标为( ， )，对称轴为直线x＝；(2)令ax2＋x＋2＝0，解得x1＝，x2＝，∵点A在点B的左侧，a＜0，∴A点的坐标为(，0)，∵点O将线段分为1∶3的两部分，点A和点B到对称轴的距离相等，∴点A到点O的距离等于点O到对称轴的距离，即||＝|－|，整理得－1＝1或－(－1＋)＝1，解得a＝－或a＝(舍)；(3)∵抛物线开口向下，∴a＜0，即a1＜0，a2＜0.经过点M的抛物线y＝a1x2＋x＋2的对称轴为直线x＝－，经过点N的抛物线y＝a2x2＋x＋2的对称轴为直线x＝－，如解图，∵点M在点N的左边，且抛物线都经过点(0，2)，∴直线x＝－ 在直线x＝－ 的左侧，∴－＜－，∴a1＜a2.第1题解图 2. 解：(1)∵二次函数y＝x2－ax＋b在x＝0和x＝4时的函数值相等．∴二次函数的对称轴为直线x＝＝2；(2)①不妨设点M在点N的左侧．∵二次函数的对称轴为直线x＝2，MN＝2，∴点M的坐标为(1，1)，点N的坐标为(3，1)，∴x＝－＝2，1＝1－a＋b，∴a＝4，b＝4；②1≤b＜5.【解法提示】∵a＝4，∴y＝x2－4x＋b，如解图，∵过点P(0，1)作x轴的平行线与二次函数y＝x2－4x＋b的图象交于不同的两点M、N.∴1＝x2－4x＋b有两个不同的根，∴Δ＝16－4b＋4＞0，∴b＜5，当抛物线y＝x2－4x＋b与直线y＝1的交点均在点P右侧时，PM1＋PN1＝x1＋x2，x1、x2为方程x2－4x＋b＝1的两根，显然x1＋x2＝4，即当点M1与点P重合时，b＝1；当点P在M2N2上时，显然PM2＋PN2>4，综上所述，b的取值范围为1≤b＜5.第2题解图3. 解：(1)否；理由：当原点O(0，0)在抛物线上时，－(0－1)2＋k＋1＝0，解得k＝0，∵k>0，∴抛物线不经过原点O；(2)∵DF是抛物线的对称轴，∴点D的坐标为(1，k＋1)，点F的坐标为(1，0)，点E的横坐标为1，将x＝1代入反比例函数y＝，得y＝k，∴点E的坐标为(1，k)，∴DE＝k＋1－k＝1，EF＝k.∵点E将线段DF分为1∶2的两部分，∴当DE∶EF＝1∶2时，EF＝k＝2，此时抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋3；当DE∶EF＝2∶1时，EF＝k＝，此时抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋；(3)k＝(m＞2)．【解法提示】∵点N是抛物线与反比例函数图象的交点，∴－(m－1)2＋k＋1＝，整理得k＝.∵k＞0，∴＝>0，∵点N在抛物线对称轴右侧，∴m＞1，∴m－1>0，∴m－2＞0，∴m＞2.即m的取值范围是m＞2.点对面·跨板块考点迁移 解：(1)A(－4，0)，B(6，0)，C(0，3)；抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋3；【解法提示】令y＝－x＋3＝0，解得x＝6，令x＝0，得y＝3，∴B(6，0)，C(0，3)．∵抛物线的对称轴为x＝1，且过点B、A，∴抛物线与x轴的另一交点A坐标为(－4，0)，设抛物线的解析式为y＝a(x＋4)(x－6)，将点C(0，3)代入得－24a＝3，解得a＝－.∴y＝－(x＋4)(x－6)＝－x2＋x＋3.(2)如解图，过点P作PG⊥x轴于点G，交BC于点Q，PH⊥BC于点H.∵OC＝3，OB＝6，∴BC＝＝3.又∵∠HQP＝∠GQB，∴∠HPQ＝∠CBO，∴cos∠HPQ＝cos∠CBO＝.故点P到直线BC的距离最大，即PQ最大．设P(m，－m2＋m＋3)(0<m<6)，Q(m，－m＋3)∴PQ＝－m2＋m＋3－(－m＋3)＝－(m－3)2＋.∵－＜0(0<m<6)，∴当m＝3时，PQ有最大值为.∴点P的坐标为(3，)．解图