常考题型09 椭圆的标准方程、离心率及最值问题试卷

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常考题型09 椭圆的标准方程、离心率及最值问题

1.椭圆的标准方程

焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形


焦点坐标
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
b2＝a2－c2

2.椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形


标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点
(±，0)
(0，±)
焦距
|F1F2|＝2
对称性
对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点
离心率
e＝∈(0,1)

考法一：椭圆定义的应用
椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是不是椭圆；二是当一点P在椭圆上时，它与椭圆的两焦点，组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求·，通过整体代入可求其面积等.
考法二：求椭圆的标准方程
1.定义法：根据椭圆的定义，确定，的值，再结合焦点位置求出标准方程.常用的方法：
①根据a，b，c的关系；
②根据椭圆的定义确定2a；
③利用焦点三角形的性质.
2.待定系数法
(1)已知焦点位置，可设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a，b，从而得到椭圆的标准方程(注意解的个数）.
(2)当标准方程形式下焦点位置不确定时，有两种方法可以解决：一种是分类讨论，注意全面考虑焦点位置；另一种是设一般方程(m>0，n>0，且m≠n).
考法三：椭圆中的最值问题
1.函数法：将问题转化为函数的最值问题处理时，应充分注意椭圆中x，y的取值范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值问题来求解.
2.数形结合法：依据数学式子的几何意义，寻找图形中的关系.
考法四：求椭圆的离心率
1.定义法：当题中出现焦点三角形的三边关系或a，c易求时，可以利用定义求解。另外，b，c易求时，可利用求解，a，b易求时，可利用求解.反之，已知离心率可以得出a与
c或a与b或b与c的关系.
2.构造法：根据条件及几何图形，构造关于a，c的齐次式，不需要求出a，c的具体值，而是整体构造的方程求得e。

探究一：椭圆定义的应用
在椭圆C：（）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.该图由法国数学家G-Monge（1746-1818）最先发现.若椭圆C的离心率为e，左､右焦点分别为､，P为椭圆C上一动点，过P和原点作直线l与蒙日圆相交于M，N，则（    ）
A． B．1 C． D．以上答案均不正确
思路分析：
令，根据椭圆的定义可得，再根据向量数量积的运算律得到，最后由计算可得。

【解析】解：令，
因为，则，
所以，
由，
所以①，②
则①②可得，解得，
所以，
故，
故选：B
【答案】B
【变式练习】
1．如图，分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上的点，为的外角平分线，，则（    ）

A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【解析】如图所示：

延长交的延长线于点，
因为为的外角平分线，，
所以易得，所以，，
结合椭圆的定义得，
又为的中点，为的中点，
所以在中，，
故选：B.
2．已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则（    ）
A．有最大值，为16 B．有最小值，为16
C．有最大值，为4 D．有最小值，为4
【答案】A
【解析】由题意知，，则．
由基本不等式，知，
（当且仅当时等号成立），所以有最大值，为16．
故选：A．
探究二：求椭圆的标准方程
已知椭圆的左、右焦点分别是，焦距，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆C的方程为（    ）
A． B．
C． D．
思路分析：
画出图形，利用已知条件，推出，延长交椭圆于点，得到直角和直角，设，则，根据椭圆的定义转化求解，即可求得椭圆的方程。

【解析】如图所示，，则，
延长交椭圆于点，可得直角和直角，
设，则，
根据椭圆的定义，可得，
在直角中，，解得，
又在中，，
代入可得，所以，
所以椭圆的方程为.
故选：A.

【答案】A
【变式练习】
1．如图，、分别是椭圆的左顶点和上顶点，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足为右焦点，且，点到右准线的距离为，则椭圆方程为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设椭圆方程为，设该椭圆的焦距为，则，
由图可知，点在第一象限，将代入椭圆方程得，
得，所以，点，
易知点、，，，
因为，则，得，可得，则，
点到右准线的距离为为，则，，
因此，椭圆的方程为.
故选：A.
2．曲率半径可用来描述曲线在某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小．已知椭圆上点处的曲率半径公式为．若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值为4，最小值为，则椭圆C的标准方程为（    ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为曲率半径越大，曲线在该点处的弯曲程度越小，
所以椭圆C在处的曲率半径最小，则，
所以，
椭圆C在处的曲率半径最大，则，
所以，
则，，故椭圆C的标准方程为.
故选：B
探究三：椭圆中的最值问题
已知点是椭圆+=1上的动点（点不在坐标轴上），为椭圆的左，右焦点，为坐标原点；若是的角平分线上的一点，且丄，则丨丨的取值范围为（    ）
A．（0，） B．（0，2）
C．（l，2） D．（，2）
思路分析：
延长、相交于点，连接，利用椭圆的定义分析得出，设点，求出的取值范围，利用椭圆的方程计算得出，由此可得出结果。

【解析】如下图，延长、相交于点，连接，

因为，
因为为的角平分线，所以，，则点为的中点，
因为为的中点，所以，，
设点，由已知可得，，，
则且，且有，
，
故，
所以，.
故选：A.
【答案】A
【变式练习】
1．是椭圆的左焦点是椭圆上的动点为定点，则的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】椭圆的，
如图，

设椭圆的右焦点为 ，
则 ；
；
由图形知，当在直线 上时， ，
当不在直线 上时，
根据三角形的两边之差小于第三边有， ，
当在 的延长线上时， 取得最小值
的最小值为．
故选：C．
2．已知椭圆，其中、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点．过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点（第一象限）在椭圆上，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，因为点在轴右边，

因为是的垂直平分线，所以,
由中位线定理可得,
设点,
由两点间的距离公式得，
，
同理可得，又是的垂直平分线，所以,
即,
且中是中位线，所以，
在椭圆中，所以.
故选：A
探究四：求椭圆的离心率
已知椭圆（），椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆C上的任意一点，且满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
思路分析：
设，则，由，得，根据表示椭圆上的点到原点的距离的平方，可得选项。

【解析】解：由已知得，，设，
则，，
因为，所以，即，即，
因为点P是椭圆上的任意一点，所以表示椭圆上的点到原点的距离的平方，
因为，所以，所以，即，
所以，
故选：B．
【答案】B
【变式练习】
1．设椭圆的左、右焦点分别为，，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，则C的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：依题意作下图，由于，并且线段MN，互相平分，
∴四边形是矩形，其中，，
设，则，
根据勾股定理，，，
整理得，
由于点M在第一象限，，
由，得，即，
整理得，即，解得.
故选：C．

2．椭圆（）的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆C的离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得，

，
又
,
，，
，，则，
即线段的长度的取值范围是，
故选：C

一、单选题
1．已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由椭圆的定义得，又∵，∴，，
而，当且仅当点在椭圆右顶点时等号成立，
即，即，则，即.
故选：D．
2．已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，由题意得､､，

设，因为轴，所以，所以 ，得①，
又由，中点为，得，得②，
由①②得，则.
故选：A.
3．关于椭圆有下面四个命题：①长轴长为4；②短轴长为3；③离心率为；④椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3．若只有一个假命题，则该命题是（    ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【解析】当命题①②为真命题时，，，则，离心率为，椭圆上的点到焦点的距离最大值为，不成立；
当命题①③为真命题时，，，故，，短轴长为，椭圆上的点到焦点的距离最大值为，成立，故①③④为真命题，②为假命题；
当命题①④为真命题时，，所以，离心率，短轴长为，故①③④为真命题，②为假命题；
当命题②③为真命题时，，，故，，椭圆的长轴长为，椭圆上的点到焦点的距离最大值为；
当命题②④为真命题时，，，不存在；
故选:B.
4．设椭圆长轴的两个顶点分别为、，点为椭圆上不同于、的任一点，若将的三个内角记作、、，且满足，则椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为可得，即，
而在三角形中，，所以上式可得
而，
所以可得，即，
由题意可得，，设，，
可得，由椭圆的对称性设在第一象限，如图所示：
在中，，
在中，，
所以，
所以可得，
所以离心率
故选：．

5．已知椭圆C：（）的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ）
A． B． C． D．.
【答案】B
【解析】由题设，以线段为直径的圆为，与直线相交，
所以，可得，即，又，
所以.
故选：B
6．已知，是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，点M是C上点（不在坐标轴上），点N是的中点，若MN平分，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为是的中点，是的中点，所以，
因为平分，所以，
因为，所以，，由（或），得椭圆的离心率，又，所以椭圆的离心率的取值范围是．
故选：A．
7．椭圆C：左右焦点分别为，，P为C上除左右端点外一点，若，，则椭圆C的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：如图在中，

，即①
，即②
且，
故①+②得：，即.
所以 ，代入到中，整理得：
，故两边除以得：
解得：或，又，所以.
即椭圆C的离心率为.
故选：D.
8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，第一象限内的点在椭圆上，且满足，点在线段、上，设，将沿翻折，使得平面与平面垂直，要使翻折后的长度最小，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在椭圆中，，，，，
因为，且点为第一象限内的点，则，可得，
翻折前，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，

设，其中，
则，，，
，
所以，，
翻折后，如下图所示：

因为平面平面，平面平面，平面，
，平面，
平面，，又因为，

，
，则，故当时，即当时，取得最小值，
则在翻折前，在中，为的角平分线，
所以，，即.
故选：A.
二、多选题
9．已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ）
A．存在P使得 B．的最小值为
C．，则的面积为9 D．直线与直线斜率乘积为定值
【答案】ABC
【解析】解：设椭圆短轴顶点为，由题知椭圆：中，，
所以，，，，，
对于A选项，由于，，所以的最大角为钝角，故存在P使得，正确；
对于B选项，记，则，
由余弦定理：
，当且仅当时取“=”，B正确；
对于C选项，由于，故 ，所以，C正确；
对于D选项，设，则，，于是,故错误.
故选：ABC。
10．已知椭圆：内一点，直线与椭圆交于，两点，且点是线段的中点，则（    ）
A．椭圆的焦点坐标为， B．椭圆的长轴长为4
C．直线的方程为 D．
【答案】BCD
【解析】解：由椭圆方程，所以，，所以，故，
所以椭圆的焦点坐标为，，故A错误；
因为，所以椭圆的长轴长为，故B正确；
设点，，则，两式相减可得，
整理得，因为点是线段的中点，且，
所以，所以，所以直线的方程为，即，故C正确；
由，得，
所以，，所以，故D正确．
故选：BCD
11．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点，则下列结论正确的是（    ）

A．椭圆的离心率是
B．线段长度的取值范围是
C．面积的最大值是
D．的周长存在最大值
【答案】AC
【解析】由题意得半圆的方程为，
设半椭圆的方程为，由题意知，∴，
∴半椭圆的方程为．
对于A，，A正确；
对于B，由图可知，当时，；当时，，
所以线段长度的取值范围是，B错误．
对于C，，设，则，
∴，设，∴，∴，
∴，
∴，
当且仅当时等号成立，C正确．
对于D，的周长为，
所以当时，的周长最大，但是不能取零，
所以的周长没有最大值，D错误，
故选：AC
12．已知，是椭圆C：的两个焦点，过的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，则（    ）
A．椭圆C的离心率为 B．不存在点A使得
C．若，则 D．面积的最大值为12
【答案】CD
【解析】由C的方程，得，，，焦点在y轴上，设，．对于A，离心率，故A错误；
对于B，设，则，，若，则，即，解得，故存在点A使得，故B错误；
对于C，在中，，若，则，故C正确；
对于D，当点A为左顶点或右顶点时，的面积取得最大值，为，故D正确．
故选：CD.
三、填空题
13．已知、分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，直线，且，垂足为Q点．若四边形为平行四边形，则椭圆C的离心率的取值范围是________．
【答案】
【解析】
设，则，又四边形为平行四边形，
所以，即，
所以，可得.
故答案为：
14．若、是椭圆C：的两个焦点，过的直线l与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，则下列说法中正确的是______．（填序号）
①椭圆C的离心率为；                       ②存在点A使得；
③若，则；            ④面积的最大值为12．
【答案】②④
【解析】对①，由题得a＝5，b＝3，c＝4，离心率为，故①错误．
对②，设，得椭圆的参数方程为（t为参数），，，所以，．若存在点A使，则，即，得有解，故存在点A使，故②正确．
对③，因为，故③错误．
对④，当A位于短轴端点时，此时的面积最大，所以，故④正确．
故答案为：②④
15．如图，，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为_______．

【答案】
【解析】如图，连接.
设（），则.
因为，，所以，.
在中，，所以，即，整理得，所以，所以直线的斜率为．

故答案为：-2.
16．已知椭圆C：1的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，其中，若，||，则椭圆的离心率的取值范围为_____．
【答案】(，]
【解析】设，由，知，
因为，在椭圆上，，
所以四边形为矩形，；
由，可得1，
由椭圆的定义可得，  ①，
平方相减可得②，
由①②得；
令t，
令，
所以，即，
所以，
所以，
所以，解得.
故答案为： .
四、解答题
17．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知．求证：直线恒过x轴上一定点.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆C的方程为．
（2）依题意，点，设，
因为若直线的斜率为0，则点P，Q关于y轴对称，必有，不合题意．
所以直线斜率必不为0，设其方程为，
与椭圆C联立，整理得：，
所以，且
因为点是椭圆上一点，即，
则，
所以，即
因为
，
所以，此时，
故直线：恒过x轴上一定点．
18．已知椭圆过点，直线：与椭圆交于两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆上存在两点，使得关于直线对称，求实数的范围．
【答案】(1)；
(2)实数的范围为．
【解析】（1）设，则，
即．
因为A，B在椭圆C上，所以，
两式相减得，即，
又，所以，即．
又因为椭圆C过点，所以，解得，
所以椭圆C的标准方程为；
（2）设的中点为，所以，
因为P，Q关于直线l对称，所以且点N在直线l上，即．
又因为P，Q在椭圆C上，所以．
两式相减得．
即，所以，即．
联立，解得，即．
又因为点N在椭圆C内，所以，所以
所以实数的范围为．
19．已知椭圆的长轴长为，离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点的直线交椭圆C于A，B两点，求（O为原点）面积的最大值．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）根据题意，知，即．
又离心率，所以，
可得，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）由题意，知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为．
由，得．
由，得．
设，，
则，，
所以


．
点到直线AB的距离，
所以．
令，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，此时，所以的面积的最大值为．
20．以O为原点，所在的直线为x轴，建立直角坐标系．设，点F的坐标为，，点G的坐标为．
(1)求关于t的函数的表达式，判断函数的单调性（不需要证明）；
(2)设的面积，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点G，求当取得最小值时椭圆的方程；
(3)在（2）的条件下，若点P的坐标为，C、D是椭圆上的两点，且，求实数的取值范围．
【答案】(1)函数在区间上单调递增；
(2)；
(3).
【解析】(1)由题意知：，，则，
解得，
所以函数在区间上单调递增．
(2)由，
解得，
∴点G的坐标为，．
因为在区间上单调递增，
所以当时，取得最小值，此时点F，G的坐标分别为，．
由题意设椭圆的方程为，由点G在椭圆上，得，
∴．
所求椭圆方程为．
(3)设点的坐标分别为、，则，．
由，得，
所以，．
因点C、D在椭圆上，，，
消去m，得；
又∵，
∴，解得，又，
所以实数的取值范围是．