常考题型10 双曲线的标准方程及离心率试卷

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1.双曲线标准方程
2.双曲线的性质
考法一：求双曲线的标准方程
1.定义法：根据双曲线的定义知，到两个定点的距离之差的绝对值是一个非零常数（小于两定点间距离）的点的轨迹是双曲线，根据双曲线的定义可以求标准方程.
2.待定系数法
一般步骤：
①判断：根据已知条件确定双曲线的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；
②设：根据①中判断设出所需的未知数或者标准方程；
③列：根据题意列关于a，b，c的方程(组)；
④解：求解得到的方程（组）.
考法二：求双曲线的离心率
1.定义法：当题目中a，c易求时，直接利用定义 求解。另外，易求b，c时，可利用求解，易求a，b时，可利用；求解.反之，已知离心率也可以得出a与b或a与c或b与c的关系.
2.构造法：根据条件及几何图形，构造关于a，c的齐次式，不需要求出a，c的具体值，而是整体构造的方程求得e.注意依据e>1对所得解进行取舍。
探究一：求双曲线的标准方程
如图，，分别是双曲线（，）的左、右焦点，且，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．若为等边三角形，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
思路分析：
由双曲线定义结合等边三角形求得，，再由余弦定理求得，即可求得双曲线方程。
【变式练习】
1．已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．设双曲线C：（，）的左焦点为F，直线过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，，其中O为坐标原点，则双曲线C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
探究二：求双曲线的离心率
已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
思路分析：
设，则，根据双曲线的定义，再利用基本不等式求出的最小值，从而得到，即可求出离心率的取值范围。
【变式练习】
1．已知，是双曲线（，）的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．已知A，B，P是双曲线（，）上不同的三点，且点A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
一、单选题
1．已知是双曲线：（，）的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则（ ）
A．1B．C．D．3
2．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．双曲线C：的左焦点为F，过原点作一条直线分别交C的左右两支于A，B两点，若，，则此双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．3
4．设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点P在的右支上，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，，以为一个焦点作过，的椭圆，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．设，分别是双曲线的左、右焦点，直线交双曲线右支于B点，若，恰好是的两直角边，则此双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
7．已知双曲线的右顶点为，若以点为圆心，以为半径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线的焦距为为其左右两个焦点，直线l经过点且与渐近线平行，若l上存在第一象限的点P满足，则双曲线C离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知双曲线的左、右两个顶点分别是，左、右两个焦点分别是，是双曲线上异于的任意一点，给出下列结论，其中正确的是（ ）
A．
B．直线，的斜率之积等于定值
C．使得为等腰三角形的点P有且仅有四个
D．若，则
10．设双曲线的两个焦点分别是，，以线段为直径的圆交双曲线于A，B，C，D四点，若A，B，C，D，，恰为正六边形的六个顶点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．四边形ABCD的面积为
C．双曲线的离心率为D．双曲线的渐近线方程为
11．已知曲线，则（ ）
A．当时，则的焦点是，
B．当时，则的渐近线方程为
C．当表示双曲线时，则的取值范围为
D．存在，使表示圆
12．如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的公共点，设方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的内切圆与轴相切于点
C．若，则的离心率为
D．若，则的方程为
三、填空题
13．设A、B、C是双曲线上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若且，则焦距为______.
14．已知双曲线的左、右焦点为，过的直线交双曲线右支于，若，且，则______.
15．设、是双曲线C：的左、右焦点，过点且倾斜角为30°的直线与双曲线的左、右两支分别交于点A、B．若，则双曲线C的离心率为______．
16．双曲线的左右焦点分别为，，以为圆心，为半径的圆与的左支相交于，两点，若△的一个内角为，则的离心率为_______．
四、解答题
17．已知方程+＝1（m∈R）表示双曲线．
(1)求实数m的取值集合A；
(2)设不等式（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0的解集为B，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．在①左顶点为，②双曲线过点，③离心率这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
问题：已知双曲线与椭圆共焦点，且______．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点P在双曲线上，且，求．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．已知双曲线：（，）实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
20．若双曲线的一个焦点是，且离心率为2．
(1)求双曲线的方程；
(2)设过焦点的直线的一个法向量为，当直线与双曲线的右支相交于不同的两点时，
①求实数的取值范围；
②是否存在实数，使得为锐角？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
焦点
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)
a，b，c间的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)