常考题型13 圆锥曲线中定点、定值、最值与范围问题试卷

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常考题型13 圆锥曲线中定点、定值、最值与范围问题

考法一：圆锥曲线中的最值问题
1.几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理等知识进行求解。
2.代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法。
利用代数法解决最值与参数范围问题常从以下五个方面考虑：
(1)利用根的判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数间建立等量关系；
(3)建立关于参数的不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；
(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围。
考法二：定点问题
1.引进参数法：引进动点的坐标或动线方程的系数为参数表示变化量，再研究引进的变量与参数何时没有关系，从而找到定点。
2.特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明定点与变量无关。
考法三：定值问题
1.基本思路
(1)首先求出这个几何量或代数表达式；
(2)对表达式进行化简，整理成的最简形式；
(3)根据已知条件列出必要的方程(或不等式)，消去参数，求出定值，一般是根据已知条件列出方程，代入，得到(c为常数)的形式。
2.常用方法
(1)从特殊入手，求出表达式，再证明这个值与变量无关；
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值。

探究一：圆锥曲线中的最值问题
已知是椭圆的右焦点，点在上，直线与轴交于点，点为C上的动点，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
思路分析：
由题可得椭圆，进而可得，利用向量数量积的坐标表示可得，再结合条件及二次函数的性质即求。

【解析】由题可得，
∴，即椭圆，
∴，直线方程为，
∴，又，
设，则，，
∴


，又，
∴当时，有最小值为.
故选：C.
【答案】C
【变式练习】
1．已知双曲线的离心率为，双曲线上的点到焦点的最小距离为，则双曲线上的点到点的最小距离为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知可得，，可得，，，
所以，双曲线的方程为，
设是双曲线上的点，则，且或，
则，
所以当时，.
故选：B.
2．已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由圆 圆心 ，半径，设

，故选B.
探究二：定点问题
设A，B是抛物线C：上两个不同的点，О为坐标原点，若直线OA与OB的斜率之积为-4，则下列结论正确的有（    ）
①②
③直线AB过抛物线C的焦点④面积的最小值是2
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
思路分析：
设直线的方程为，与抛物线方程联立，得出韦达定理代入，可判断③；从而根据抛物线的性质可知，可判断①；再表示出的面积可判断④；对于②取，可判断；从而得出答案。

【解析】取，，满足，从而，故②错误；
由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，
联立，整理得，则，.
因为，所以，所以直线的方程为，
则直线过点，因为抛物线的焦点为，所以直线过焦点，
故③正确；
则由抛物线的性质可知，故①正确；
由上可得直线的方程为，则，
原点到直线的距离，
则，故④正确.
故选：A
【答案】A
【变式练习】
1．已知椭圆的上顶点为为椭圆上异于A的两点，且，则直线过定点（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设直线的方程为，，则由
整理得，
所以，
，
因为，，，
所以

解得或，
当时，直线的方程为，直线过点而，而不在同一直线上，不合题意；
当时，直线的方程为，直线过，符合题意.
故选：D.

2．已知为双曲线右支上的一个动点，为双曲线的右焦点，若在轴的负半轴上存在定点，使得，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知.设，当时，因为，所以，所以，所以，即.
当时，，.
因为，所以.
将代入并整理得，由解得.
故选：A．
探究三：定值问题
已知，，为曲线的左、右焦点，点为曲线与曲线在第一象限的交点，直线为曲线在点处的切线，若三角形的内心为点，直线与直线交于点，则点，横坐标之差为_______．
思路分析：
由题意写出明确两曲线的焦点，可求得P点坐标，进而求出P点处的切线方程，利用圆的切线性质结合双曲线几何性质求出三角形 内切圆圆心的横坐标，再表示出直线的方程，联立解得N点横坐标，即可求得答案。

【解析】由题意得，，为曲线的左、右焦点，点为曲线与曲线在第一象限的交点，即C,E有相同的焦点，
则，
联立,消去，得，
对于椭圆，设为椭圆上一点，令，
则椭圆化为圆 ，即为，
由圆上一点处的切线方程可知在处的切线方程为，
故可得椭圆在处的切线方程为，
即，
故由直线为曲线在点处的切线，P点在第一象限，
则，可得直线方程为 ① ，
设三角形内切圆半径为，则由等面积可得，
   ② ，
又由于P在双曲线上，设三角形内切圆圆心，各边上的切点分别为，如图：

由圆的切线性质可得，
则 ,
即 ，即M点横坐标为1，
由可得直线的方程为 ③  ，
联立①②③，化简可得；
又，
故答案为：
【答案】
【变式练习】
1．已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点，M，N为双曲线上的两动点，以M，N为直径的圆过原点O，则______．
【答案】
【解析】设双曲线的方程为，将代入双曲线的方程可得，
∴，则双曲线的方程为．∵M，N为双曲线上的两动点，且以M，N为直径的圆过坐标原点O，∴，∴．设，，设直线OM为，联立解得，，同理可得，，∴．
故答案为：.
2．已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，点，若直线的斜率分别为，则______．
【答案】
【解析】由抛物线方程知：，则可设，，，
由得：，；
.
故答案为：.

一、单选题
1．已知点、，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，，整理得，
则，故，
因为，所以，所以，
即．
故选：C．
2．点M为双曲线上任意一点，点O是坐标原点，则的最小值是
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】设M(x,y),∵ 点M为双曲线上,∴
=
故选B.
3．已知抛物线和所围成的封闭曲线如图所示,给定点,若在此封闭曲线上恰有三对不同的点,满足每一对点关于点对称,则实数的取值范围是

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：显然，过点与轴平行的直线与封闭曲线的
两个交点关于点对称，且这两个点在同一曲线上．
当对称的两个点分属两段曲线时，设其中一个点
为，，其中，且，
则其关于点的对称点为，，
所以这个点在曲线上，
所以，即，
所以，即，此方程的的解必须刚好有且只有两个，
当时，其对称点的横坐标刚好为，故，
于是，且，
，即，
故选：．
4．已知椭圆的左焦点是，右焦点是，点P 在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么
A．3 : 5 B．3 : 4 C．4 : 3 D．5 : 3
【答案】A
【解析】由椭圆方程可得：,
设P点坐标为，线段的中点为，
因为线段的中点在轴上，所以，即，代入椭圆方程得或，
不妨取,则，
所以 ，故选A.
5．已知椭圆：的左右顶点分别为和，是椭圆上不同于，的一点．设直线，的斜率分别为，，则当取最小值时，椭圆的离心率为（      ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，，
所以，
令，，
构造函数，
，
当，，为减函数，
当，，为增函数，
所以时取最小值，
此时，.
故选：C
6．已知椭圆，P为E的长轴上任意一点，过点P作斜率为的直线l与E交于M，N两点，则的值为（    ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】设，直线l的方程为，将直线方程代入椭圆方程并化简得到，进而有，
所以
．
故选：B．
7．直线l过点（2，1），且与双曲线有且只有一个公共点，则这样的不同直线的条数为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】直线l的斜率存在时，设l的方程为：，
由得，
时，不成立，方程组无解，时，解得，方程组有唯一解，即直线l与双曲线有唯一公共点，
时，，
即直线l的斜率存在时，符合条件的直线只有一条，
当直线l的斜率不存在时，直线l：x=2，代入双曲线方程得y=0，即直线l与双曲线也有唯一公共点，
所以符合条件的直线有2条.
故选：B
8．已知双曲线的左､右焦点分别为，圆与的渐近线相切.为右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为.给出以下结论：
①的离心率；
②两渐近线夹角为；
③为定值；
④的最小值为.
则所有正确结论为（    ）
A．①② B．①③ C．③④ D．①③④
【答案】D
【解析】因为圆与的渐近线相切，
所以圆心到渐近线的距离等于圆的半径，
即，解得，
所以，离心率，故①正确；
因为的渐近线为，所以两渐近线的倾斜角为和，所以两渐近线夹角为，故②不正确；
设，则，
为定值，故③正确；
依题意设，
联立，得，则，
联立，，则，
所以
，
因为，所以，当且仅当，即为双曲线的右顶点时，等号成立.故④正确.
故选：D.
二、多选题
9．已知椭圆：的离心率为，且过点.若P在椭圆上，，是椭圆的左，右焦点，则下列说法正确的是（    ）
A．若，则 B．满足是直角三角形的点有4个
C．若，则 D．的最大值为
【答案】ACD
【解析】解：依题意可得，解得，，，所以椭圆方程为，则、；
对于A：若，根据椭圆的对称性，可知在椭圆的上、下顶点，此时，所以，故A正确；
对于B：若在椭圆的上、下顶点时，则，
所以，所以以为直角顶点的直角三角形有4个，又以（或）为直角顶点的直角三角形有2个，所以满足是直角三角形的点有8个，故B错误；
对于C：若，因为，所以、，
又，所以，故C正确；
对于D：因为，所以，又，即，所以，即的最大值为，当且仅当点在椭圆的右顶点时取等号，故D正确；
故选：ACD
10．若双曲线C：的实轴长为6，焦距为10，右焦点为F，则下列结论正确的是（    ）
A．过点F的最短的弦长为 B．双曲线C的离心率为
C．双曲线C上的点到点F距离的最小值为2 D．双曲线C的渐近线为
【答案】CD
【解析】因为双曲线的实轴长为6，焦距为10，故可得，又，
故可得，则双曲线的方程为：，且；
对：若过点的直线斜率为零，显然该直线截双曲线的弦长为，故错误；
对：双曲线的离心率，故错误；
对：设双曲线上任意一点，则，
则，又其对称轴为，
故当时，取得最小值为，故正确；
对：双曲线的渐近线方程为，故正确.
故选：.
11．点是椭圆上一点，椭圆的左右焦点分别为，则下列说法正确的是（    ）
A．若椭圆上顶点为，，则的面积为
B．若，则椭圆的离心率的最小值为
C．令直线的斜率分别为，则
D．若的重心和内心满足，其中，则椭圆的离心率
【答案】ABD
【解析】设，则.
对于A：在中，，由余弦定理得：，所以，即.因为椭圆上顶点为，所以b=2，所以，所以的面积为.故A正确；
对于B：在中，，由余弦定理得：，所以，即.根据基本不等式有，
所以，即，所以离心率.故B正确；
对于C：设，则.
因为直线的斜率分别为，由，则，所以.
由可得：，所以.故C错误；
对于D：设，则.由，所以重心.
因为，所以可设内心.即内接圆的半径为.
因为的面积为,所以，
所以，所以离心率.故D正确.
故选：ABD.
12．已知双曲线，若圆与双曲线的渐近线相切，则（    ）
A．双曲线的实轴长为
B．双曲线的离心率
C．点为双曲线上任意一点，若点到的两条渐近线的距离分别为、，则
D．直线与交于、两点，点为弦的中点，若（为坐标原点）的斜率为，则
【答案】BCD
【解析】解：由题意知的渐近线方程为，所以，因为，则，
所以双曲线的实轴长为，故A错误；
，所以，故B正确；
设，则，，故C正确；
设、，则，两式作差得，
所以，，D对.
故选：BCD.
三、填空题
13．双曲线的虚轴长为，两条渐近线方程为，双曲线上有两个点、，直线和的斜率之积为，则_________.
【答案】
【解析】由题意可知，双曲线的焦点在轴上，且，则，
该双曲线的渐近线方程为，则，
所以，双曲线的方程为，即.
设直线的方程为，其中且且，
联立，可得，
所以，，则，
因此，.
故答案为：.
14．已知抛物线，点是的准线上一个动点，过点作的两条切线，切点分别为.则直线必然经过定点，该定点坐标为___________.
【答案】
【解析】设，，，，，
由，即，可得，
所以抛物线在处的切线的方程为，
即，因为，可得，
因为在切线上，可得，①,
同理可得，②
综合①②可得，的坐标满足，
即直线恒过抛物线的焦点，
故答案为：
15．在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过，，三点的圆的圆心为，若直线与抛物线相切于点，则点的坐标是___________.
【答案】
【解析】设，抛物线的焦点坐标，如图，

过，，三点的圆的圆心为，
圆心的纵坐标为，设，
直线与抛物线相切于点，
导数，
即在处的切线斜率，
即的斜率，即，
即，得，即，，
，
，
即，
得，
得或（舍，
解得．
，，，，
即的坐标为，，
故答案为：，．
16．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于A，B两点（点B在第一象限），与准线交于点P.若，，则____________.
【答案】
【解析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，
由抛物线的定义可知，，
不妨设，因为，所以，
因为∽，所以，
即，所以，
所以，
因为与反向，所以.
故答案为：

四、解答题
17．设点、分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且最小值为0．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设定点，已知过点且与坐标轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，且，求m的取值范围．
【答案】(1)；(2)．
【解析】（1）解：设，则有，，
，，
由题意可得，解得或（舍去），
所以，所以椭圆C的方程为．
（2）解：由（1）得，设的方程为，代入，
消元整理得，
设、，则，，
所以，
设的中点为，则，
因为，所以，即，
所以，所以，
因为直线不与坐标轴垂直，所以，
所以，解得．
18．已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)若双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上任意一点，求的最小值.
【答案】(1)；(2)-4
【解析】（1）依题又，
所以，，故双曲线的方程为.
（2）由已知得，，设，
于是，，
因此，
由于，所以当时，取得最小值，为.
19．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.

(1)求椭圆的方程；
(2)已知点，（）在椭圆上，点，是椭圆上不同于，的两个动点，且满足：，试问：直线的斜率是否为定值？请说明理由.
【答案】(1)
(2)为定值，理由见解析
【解析】（1）因为椭圆的中心的原点，焦点在轴上，
所以设椭圆标准方程为，
因为椭圆离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，
焦点为，所以，
所以，解得，
所以椭圆的标准方程.
（2）由题意，直线与椭圆交点，
设，当时直线斜率之和为，
设斜率为，则斜率为，的直线方程为，
与椭圆联立得，
所以，同理，
所以，，
直线的斜率为.
20．设直线x=m（m>0）与双曲线C：的两条渐近线分别交于A，B两点，且△OAB（O为坐标原点）的面积为.
(1)求m的值；
(2)与坐标轴不垂直的直线l与C交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为M'，F为C的右焦点，若，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点.
【答案】(1)m=1；(2)证明见解析
【解析】(1)双曲线C：（m >0）的渐近线方程为，
不妨设点A在x轴上方，则A，B两点的坐标分别为（m，m）和（m， -m），
所以        
解得m=1.
(2)由（1）知C：，则F的坐标为（2，0），
设l与x轴交于点（p，0） ，则l的方程为（），
设.则.
联立，得，
由题可知，所以
因为，F，N三点共线，所以，
即，即，
所以
因为k≠0，所以，
所以，
所以，
所以
解得，     
所以直线l经过x轴上的定点
21．抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．
(1)求的准线方程；
(2)若是直线上的一动点，过向作两条切线，切点为M，N，试探究直线MN是否过定点？若是，请求出定点，若否，请说明理由.
【答案】(1)；(2)直线恒过定点.
【解析】（1）椭圆的焦点坐标为和，
又因为的焦点在轴正半轴上，所以的焦点坐标为，
从而准线方程为；
（2）由（1）知的方程为，即为，则，
设，切点，，
从而切线方程为，即，
同理切线方程为
分别代入有，
从而和均满足直线方程，
所以直线的方程为，即，
又因为在直线上，所以，
所以直线的方程为，
从而直线恒过定点.
22．在平面直角坐标系中，已知双曲线的右顶点为，，是双曲线上除顶点以外的任意两点，为的中点．
(1)设直线与直线的斜率分别为，，求的值．
(2)若，证明：直线过定点，并求出定点的坐标．
【答案】(1)；(2)证明见解析，直线过定点
【解析】（1）设，，，
由题意得，两式相减得，
整理得，
即直线的斜率，
又为的中点，即，所以，
所以；
（2）由可知是以为直角顶点的直角三角形，即，
且直线不与双曲线的渐近线平行，即，
①当直线斜率存在时，设的方程为，，
联立直线与双曲线得，
，即，且，
则，，
所以，，
，
又，所以，即，
解得或，
当时，直线方程为，恒过点，不成立；
当时，直线方程为，恒过点，
②当直线斜率不存在时，设直线方程为，点，，，即
，，
，解得或，
当时，过点，不成立；
当时，过，
综上所述，直线恒过定点.