安徽省安庆市宿松县沪科版2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷(解析版)

这是一份安徽省安庆市宿松县沪科版2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷(解析版)，共29页。试卷主要包含了选择题，四象限，则k的取值范围是等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年安徽省安庆市宿松县九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分.每小题只有一个选项符合题意，请将正确选项的代号填入相应的表格内）
1．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则此三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．形状不能确定
2．二次函数y＝2（x﹣1）2﹣5的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标为（　　）
A．开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点（﹣1，﹣5）
B．开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点（1，5）
C．开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点（1，﹣5）
D．开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点（1，﹣5）
3．若反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（　　）
A．k＜ B．k＞ C．k＞2 D．k＜2
4．如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，则BC＝（　　）

A．2 B． C． D．4
5．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）与B（5，0）两点，与y轴交于点C，若点P在该抛物线的对称轴上，则PA+PC的最小值为（　　）
A．6 B． C．5 D．
6．顶角为36°的等腰三角形我们把这种三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为黄金比．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若CD＝1，则AC的长为（　　）

A． B． C． D．
7．如图，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，3），B（1，﹣6）两点，则不等式kx+b＞的解集为（　　）

A．x＞﹣2 B．﹣2＜x＜0或x＞1
C．x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（　　）

A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cosA＝，则BD的长度为（　　）

A． B． C． D．4
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（x1，0），且0＜x1＜1，下列结论：①9a﹣3b+c＞0；②b＜a；③3a+c＞0．其中正确结论的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．如果，那么＝　 　．
12．已知二次函数y＝a（x﹣2）2+2a（x﹣2）（a为常数，a≠0），当x＝1时，y＞0，则该函数图象的顶点位于 　 　．
13．已知锐角△ABC中，AB＝AC＝10，tanB＝3，则BC的长为 　 　．
14．如图，E是正方形ABCD边AB的中点，连接CE，过点B作BH⊥CE于F，交AC于G，交AD于H，下列说法：①＝；②点F是GB的中点；③AG＝AB；④S△AHG＝S△ABC．其中正确的结论的序号是　 　．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：3tan30°﹣（π﹣4）0++|﹣2|．
16．已知y＝y1﹣y2，y1与x成反比例，y2与x﹣2成正比例，并且当x＝3时，y＝5；当x＝1时，y＝﹣1．求当x＝﹣1时，y的值．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣2，2），B（﹣6，4），C（﹣4，8）．
（1）以坐标原点O为位似中心，位似比为，将△ABC缩小得到△A'B'C'，请在平面直角坐标系中画出△A'B'C'；
（2）设△ABC与△A'B'C'的周长分别为l1，l2，则l1：l2＝　 　．

18．如图，直线y＝﹣x+m与x轴，y轴分别交于点B、A两点，与双曲线相交于C、D两点，过C作CE⊥x轴于点E，已知OB＝3，OE＝1．
（1）求直线AB和双曲线的表达式；
（2）设点F是x轴上一点，使得S△CEF＝2S△COB，求点F的坐标．

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．永康某中学为检测师生体温，在校门安装了测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°．如果测得小聪的有效测温区间MN的长度是1米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计.≈1.73，最后结果精确到0.1米）

20．如图，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC．
（1）求证：；
（2）若AE＝4，EC＝2，BC＝10，求BF和CF长．

六、（本题满分12分）
21．如图．在△ABC中．AB＝4，D是AB上的一点（不与点A，B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E．连接DC，设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′．
（1）当D是AB的中点时，直接写出＝　 　．
（2）若AD＝x，＝y，求y关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围．

七、（本题满分12分）
22．合肥市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为W万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用）
（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）
（2）求W与x之间的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？
（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？

八、（本题满分14分）
23．如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，AD上，MN，EF交于点P，记k＝MN：EF．
（1）若a：b的值为1，当MN⊥EF时，求k的值．
（2）若a：b的值为，求k的最大值和最小值．
（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE＝60°，MP＝EF＝3PE时，求a：b的值．



参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分.每小题只有一个选项符合题意，请将正确选项的代号填入相应的表格内）
1．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则此三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．形状不能确定
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求得∠A和∠B的度数，然后求得∠C的度数，据此即可判断．
解：∵sinA＝，cosB＝，
∴∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
故选：C．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．
2．二次函数y＝2（x﹣1）2﹣5的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标为（　　）
A．开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点（﹣1，﹣5）
B．开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点（1，5）
C．开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点（1，﹣5）
D．开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点（1，﹣5）
【分析】根据二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象的开口方向由a决定，a＞0时开口向上；a＜0时开口向下；对称轴为直线x＝h和顶点坐标（h，k），选择即可．
解：∵a＝2＞0，
∴抛物线开口向上，
∵对称轴为直线x＝h，
∴对称轴为直线x＝1，
∵顶点坐标（h，k），
∴顶点坐标（1，﹣5），
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，注意抛物线顶点坐标和对称轴的求法．
3．若反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（　　）
A．k＜ B．k＞ C．k＞2 D．k＜2
【分析】根据反比例函数的图象和性质，由1﹣2k＜0即可解得答案．
解：∵反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，
∴1﹣2k＜0，
解得k＞，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
4．如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，则BC＝（　　）

A．2 B． C． D．4
【分析】直接利用相似三角形的性质得出BC2＝AC•CD，进而得出答案．
解：∵△ABC∽△BDC，
∴＝，
∵AC＝4，CD＝2，
∴BC2＝AC•CD＝4×2＝8，
∴BC＝2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边关系是解题关键．
5．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）与B（5，0）两点，与y轴交于点C，若点P在该抛物线的对称轴上，则PA+PC的最小值为（　　）
A．6 B． C．5 D．
【分析】先求出二次函数的解析式，然后求出C的坐标，根据对称性将AP+PC转化为PB+PC，因为PB+PC≥BC，
所以得出PB+PC的最小值为BC，求出BC即可．
解：∵y＝x2+bx+c过（﹣1，0），（5，0），
∴，
∴，
∴y＝x2﹣4x﹣5，
当x＝0时，y＝﹣5，
∴C（0，﹣5），

∵AP＝BP，
∴PA+PC＝BP+PC≥BC，
当P，B，C三点共线时，
PA+PC＝BC，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象的性质，关键是利用对称性将PA+PC转化为两点之间线段最短．
6．顶角为36°的等腰三角形我们把这种三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为黄金比．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若CD＝1，则AC的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据角平分线的性质得到∠ABD＝∠DBC，证明△CBD∽△CAB，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程得到答案．
解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴∠DBC＝∠A，∠ABD＝∠A，∠BDC＝36°+36°＝72°＝∠C，
∴AD＝BD＝BC，
∵∠C＝∠C，
∴△CBD∽△CAB，
∴＝，即＝，
整理得：AD2﹣AD﹣1＝0，
解得：AD1＝，AD2＝（负数不合题意），
则AC＝AD+CD＝+1＝，
故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、黄金分割、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
7．如图，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，3），B（1，﹣6）两点，则不等式kx+b＞的解集为（　　）

A．x＞﹣2 B．﹣2＜x＜0或x＞1
C．x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
【分析】结合图象，求出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
解：∵函数y＝kx+b（k≠0）与的图象相交于点A（﹣2，3），B（1，﹣6）两点，
∴不等式的解集为：x＜﹣2或0＜x＜1，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．
8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（　　）

A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）
【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案．
解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴＝，
∵BG＝6，
∴AD＝BC＝2，
∵AD∥BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴＝，
∴＝，
解得：OA＝1，
∴OB＝3，
∴C点坐标为：（3，2），
故选：A．
【点评】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出AO的长是解题关键．
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cosA＝，则BD的长度为（　　）

A． B． C． D．4
【分析】在△ABC中，由锐角三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由锐角三角函数求得BD．
解：∵∠C＝90°，AC＝4，cosA＝，
∴AB＝，
∴，
∵∠DBC＝∠A．
∴cos∠DBC＝cos∠A＝，
∴，
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形．
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（x1，0），且0＜x1＜1，下列结论：①9a﹣3b+c＞0；②b＜a；③3a+c＞0．其中正确结论的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】当取x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＞0；由对称轴是直线x＝﹣1可以得到b＝2a，而a＞0，所以得到b＞a，再取x＝1时，可以得到y＝a+b+c＝a+2a+c＝3a+c＞0．
所以可以判定哪几个正确．
解：∵y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣1，
与x轴的一个交点为（x1，0），
且0＜x1＜1，
∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＞0；
∵对称轴是直线x＝﹣1，则＝﹣1，
∴b＝2a．
∵a＞0，
∴b＞a；
再取x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+c＝3a+c＞0．
∴①、③正确．
故选：C．
【点评】此题主要考查抛物线的性质．此题考查了数形结合思想，解题时要注意数形结合．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．如果，那么＝　　．
【分析】用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解．
解：∵＝，
∴a＝b，
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，用b表示出a是解题的关键．
12．已知二次函数y＝a（x﹣2）2+2a（x﹣2）（a为常数，a≠0），当x＝1时，y＞0，则该函数图象的顶点位于 　第一象限　．
【分析】先解方程a（x﹣2）2+2a（x﹣2）＝0得到抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（2，0），利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，由于x＝1时，y＞0，所以顶点的横坐标为1，纵坐标大于0，于是可判断该函数图象的顶点所在象限．
解：当y＝0时，a（x﹣2）2+2a（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣2+2）＝0，
x﹣2＝0或x﹣2+2＝0，
解得x1＝2，x2＝0，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（2，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，y＞0，
即顶点的纵坐标大于0，
∴该函数图象的顶点位于第一象限．
故答案为：第一象限．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
13．已知锐角△ABC中，AB＝AC＝10，tanB＝3，则BC的长为 　2　．
【分析】作AD⊥BC于D，由AB＝AC得BD＝CD，再由tanB＝3，应用勾股定理即可求出BD的长，即可解决问题．
解：作AD⊥BC于D，

∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵tanB＝＝3，
∴AD＝3BD，
令BD＝x，则AD＝3x，
∵BD2+AD2＝AB2，
∴x2+（3x）2＝102，
∴x＝，
∴BC＝2BD＝2x＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查解直角三角形，关键是作AD⊥BC于D，构造直角三角形，应用正切定义，勾股定理来解决问题．
14．如图，E是正方形ABCD边AB的中点，连接CE，过点B作BH⊥CE于F，交AC于G，交AD于H，下列说法：①＝；②点F是GB的中点；③AG＝AB；④S△AHG＝S△ABC．其中正确的结论的序号是　①③④　．

【分析】①先证明△ABH≌△BCE，得AH＝BE，则AH＝AD＝BC，即＝，根据平行线分线段成比例定理得：＝，可作判断；
②设BF＝x，CF＝2x，则BC＝x，计算FG＝，可作判断；
③根据等腰直角三角形得：AC＝AB，根据①中得：＝，可作判断；
④根据，，可得同高三角形面积的比，可作判断．
解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠HAB＝∠ABC＝90°，
∵CE⊥BH，
∴∠BFC＝∠BCF+∠CBF＝∠CBF+∠ABH＝90°，
∴∠BCF＝∠ABH，
∴△ABH≌△BCE，
∴AH＝BE，
∵E是正方形ABCD边AB的中点，
∴BE＝AB，
∴AH＝AD＝BC，
∴＝，
∵AH∥BC，
∴＝，
∴；
故①正确；
②tan∠ABH＝tan∠BCF＝＝，
设BF＝x，CF＝2x，则BC＝x，
∴AH＝x，
∴BH＝＝x，
∵＝，
∴HG＝＝，
∴FG＝BH﹣GH﹣BF＝﹣﹣x＝≠BF，
故②不正确；
③∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴AC＝AB，
∵，
∴，
∴AG＝AC＝AB，
故③正确；
④∵＝，
∴，，
∴＝，
∴，
故④正确；
本题正确的结论是：①③④；
故答案为：①③④．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角函数、勾股定理等知识，解本题的关键是判断出AH＝BE．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：3tan30°﹣（π﹣4）0++|﹣2|．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质和负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
解：原式＝3×﹣1+2+2﹣
＝﹣1+2+2﹣
＝3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
16．已知y＝y1﹣y2，y1与x成反比例，y2与x﹣2成正比例，并且当x＝3时，y＝5；当x＝1时，y＝﹣1．求当x＝﹣1时，y的值．
【分析】设出解析式，利用待定系数法求得比例系数即可求得其解析式，把x＝﹣1代入解析式即可求得函数值．
解：设y1＝，y2＝b（x﹣2），则y＝﹣b（x﹣2），
根据题意得，
解得，
所以y关于x的函数关系式为y＝+4（x﹣2），
把x＝﹣1代入y＝+4（x﹣2），
得y＝﹣3+4×（﹣1﹣2）＝﹣15．
【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣2，2），B（﹣6，4），C（﹣4，8）．
（1）以坐标原点O为位似中心，位似比为，将△ABC缩小得到△A'B'C'，请在平面直角坐标系中画出△A'B'C'；
（2）设△ABC与△A'B'C'的周长分别为l1，l2，则l1：l2＝　2：1　．

【分析】（1）直接利用位似比得出对应点位置，进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出周长比即可．
解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；
（2）设△ABC与△A′B′C′的周长分别为l1，l2，则l1：l2＝2：1．
故答案为：2：1．

【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．
18．如图，直线y＝﹣x+m与x轴，y轴分别交于点B、A两点，与双曲线相交于C、D两点，过C作CE⊥x轴于点E，已知OB＝3，OE＝1．
（1）求直线AB和双曲线的表达式；
（2）设点F是x轴上一点，使得S△CEF＝2S△COB，求点F的坐标．

【分析】（1）根据已知条件求出A、B、C点坐标，用待定系数法求出直线AB和反比例函数的解析式；
（2）根据三角形面积公式求得EF的长，即可求得点F的坐标；
解：（1）∵OB＝3，OE＝1，
∴B（3，0），C点的横坐标为﹣1，
∵直线y＝﹣x+m经过点B，
∴0＝﹣×3+m，解得m＝1，
∴直线为：y＝﹣x+1，
把x＝﹣1代入y＝﹣x+1得，y＝﹣×（﹣1）+1＝，
∴C（﹣1，），
∵点C在双曲线y＝（k≠0）上，
∴k＝﹣1×＝﹣，
∴双曲线的表达式为：y＝﹣；

（2）∵OB＝3，CE＝，
∴S△COB＝×3×＝2，
∵S△CEF＝2S△COB，
∴S△CEF＝×EF×＝4，
∴EF＝6，
∵E（﹣1，0），
∴F（﹣7，0）或（5，0）；
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．永康某中学为检测师生体温，在校门安装了测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°．如果测得小聪的有效测温区间MN的长度是1米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计.≈1.73，最后结果精确到0.1米）

【分析】延长BC交AD于点E，构造直角△ABE和矩形EDNB，设AE＝x米．通过解直角三角形分别表示出BE、CE的长度，根据BC＝BE﹣CE得到1.73x﹣0.58x＝1，解得即可求得AE 进而即可求得．
解：延长BC交AD于点E，设AE＝x米．
∵tan60°＝，tan30°＝，
∴CE＝＝≈0.58x（米），BE＝≈1.73x（米），
∴BC＝BE﹣CE＝1.73x﹣0.58x＝1（米）．
解得x≈0.87，
∴AE≈0.87（米），
∴AD＝AE+ED≈0.87+1.6≈2.5（米）．
答：测温门顶部A处距地面的高度约为2.5米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，能借助仰角构造直角三角形是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC．
（1）求证：；
（2）若AE＝4，EC＝2，BC＝10，求BF和CF长．

【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理求解即可；
（2）直接利用（1）的结果求解即可．
【解答】（1）证明：∵DF∥AC，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴＝，
∴＝；
（2）解：设BF＝x，
∵BC＝10，
∴CF＝10﹣x，
由（1）得，＝，
∵AE＝4，EC＝2，
∴＝，
∴x＝，
∴BF＝，
∴CF＝10﹣＝．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21．如图．在△ABC中．AB＝4，D是AB上的一点（不与点A，B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E．连接DC，设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′．
（1）当D是AB的中点时，直接写出＝　　．
（2）若AD＝x，＝y，求y关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围．

【分析】（1）先根据DE∥BC推△ADE∽△ABC，再进一步推＝，再根据△ADE与△CED等底同高，求S△ADE＝S△CED，等量代换最后求出；
（2）求＝＝①，再求＝②，①÷②得最后结果．
解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵D是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴＝，AE＝EC
∴＝，
∵△ADE与△CED等底同高，
∴S△ADE＝S△CED，
∵设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′，
∴＝．
故答案为：．
（2）∵AB＝4，AD＝x，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC
∴＝＝①，
＝，
∴＝，
∵△ADE与△CED，AE、EC边同高，
∴＝②，
∴①÷②得，
∵设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′，＝y，
∴y＝﹣x2+x，
∵AB＝4，
∴自变量x的取值范围是0＜x＜4．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形面积求法，掌握判定和性质的熟练应用是解题关键．
七、（本题满分12分）
22．合肥市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为W万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用）
（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）
（2）求W与x之间的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？
（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？

【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以分别求得y与x以及z与x之间的函数关系式；
（2）根据（1）中的结果和题意，可以写出W与x之间的函数关系式；
（3）根据题意，可以求得x的取值范围，再根据二次函数的性质，即可得到今年最多可获得多少万元的毛利润．
解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝ax2，
1000＝a×1002，得a＝，
即y与x之间的函数关系式为y＝x2（0≤x≤100）；
设z与x的函数关系式为z＝kx+b，
，得，
即z与x的函数关系式为z＝﹣x+30（0≤x≤100）；
（2）由题意可得，
W＝zx﹣y＝（﹣x+30）x﹣x2＝（x﹣75）2+1125，
即W与x之间的函数关系式为W＝（x﹣75）2+1125（0≤x≤100），
∵W＝（x﹣75）2+1125，
∴当x＝75时，W取得最大值，此时W＝1125，
即年产量75万件时，所获毛利润最大；
（3）∵今年投入生产的费用不会超过360万元，
∴y≤360，
即x2≤360，
∴x≤60，
∵W＝（x﹣75）2+1125，
∴当x＝60时，W取得最大值，此时W＝1080，
即今年最多可获得1080万元的毛利润．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
八、（本题满分14分）
23．如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，AD上，MN，EF交于点P，记k＝MN：EF．
（1）若a：b的值为1，当MN⊥EF时，求k的值．
（2）若a：b的值为，求k的最大值和最小值．
（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE＝60°，MP＝EF＝3PE时，求a：b的值．

【分析】（1）作FH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，设EF交MN于点O．证明△FHE≌△MQN（AAS），即可解决问题．
（2）由题意：2a≤MN≤a，a≤EF≤a，当MN的长取最大时，EF取最短，此时k的值最大最大值＝，当MN的最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为．
（3）连接FN，ME．由k＝3，MP＝EF＝3PE，推出＝＝3，推出＝＝2，由△PNF∽△PME，推出＝＝2，ME∥NF，设PE＝2m，则PF＝4m，MP＝6m，NP＝12m，接下来分两种情形①如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与B重合．②如图3中，当点N与C重合，分别求解即可．
解：（1）如图1中，

作FH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，设EF交MN于点O．
∵四边形ABCD是正方形，
∴FH＝AB，MQ＝BC，
∵AB＝CB，
∴FH＝MQ，
∵EF⊥MN，
∴∠EON＝90°，
∵∠ECN＝90°，
∴∠MNQ+∠CEO＝180°，∠FEH+∠CEO＝180°
∴∠FEH＝∠MNQ，∵∠EHF＝∠MQN＝90°，
∴△FHE≌△MQN（AAS），
∴MN＝EF，
∴k＝MN：EF＝1．

（2）∵a：b＝1：2，
∴b＝2a，
由题意：2a≤MN≤a，a≤EF≤a，
∴当MN的长取最大时，EF取最短，此时k的值最大最大值＝，
当MN的最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为．

（3）连接FN，ME．
∵k＝3，MP＝EF＝3PE，
∴＝＝3，
∴＝＝2，∵∠FPN＝∠EPM，
∴△PNF∽△PME，
∴＝＝2，ME∥NF，
设PE＝2m，则PF＝4m，MP＝6m，NP＝12m，
①如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与B重合．作FH⊥BD于H．

∵∠MPE＝∠FPH＝60°，
∴PH＝2m，FH＝2m，DH＝10m，
∴＝＝＝．

②如图3中，当点N与C重合，作EH⊥MN于H．则PH＝m，HE＝m，

∴HC＝PH+PC＝13m，
∴tan∠HCE＝＝＝，
∵ME∥FC，
∴∠MEB＝∠FCB＝∠CFD，
∵∠B＝∠D，
∴△MEB∽△CFD，
∴＝＝2，
∴＝＝＝，
综上所述，a：b的值为或．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．