2021-2022学年安徽省安庆市宿松县新安中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2021-2022学年安徽省安庆市宿松县新安中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 下列各数中，是无理数的是

A.  B.  C.  D.

2. 以下计算结果正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 年月日，北京市环保监测中心开始在其官方网站上公布的研究性监测数据．是指大气中直径小于或等于米即微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．把用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 有一组数据：，，，，，这组数据的方差是

A.  B.  C.  D.

5. 下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是

A.  B.  C.  D.

6. 小明是个小马虎，晚上睡觉时将两双不同的袜子放在床头，早上起床没看清随便穿了两只就去上学，则小明正好穿的是相同的一双袜子的概率是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在矩形中，等边的顶点正好落在边上，与交于点，则的值为

A.
B.
C.
D.

8. 已知、为一元二次方程的两个根，那么的值为

A.  B.  C.  D.

9. 如图，，的平分线交直线于点，直线于点，，则的大小为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在中，，为边的中点，为边上一点，且，则的值为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11. ______．
12. 如图，点、、均在上，是的延长线上的一点．若，则的大小为______．
    
     

13. 阅读材料：设，，如果，则已知，，且，则______．
14. 如图，垂直平分线段，相交于点，且，．
    ______．
    为边上的一个动点，，当最小时______．
    
     

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分）

15. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
16. 有一系列等式：
    第个：；
    第个：；
    第个：；
    第个：；
    
    请写出第个等式：______．
    请写出第个等式，并加以验证．
    依据上述规律，计算：．
    
    
    
    
    
    
     
17. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点顶点是网格线的交点．
    画出关于点成中心对称的其中是点的对应点，是点的对应点；
    用无刻度的直尺作出一个格点，使得．

18. 如图，小明从处测得广告牌顶端的仰角为，从处测得广告牌底部的仰角为已知，，求广告牌的高度结果保留两位小数，参考数据：，．
    
     

19. 如图，平行四边形中，，，延长至点，使得，连接．
    证明为直角三角形．
    求平行四边形的面积．

20. 如图，在中，，点是边上一点，以为圆心，为半径的半圆与边相切于点，与边，分别相交于点，．
    求证：；
    当，时，求的长．

21. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
    这次活动共调查了______人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为______；
    将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“______”；
    在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．

22. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
    求该抛物线解析式；
    已知点在轴负半轴，且，直接写出直线的解析式；
    已知是线段上的一个动点，且轴，交抛物线于点，当取最大值时，求点的坐标．

23. 如图，正方形中，点是的中点，过点作于点，过点作垂直的延长线于点，交于点．
    求证：≌；
    如图，连接并延长交于点，连接．
    求证：；
    若正方形的边长为，求．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.，是无理数，故本选项符合题意；
C.，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像每两个之间依次多个，等有这样规律的数．
 

2.【答案】

【解析】

解：、与不是同类项，故A不符合题意．
B、原式，故B符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
根据合并同类项法则、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法运算法则即可求出答案．
本题考查合并同类项法则、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法运算法则，本题属于基础题型．
 

3.【答案】

【解析】

解：；
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】

【解析】

解；，，，，的平均数是，
这组数据的方差是，
故选：．
先求出这组数据的平均数，再利用方差的定义列出算式进行计算即可．
本题考查方差的定义与意义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 

5.【答案】

【解析】

解：能运用平方差公式分解因式的是．
故选：．
利用平方差公式的结构特征判断即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
 

6.【答案】

【解析】

解：设两双袜子分别为黑色和白色，
画树状图得：

共有种等可能的结果，两只恰好配成同色的一双有种情况，
小明正好穿的是相同的一双袜子的概率．
故选：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两只恰好配成同色的一双的情况数目，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查用列树状图的方法解决概率问题；得到能配成一双的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
 

7.【答案】

【解析】

解：如图，

四边形是矩形，
，
是等边三角形，
，
在与中，
，
≌，
，
，
∽，
，
故选：．
利用证明≌，得，再由∽，得．
本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明≌是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】

解：、为一元二次方程的两个根，
，，
．
故选D．
根据一元二次方程根与系数的关系以及解的意义得到关于的等式，把代数式变形后，代入两根之和与关于的等式，求得代数式的值．
本题主要考查一元二次方程的根与系数关系：两根之和是，两根之积是．
 

9.【答案】

【解析】

解：，直线于点，

，
，
，
的平分线交直线于点，
，
，
故选：．
根据互余得出，再利用平行线的性质和角平分线的定义解答即可．
本题考查平行线的性质；熟练掌握角平分线的定义，平行线的性质是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】

解：延长至，使，连接，过作，垂足为，

，，
，
，
，
，
，
为的中点，
，
是的中位线，
，
，
．
故选：．
延长至，使，连接，过作，垂足为，结合利用三角形外角的性质可得，，可求得，再通过证明是的中位线，根据三角形中位线的性质可得，进而可求解．
本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形中位线，含角的直角三角形，证明是的中位线是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】

解：原式．
故答案为：．
先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．
此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
 

12.【答案】

【解析】

解：作对的圆周角，如图，
，，
，
．
故答案为．
作对的圆周角，如图，利用圆内接四边形的性质和等角的补角相等得到，然后根据圆周角定理得到的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质．
 

13.【答案】

【解析】

解：，，且，
．
解得．
故答案是：．
由题意设，，如果，则，由此列出方程即可解决问题．
本题考查了平面向量，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于基础题．
 

14.【答案】

【解析】

解：垂直平分线段，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：；

作关于的对称点，过作于，过点作于，
，
，
，
，
设与交于，即为当最小时的，
，，
，
，
，
，，
为等边三角形，
，
，
．
故答案为：．
根据垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质即可求得；
作关于的对称点，过作于，过点作于，将转化为，再根据，设与交于，即为当最小时的，求出即可．
本题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，锐角三角函数解三角形，解决此题的关键是作出垂线和，将转化为．
 

15.【答案】

解：原式

，
当时，
原式．
 

【解析】

先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

16.【答案】

【解析】

解：由题意可知：相间两个奇数的乘方差，等于这个两数的平均数的倍，
第个等式为：，
故答案为：；

第个等式为：．
验证：，
；





．
根据规律：相间两个奇数的乘方差，等于这个两数的平均数的倍．进行解答便可；
把得出的规律用字母表示出来，并运用整式的运算法则进行验证；
根据规律，把各个积裂分成两个奇数的平方差，再进行计算便可．
此题考查数字的变化规律，根据数字的特点，得出运算的规律，利用规律解决问题是解题的关键所在．
 

17.【答案】

解：如图，为所作；

如图，点或为所作．
 

【解析】

延长到使，延长到使，从而得到；
作的垂直平分线找出格点，然后利用勾股定理进行验证即可．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

18.【答案】

解：过点作，交的延长线于点，

在中，，，
，
在中，，，
，
，
答：广告牌的高度约为米．
 

【解析】

过点作，交的延长线于点，再根据锐角三角函数即可求广告牌的高度．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题和坡度坡角问题，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
 

19.【答案】

证明：，
，，
，
，
，
为直角三角形；
解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
平行四边形的面积．
 

【解析】

由等腰三角形的性质可得，，由三角形的内角和定理可得，可得结论；
由勾股定理可求的长，由三角形的面积公式可求，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

20.【答案】

证明：连接、，如图，
为半径的半圆与边相切于点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
解：在中，，
，，
，
，
而，
，，
，，
为等边三角形，
，
，
．
 

【解析】

连接、，如图，根据切线的性质得，则，根据平行线的性质证明，所以，从而得到结论；
利用含度的直角三角形三边的关系得到，再证明为等边三角形，所以，于是得到．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了含度的直角三角形三边的关系．
 

21.【答案】

，；  微信； 
将微信记为、支付宝记为、银行卡记为，
画树状图如下：
画树状图得：

共有种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有种，
两人恰好选择同一种支付方式的概率为．
 

【解析】

解：本次活动调查的总人数为人，
则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为，
故答案为：，；

微信人数为人，银行卡人数为人，
补全图形如下：

由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”，
故答案为：微信；

见答案．
【分析】
用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用乘以“支付宝”人数所占比例即可得；
用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的定义求解可得；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．  

22.【答案】

解：将点和分別代入中，
得：，
解得：，
抛物线解析式为：；

由知，，，
，
，
，
，
，
设的解析式为，将点代入，得：，
解得：，
的解析式为；

延长交中的于点，由题意可得，

设线段所在直线的解析式为，分别代入和得，
，
，
轴，
，
，
，
，
设点的横坐标为，其中，则，
此时，
开口向下，且，
当时，最大即取最大值，此时．
 

【解析】

将，代入抛物线解析式即可；
勾股定理求出，很久即可得知的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可；
由得，再由轴得，从而，故B，即可得到，设出的坐标将表示成二次函数配方即可．
此题主要考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式、线段和的最大值、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，解决此题的关键是将转化为．
 

23.【答案】

证明：如图中，，，
是正方形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，，
≌．

证明：如图中连接．

由得，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
．

由得，，
设，则，
，，，
在中，则有
解得：，
，
．
 

【解析】

首先证明四边形是平行四边形，再根据证明三角形全等即可．
如图中连接证明，推出可得结论．
设，则，，，，在中，利用勾股定理求出即可解决问题．
本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质没相似三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．