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2021-2022学年安徽省芜湖市九年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年安徽省芜湖市九年级（上）期末数学试卷 解析版，共23页。试卷主要包含了选择题每小题都给出A，填空题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年安徽省芜湖市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．（4分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）若a是方程x2+3x﹣1＝0的一个根，则2a2+6a+2020的值为（ ）
A．2020 B．﹣2021 C．2022 D．﹣2021
3．（4分）一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至少有1个球是白球 B．至少有1个球是黑球
C．至少有2个球是黑球 D．至少有2个球是白球
4．（4分）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
5．（4分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）均在反比例函数y＝的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则下列各式正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
6．（4分）往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝72cm，则水的最大深度为（ ）
A．36cm B．27cm C．24cm D．15cm
7．（4分）如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，CD＝2，劣弧BC的长是劣弧BD长的2倍，则AC的长为（ ）
A． B． C．3 D．
8．（4分）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（4分）函数y＝与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝﹣kx+b的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
10．（4分）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数y＝与y＝在第一象限的图象分别为曲线l1，l2，点P为曲线l1上的任意一点，过点P作y轴的垂线交l2于点A，交y轴于点M，作x轴的垂线交l2于点B，则△AOB的面积是（ ）
A． B．3 C． D．4
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）将抛物线y＝x2向下平移3个单位长度，所得到的抛物线解析式为 ．
12．（5分）一块直角三角板的30°角的顶点A落在⊙O上，两边分别交⊙O于B、C两点，若弦BC长为4，则⊙O的半径为 ．
13．（5分）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则m的值是 ．
14．（5分）如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝10，AD＝6，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H．连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）用配方法解方程：x2﹣6x﹣5＝0．
16．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，＝＝，DE⊥AC．
求证：DE是⊙O的切线．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB，线段MN在网格线上（点M，N是格点）．
（1）画出线段AB绕点N顺时针旋转90°得到的线段A1B1（点A1，B1分别为A，B的对应点）；
（2）在问题（1）的旋转过程中，求线段AB扫过的面积．
18．（8分）如图，点A是⊙O外一点，过点A作出⊙O的一条切线．
（使用尺规作图，作出一条即可，不要求写出作法，不要求证明，但要保留作图痕迹）
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？
20．（10分）2021年某市轨道交通1号线经过10月份的试运营，于11月正式开通运营．10月份客运量为120万人次，12月份客运量为172.8万人次
（1）求1号线客运量的月平均增长率；
（2）按照客运量这样的月增长率，预计1号线在2022年1月份的客运量能否突破200万人次．
六、（本题满分12分）
21．（12分）商场出售一批进价为2元的贺年卡，在市场营销中发现此商品日销售单价x（元）与日销售量y（张）之间有如下关系：
x（元）
3
4
5
6
y（张）
16
14
12
10
（1）写出y关于x的函数关系式： ；
（2）设经营此贺年卡的日销售利润为w（元），试求出w关于x的函数解析式；
（3）求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润，并求出最大日销售利润．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，将△ABC绕着点A顺时针旋转得到△ADE，连接BD，连接CE并延长交BD于点F．
（1）求∠BFE的度数；
（2）若AC＝BC＝5，且CE＝EF，求DF的长．
八、（本题满分14分）
23．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接BC，且CD＝3BD，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设P是线段CD上的一个动点，过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连接FB，FC．
①求△BCF面积最大值时，点P的坐标；
②当△BCF面积等于最接近最大值的整数时，直接写出此时点P的坐标．
2021-2022学年安徽省芜湖市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．（4分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
2．（4分）若a是方程x2+3x﹣1＝0的一个根，则2a2+6a+2020的值为（ ）
A．2020 B．﹣2021 C．2022 D．﹣2021
【分析】把x＝a代入方程求出a2+3a的值，原式前两项提取2变形后，把a2+3a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：把x＝a代入方程得：a2+3a﹣1＝0，即a2+3a＝1，
则原式＝2（a2+3a）+2020
＝2+2020
＝2022．
故选：C．
3．（4分）一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至少有1个球是白球 B．至少有1个球是黑球
C．至少有2个球是黑球 D．至少有2个球是白球
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：由题意，得
一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，至少有一个黑球，是必然事件，
故选：B．
4．（4分）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵x2﹣4x+3＝0，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，
则x﹣1＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
故选：B．
5．（4分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）均在反比例函数y＝的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则下列各式正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
【分析】先根据反比例函数y＝的系数1＞0判断出函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，再根据x1＜x2＜0＜x3，判断出y1、y2、y3的大小．
【解答】解：∵反比例函数y＝的系数1＞0，
∴该反比例函数的图象如图所示，该图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）均在反比例函数y＝的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，
∴点A（x1，y1），B（x2，y2）在第三象限，点C（x3，y3）在第一象限，
∴y2＜y1＜0，y3＞0，
∴y2＜y1＜y3．
故选：C．
6．（4分）往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝72cm，则水的最大深度为（ ）
A．36cm B．27cm C．24cm D．15cm
【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，再根据勾股定理求出OC的长，进而可得出CD的长．
【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D．
∵OC⊥AB，
∴AC＝CB＝36（cm），
∵OA＝OB＝39cm，
∴OC＝＝＝15（cm），
∴CD＝39﹣15＝24（cm），
故选：C．
7．（4分）如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，CD＝2，劣弧BC的长是劣弧BD长的2倍，则AC的长为（ ）
A． B． C．3 D．
【分析】连接OC、OD、BC．根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，利用勾股定理的逆定理判断∠COD＝90°，根据圆心角、弧、弦的关系定理以及圆周角定理求出∠A＝30°．然后解Rt△ABC，利用余弦函数定义得到AC＝AB•cosA＝2．
【解答】解：如图，连接OC、OD、BC．
∵AB为⊙O的直径，AB＝4，
∴∠ACB＝90°，OC＝OD＝AB＝2，
∵CD＝2，
∴OC2+OD2＝22+22＝8＝CD2，
∴∠COD＝90°，
∵劣弧BC的长是劣弧BD长的2倍，
∴∠COB＝2∠BOD，
∴∠COB＝∠COD＝×90°＝60°，
∴∠A＝∠COB＝30°．
在Rt△ABC中，
AC＝AB•cosA＝4×＝2．
故选：D．
8．（4分）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用圆锥的底面圆周长是扇形的弧长计算即可．
【解答】解：∵正六边形的外角和为360°，
∴每一个外角的度数为360°÷6＝60°，
∴正六边形的每个内角为180°﹣60°＝120°．
设这个圆锥底面圆的半径是r，
根据题意得，2πr＝
解得，r＝2．
故选：B．
9．（4分）函数y＝与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝﹣kx+b的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】首先根据二次函数及反比例函数的图象确定k、b的符号，然后根据一次函数的性质确定答案即可．
【解答】解：根据反比例函数的图象位于一、三象限知k＞0，则﹣k＜0，
根据二次函数的图象可知a＜0，b＜0，
∴函数y＝﹣kx+b的大致图象经过二、三、四象限，
故选：C．
10．（4分）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数y＝与y＝在第一象限的图象分别为曲线l1，l2，点P为曲线l1上的任意一点，过点P作y轴的垂线交l2于点A，交y轴于点M，作x轴的垂线交l2于点B，则△AOB的面积是（ ）
A． B．3 C． D．4
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S△AOM＝S△BON|＝1，S矩形OMON＝6，求出S△PAB即可，设ON＝a，用含有a的代数式表示PB，AM，PA即可．
【解答】解：如图，∵点A、B在反比例函数y＝的图象上，点P在反比例函数y＝图象上，
∴S△AOM＝S△BON＝×|2|＝1，S矩形OMON＝|6|＝6，
设ON＝a，则PN＝OM＝，BN＝，
∴PB＝PN﹣BN＝，
在Rt△AOM中，
∵OM•AM＝1，OM＝，
∴AM＝a，
∴PA＝PM﹣AM＝a﹣a＝a，
∴S△PAB＝PA•PB
＝×a×
＝，
∴S△AOB＝S矩形OMPN﹣S△AOM﹣S△BON﹣S△PAB
＝6﹣1﹣1﹣
＝，
故选：A．
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）将抛物线y＝x2向下平移3个单位长度，所得到的抛物线解析式为 y＝x2﹣3 ．
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【解答】解：将抛物线y＝x2向下平移3个单位长度，所得到的抛物线解析式为y＝x2﹣3．
故答案是：y＝x2﹣3．
12．（5分）一块直角三角板的30°角的顶点A落在⊙O上，两边分别交⊙O于B、C两点，若弦BC长为4，则⊙O的半径为 4 ．
【分析】连接OB、OC，如图，先根据圆周角定理得到∠BOC＝60°，则可判断△OBC为等边三角形，从而得到OB＝4．
【解答】解：连接OB、OC，如图，
∵∠A与∠BOC都对，
∴∠BOC＝2∠A＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝BC＝4，
即⊙O的半径为4．
故答案为4．
13．（5分）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则m的值是 2 ．
【分析】用根与系数的关系可用m表示x1x2的值，代入已知等式可得到关于m的方程，可求得m的值，再根据方程根的判别式进行取舍．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，
∴x1x2＝m2﹣m，
∵x1x2＝2，
∴m2﹣m＝2，即m2﹣m﹣2＝0，
解得m＝2或m＝﹣1，
当m＝﹣1时，方程为x2﹣2x+2＝0，其判别式Δ＝﹣4＜0，不符合条件，
∴m＝2．
故答案为：2．
14．（5分）如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝10，AD＝6，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H．连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是 ﹣3 ．
【分析】连接BD，取AD的中点E，连接BE，由题可知H点在以E为圆心，AE为半径的圆上，当B、H、E三点共线时，BH最小；求出BD＝8，在Rt△BED中，利用勾股定理求出BE＝＝，代入BH＝BE﹣EH即可求解．
【解答】解：连接BD，取AD的中点E，连接BE，
∵DH⊥AC，
∴H点在以E为圆心，AE为半径的圆上，
∴EH＝DE．
当B、H、E三点共线时，BH最小，
∵AB是直径，
∴∠BDA＝90°，
∵AB＝10，AD＝6，
∴BD＝＝＝8，DE＝AD＝3，
在Rt△BED中，BE＝＝＝，
∴BH＝BE﹣EH＝﹣3，
故答案为：﹣3．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）用配方法解方程：x2﹣6x﹣5＝0．
【分析】先变形为x2﹣6x＝5，再把方程两边都加上9得 x2﹣6x+9＝5+9，则 （x﹣3）2＝14，然后用直接开平方法解方程即可．
【解答】解：移项得x2﹣6x＝5，
方程两边都加上9得 x2﹣6x+9＝5+9，
即 （x﹣3）2＝14，
则x﹣3＝±，
所以x1＝3+，x2＝3﹣
16．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，＝＝，DE⊥AC．
求证：DE是⊙O的切线．
【分析】连接OD，根据已知条件得到，求得，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，求得∠EDA＝60°，根据切线的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：连接OD，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，
∴∠EDA＝60°，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB，线段MN在网格线上（点M，N是格点）．
（1）画出线段AB绕点N顺时针旋转90°得到的线段A1B1（点A1，B1分别为A，B的对应点）；
（2）在问题（1）的旋转过程中，求线段AB扫过的面积．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A的对应点A1、点B的对应点B2即可；
（2）根据扇形的面积公式，利用线段AB扫过的面积＝扇形ANA1的面积﹣扇形BNB1的面积进行计算．
【解答】解：（1）如图，A1B1为所作；
（2）∵NB＝＝，NA＝＝，
∴线段AB扫过的面积＝扇形ANA1的面积﹣扇形BNB1的面积＝﹣＝4π．
18．（8分）如图，点A是⊙O外一点，过点A作出⊙O的一条切线．
（使用尺规作图，作出一条即可，不要求写出作法，不要求证明，但要保留作图痕迹）
【分析】连接OA，作线段OA的垂直平分线确定其中点，再作以OA为直径的圆，两圆的交点为B，作直线AB即可得出答案．
【解答】解：如图所示，直线AB即为所求．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？
【分析】（1）用不合格品的数量除以总量即可求得抽到不合格品的概率；
（2）令不合格产品为甲，合格产品为乙、丙、丁，则随机抽2件的情况只有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，6种情况，合格的有3种情形，再根据概率公式计算即可；
（3）根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值；
【解答】解：（1）∵4件同型号的产品中，有1件不合格品，
∴P（不合格品）＝；
（2）令不合格产品为甲，合格产品为乙、丙、丁，则随机抽2件的情况只有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，6种情况．合格的有3种情形
P（抽到的都是合格品）＝＝；
（3）∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，
∴抽到合格品的概率等于0.95，
∴＝0.95，
解得：x＝16．
20．（10分）2021年某市轨道交通1号线经过10月份的试运营，于11月正式开通运营．10月份客运量为120万人次，12月份客运量为172.8万人次
（1）求1号线客运量的月平均增长率；
（2）按照客运量这样的月增长率，预计1号线在2022年1月份的客运量能否突破200万人次．
【分析】（1）设1号线客运量的月平均增长率为x，利用等量关系10月份的客运量×（1+月平均增长率）2＝12月份的客运量，列出方程即可求解；
（2）根据2021年12的客运量×（1+月平均增长率）求出2022年1月份的客运量，与200万元比较即可得到答案．
【解答】解：（1）设1号线客运量的月平均增长率为x，
根据题意得：120（1+x）2＝172.8，
解得x＝20%（﹣220%舍去），
答：求1号线客运量的月平均增长率为20%；
（2）按照客运量这样的月增长率，1号线在2022年1月份的客运量为172.8（1+x）＝172.8×（1+20%）＝207.36（万人次）＞200（万人次），
答：预计1号线在2022年1月份的客运量能突破200万人次．
六、（本题满分12分）
21．（12分）商场出售一批进价为2元的贺年卡，在市场营销中发现此商品日销售单价x（元）与日销售量y（张）之间有如下关系：
x（元）
3
4
5
6
y（张）
16
14
12
10
（1）写出y关于x的函数关系式： y＝﹣2x+22 ；
（2）设经营此贺年卡的日销售利润为w（元），试求出w关于x的函数解析式；
（3）求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润，并求出最大日销售利润．
【分析】（1）通过观察表中数据，y与x是一次函数关系，用待定系数法求解即可；
（3）首先要知道纯利润＝（销售单价x﹣2）×日销售数量y，这样就可以确定w与x的函数关系式；
（3）根据二次函数的性质可以求出答案．
【解答】解：（1）通过观察表中数据，y与x是一次函数关系，
设y＝kx+b，把（3，16）、（4，14）代入可得，
，
解得k＝﹣2，b＝22，
∴y关于x的函数关系式为：y＝﹣2x+22，
故答案为：y＝﹣2x+22；
解（2）w＝y（x﹣2）
＝（﹣2x+22）⋅（x﹣2）
＝﹣2x2+26x﹣44，
∴w关于x的函数解析式为w＝﹣2x2+26x﹣44；
（3），
∴当时，w有最大值为．
答：当日销售单价元时，才能获得最大日销售利润元．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，将△ABC绕着点A顺时针旋转得到△ADE，连接BD，连接CE并延长交BD于点F．
（1）求∠BFE的度数；
（2）若AC＝BC＝5，且CE＝EF，求DF的长．
【分析】（1）由旋转的性质可得AC＝AE，AB＝AD，∠ACB＝∠AED＝90°，∠BAC＝∠DAE＝45°，可证点A，点D，点F，点E四点共圆，可得∠BFE＝∠DAE＝45°；
（2）由“SAS”可证△BCE≌△DEF，可得∠BEC＝∠DFE，BE＝DF．由勾股定理可求解．
【解答】解：（1）由旋转可知：AC＝AE，AB＝AD，∠ACB＝∠AED＝90°，∠BAC＝∠DAE＝45°，
∴∠BAD＝∠CAE，∠ACE＝∠AEC，∠ABD＝∠ADB，
∴∠AEC＝∠ADB，
∴点A，点D，点F，点E四点共圆，
∴∠BFE＝∠DAE＝45°；
（2）连接EB，
∵AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC，
∵∠ACB＝∠AED＝90°，
∴∠BCE＝∠DEF，
在△BCE和△DEF中，
，
∴△BCE≌△DEF（SAS），
∴∠BEC＝∠DFE，BE＝DF．
∴∠BEF＝∠BFE＝45°，
∴∠DBE＝90°，BF＝BE＝DF，DE＝5，
∵BE2+BD2＝DE2，
∴BE＝．
八、（本题满分14分）
23．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接BC，且CD＝3BD，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设P是线段CD上的一个动点，过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连接FB，FC．
①求△BCF面积最大值时，点P的坐标；
②当△BCF面积等于最接近最大值的整数时，直接写出此时点P的坐标．
【分析】（1）利用抛物线的对称性可得顶点的横坐标，通过计算线段BD的长度得到点C的坐标，利用待定系数法将A，B，C三点坐标代入即可得出结论；
（2）①利用待定系数法求得直线BC的解析式，设点E的横坐标为m，则点E的坐标为（m，﹣3m+15），点F的坐标为（m，﹣m2+4m+5），利用三角形的面积公式求得解析式，再利用配方法即可求得m的值，结论可得；
②利用①的结论确定接近最大值的整数值为3，令即可求得m的值，利用点P与点E的纵坐标相等即可得出结论．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（5，0），
∴由对称性可知：D点坐标为（2，0）．
∴OD＝2．
∵B（5，0），
∴OB＝5．
∴BD＝OB﹣OD＝3．
∵CD＝3BD，
∴CD＝3BD＝9．
∴C点坐标为（2，9）．
∵A（﹣1，0），B（5，0），C（2，9）在抛物线上，
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5．
（2）①设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：．
∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+15．
设点E的横坐标为m，
则点E的坐标为（m，﹣3m+15），点F的坐标为（m，﹣m2+4m+5），
∴＝＝＝．
∵﹣＜0，
∴当时，S△BCF有最大值为．
此时，点E的坐标为，
∵PE∥x轴，
∴点P的坐标为．
②P的坐标为（2，6），（2，3）．理由：
由第①小题的解答可知：S△BCF有最大值为，
∴最接近这个最大值的整数是3．
∴．
解得：m1＝4，m2＝3．
此时点P的坐标为（2，6），（2，3）．
2021-2022学年安徽省芜湖市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．（4分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）若a是方程x2+3x﹣1＝0的一个根，则2a2+6a+2020的值为（ ）
A．2020 B．﹣2021 C．2022 D．﹣2021
3．（4分）一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至少有1个球是白球 B．至少有1个球是黑球
C．至少有2个球是黑球 D．至少有2个球是白球
4．（4分）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
5．（4分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）均在反比例函数y＝的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则下列各式正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
6．（4分）往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝72cm，则水的最大深度为（ ）
A．36cm B．27cm C．24cm D．15cm
7．（4分）如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，CD＝2，劣弧BC的长是劣弧BD长的2倍，则AC的长为（ ）
A． B． C．3 D．
8．（4分）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（4分）函数y＝与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝﹣kx+b的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
10．（4分）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数y＝与y＝在第一象限的图象分别为曲线l1，l2，点P为曲线l1上的任意一点，过点P作y轴的垂线交l2于点A，交y轴于点M，作x轴的垂线交l2于点B，则△AOB的面积是（ ）
A． B．3 C． D．4
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）将抛物线y＝x2向下平移3个单位长度，所得到的抛物线解析式为 ．
12．（5分）一块直角三角板的30°角的顶点A落在⊙O上，两边分别交⊙O于B、C两点，若弦BC长为4，则⊙O的半径为 ．
13．（5分）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则m的值是 ．
14．（5分）如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝10，AD＝6，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H．连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）用配方法解方程：x2﹣6x﹣5＝0．
16．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，＝＝，DE⊥AC．
求证：DE是⊙O的切线．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB，线段MN在网格线上（点M，N是格点）．
（1）画出线段AB绕点N顺时针旋转90°得到的线段A1B1（点A1，B1分别为A，B的对应点）；
（2）在问题（1）的旋转过程中，求线段AB扫过的面积．
18．（8分）如图，点A是⊙O外一点，过点A作出⊙O的一条切线．
（使用尺规作图，作出一条即可，不要求写出作法，不要求证明，但要保留作图痕迹）
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？
20．（10分）2021年某市轨道交通1号线经过10月份的试运营，于11月正式开通运营．10月份客运量为120万人次，12月份客运量为172.8万人次
（1）求1号线客运量的月平均增长率；
（2）按照客运量这样的月增长率，预计1号线在2022年1月份的客运量能否突破200万人次．
六、（本题满分12分）
21．（12分）商场出售一批进价为2元的贺年卡，在市场营销中发现此商品日销售单价x（元）与日销售量y（张）之间有如下关系：
x（元）
3
4
5
6
y（张）
16
14
12
10
（1）写出y关于x的函数关系式： ；
（2）设经营此贺年卡的日销售利润为w（元），试求出w关于x的函数解析式；
（3）求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润，并求出最大日销售利润．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，将△ABC绕着点A顺时针旋转得到△ADE，连接BD，连接CE并延长交BD于点F．
（1）求∠BFE的度数；
（2）若AC＝BC＝5，且CE＝EF，求DF的长．
八、（本题满分14分）
23．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接BC，且CD＝3BD，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设P是线段CD上的一个动点，过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连接FB，FC．
①求△BCF面积最大值时，点P的坐标；
②当△BCF面积等于最接近最大值的整数时，直接写出此时点P的坐标．
2021-2022学年安徽省芜湖市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．（4分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
2．（4分）若a是方程x2+3x﹣1＝0的一个根，则2a2+6a+2020的值为（ ）
A．2020 B．﹣2021 C．2022 D．﹣2021
【分析】把x＝a代入方程求出a2+3a的值，原式前两项提取2变形后，把a2+3a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：把x＝a代入方程得：a2+3a﹣1＝0，即a2+3a＝1，
则原式＝2（a2+3a）+2020
＝2+2020
＝2022．
故选：C．
3．（4分）一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至少有1个球是白球 B．至少有1个球是黑球
C．至少有2个球是黑球 D．至少有2个球是白球
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：由题意，得
一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，至少有一个黑球，是必然事件，
故选：B．
4．（4分）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵x2﹣4x+3＝0，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，
则x﹣1＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
故选：B．
5．（4分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）均在反比例函数y＝的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则下列各式正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
【分析】先根据反比例函数y＝的系数1＞0判断出函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，再根据x1＜x2＜0＜x3，判断出y1、y2、y3的大小．
【解答】解：∵反比例函数y＝的系数1＞0，
∴该反比例函数的图象如图所示，该图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）均在反比例函数y＝的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，
∴点A（x1，y1），B（x2，y2）在第三象限，点C（x3，y3）在第一象限，
∴y2＜y1＜0，y3＞0，
∴y2＜y1＜y3．
故选：C．
6．（4分）往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝72cm，则水的最大深度为（ ）
A．36cm B．27cm C．24cm D．15cm
【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，再根据勾股定理求出OC的长，进而可得出CD的长．
【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D．
∵OC⊥AB，
∴AC＝CB＝36（cm），
∵OA＝OB＝39cm，
∴OC＝＝＝15（cm），
∴CD＝39﹣15＝24（cm），
故选：C．
7．（4分）如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，CD＝2，劣弧BC的长是劣弧BD长的2倍，则AC的长为（ ）
A． B． C．3 D．
【分析】连接OC、OD、BC．根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，利用勾股定理的逆定理判断∠COD＝90°，根据圆心角、弧、弦的关系定理以及圆周角定理求出∠A＝30°．然后解Rt△ABC，利用余弦函数定义得到AC＝AB•cosA＝2．
【解答】解：如图，连接OC、OD、BC．
∵AB为⊙O的直径，AB＝4，
∴∠ACB＝90°，OC＝OD＝AB＝2，
∵CD＝2，
∴OC2+OD2＝22+22＝8＝CD2，
∴∠COD＝90°，
∵劣弧BC的长是劣弧BD长的2倍，
∴∠COB＝2∠BOD，
∴∠COB＝∠COD＝×90°＝60°，
∴∠A＝∠COB＝30°．
在Rt△ABC中，
AC＝AB•cosA＝4×＝2．
故选：D．
8．（4分）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用圆锥的底面圆周长是扇形的弧长计算即可．
【解答】解：∵正六边形的外角和为360°，
∴每一个外角的度数为360°÷6＝60°，
∴正六边形的每个内角为180°﹣60°＝120°．
设这个圆锥底面圆的半径是r，
根据题意得，2πr＝
解得，r＝2．
故选：B．
9．（4分）函数y＝与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝﹣kx+b的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】首先根据二次函数及反比例函数的图象确定k、b的符号，然后根据一次函数的性质确定答案即可．
【解答】解：根据反比例函数的图象位于一、三象限知k＞0，则﹣k＜0，
根据二次函数的图象可知a＜0，b＜0，
∴函数y＝﹣kx+b的大致图象经过二、三、四象限，
故选：C．
10．（4分）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数y＝与y＝在第一象限的图象分别为曲线l1，l2，点P为曲线l1上的任意一点，过点P作y轴的垂线交l2于点A，交y轴于点M，作x轴的垂线交l2于点B，则△AOB的面积是（ ）
A． B．3 C． D．4
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S△AOM＝S△BON|＝1，S矩形OMON＝6，求出S△PAB即可，设ON＝a，用含有a的代数式表示PB，AM，PA即可．
【解答】解：如图，∵点A、B在反比例函数y＝的图象上，点P在反比例函数y＝图象上，
∴S△AOM＝S△BON＝×|2|＝1，S矩形OMON＝|6|＝6，
设ON＝a，则PN＝OM＝，BN＝，
∴PB＝PN﹣BN＝，
在Rt△AOM中，
∵OM•AM＝1，OM＝，
∴AM＝a，
∴PA＝PM﹣AM＝a﹣a＝a，
∴S△PAB＝PA•PB
＝×a×
＝，
∴S△AOB＝S矩形OMPN﹣S△AOM﹣S△BON﹣S△PAB
＝6﹣1﹣1﹣
＝，
故选：A．
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）将抛物线y＝x2向下平移3个单位长度，所得到的抛物线解析式为 y＝x2﹣3 ．
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【解答】解：将抛物线y＝x2向下平移3个单位长度，所得到的抛物线解析式为y＝x2﹣3．
故答案是：y＝x2﹣3．
12．（5分）一块直角三角板的30°角的顶点A落在⊙O上，两边分别交⊙O于B、C两点，若弦BC长为4，则⊙O的半径为 4 ．
【分析】连接OB、OC，如图，先根据圆周角定理得到∠BOC＝60°，则可判断△OBC为等边三角形，从而得到OB＝4．
【解答】解：连接OB、OC，如图，
∵∠A与∠BOC都对，
∴∠BOC＝2∠A＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝BC＝4，
即⊙O的半径为4．
故答案为4．
13．（5分）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则m的值是 2 ．
【分析】用根与系数的关系可用m表示x1x2的值，代入已知等式可得到关于m的方程，可求得m的值，再根据方程根的判别式进行取舍．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，
∴x1x2＝m2﹣m，
∵x1x2＝2，
∴m2﹣m＝2，即m2﹣m﹣2＝0，
解得m＝2或m＝﹣1，
当m＝﹣1时，方程为x2﹣2x+2＝0，其判别式Δ＝﹣4＜0，不符合条件，
∴m＝2．
故答案为：2．
14．（5分）如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝10，AD＝6，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H．连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是 ﹣3 ．
【分析】连接BD，取AD的中点E，连接BE，由题可知H点在以E为圆心，AE为半径的圆上，当B、H、E三点共线时，BH最小；求出BD＝8，在Rt△BED中，利用勾股定理求出BE＝＝，代入BH＝BE﹣EH即可求解．
【解答】解：连接BD，取AD的中点E，连接BE，
∵DH⊥AC，
∴H点在以E为圆心，AE为半径的圆上，
∴EH＝DE．
当B、H、E三点共线时，BH最小，
∵AB是直径，
∴∠BDA＝90°，
∵AB＝10，AD＝6，
∴BD＝＝＝8，DE＝AD＝3，
在Rt△BED中，BE＝＝＝，
∴BH＝BE﹣EH＝﹣3，
故答案为：﹣3．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）用配方法解方程：x2﹣6x﹣5＝0．
【分析】先变形为x2﹣6x＝5，再把方程两边都加上9得 x2﹣6x+9＝5+9，则 （x﹣3）2＝14，然后用直接开平方法解方程即可．
【解答】解：移项得x2﹣6x＝5，
方程两边都加上9得 x2﹣6x+9＝5+9，
即 （x﹣3）2＝14，
则x﹣3＝±，
所以x1＝3+，x2＝3﹣
16．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，＝＝，DE⊥AC．
求证：DE是⊙O的切线．
【分析】连接OD，根据已知条件得到，求得，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，求得∠EDA＝60°，根据切线的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：连接OD，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，
∴∠EDA＝60°，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB，线段MN在网格线上（点M，N是格点）．
（1）画出线段AB绕点N顺时针旋转90°得到的线段A1B1（点A1，B1分别为A，B的对应点）；
（2）在问题（1）的旋转过程中，求线段AB扫过的面积．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A的对应点A1、点B的对应点B2即可；
（2）根据扇形的面积公式，利用线段AB扫过的面积＝扇形ANA1的面积﹣扇形BNB1的面积进行计算．
【解答】解：（1）如图，A1B1为所作；
（2）∵NB＝＝，NA＝＝，
∴线段AB扫过的面积＝扇形ANA1的面积﹣扇形BNB1的面积＝﹣＝4π．
18．（8分）如图，点A是⊙O外一点，过点A作出⊙O的一条切线．
（使用尺规作图，作出一条即可，不要求写出作法，不要求证明，但要保留作图痕迹）
【分析】连接OA，作线段OA的垂直平分线确定其中点，再作以OA为直径的圆，两圆的交点为B，作直线AB即可得出答案．
【解答】解：如图所示，直线AB即为所求．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？
【分析】（1）用不合格品的数量除以总量即可求得抽到不合格品的概率；
（2）令不合格产品为甲，合格产品为乙、丙、丁，则随机抽2件的情况只有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，6种情况，合格的有3种情形，再根据概率公式计算即可；
（3）根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值；
【解答】解：（1）∵4件同型号的产品中，有1件不合格品，
∴P（不合格品）＝；
（2）令不合格产品为甲，合格产品为乙、丙、丁，则随机抽2件的情况只有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，6种情况．合格的有3种情形
P（抽到的都是合格品）＝＝；
（3）∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，
∴抽到合格品的概率等于0.95，
∴＝0.95，
解得：x＝16．
20．（10分）2021年某市轨道交通1号线经过10月份的试运营，于11月正式开通运营．10月份客运量为120万人次，12月份客运量为172.8万人次
（1）求1号线客运量的月平均增长率；
（2）按照客运量这样的月增长率，预计1号线在2022年1月份的客运量能否突破200万人次．
【分析】（1）设1号线客运量的月平均增长率为x，利用等量关系10月份的客运量×（1+月平均增长率）2＝12月份的客运量，列出方程即可求解；
（2）根据2021年12的客运量×（1+月平均增长率）求出2022年1月份的客运量，与200万元比较即可得到答案．
【解答】解：（1）设1号线客运量的月平均增长率为x，
根据题意得：120（1+x）2＝172.8，
解得x＝20%（﹣220%舍去），
答：求1号线客运量的月平均增长率为20%；
（2）按照客运量这样的月增长率，1号线在2022年1月份的客运量为172.8（1+x）＝172.8×（1+20%）＝207.36（万人次）＞200（万人次），
答：预计1号线在2022年1月份的客运量能突破200万人次．
六、（本题满分12分）
21．（12分）商场出售一批进价为2元的贺年卡，在市场营销中发现此商品日销售单价x（元）与日销售量y（张）之间有如下关系：
x（元）
3
4
5
6
y（张）
16
14
12
10
（1）写出y关于x的函数关系式： y＝﹣2x+22 ；
（2）设经营此贺年卡的日销售利润为w（元），试求出w关于x的函数解析式；
（3）求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润，并求出最大日销售利润．
【分析】（1）通过观察表中数据，y与x是一次函数关系，用待定系数法求解即可；
（3）首先要知道纯利润＝（销售单价x﹣2）×日销售数量y，这样就可以确定w与x的函数关系式；
（3）根据二次函数的性质可以求出答案．
【解答】解：（1）通过观察表中数据，y与x是一次函数关系，
设y＝kx+b，把（3，16）、（4，14）代入可得，
，
解得k＝﹣2，b＝22，
∴y关于x的函数关系式为：y＝﹣2x+22，
故答案为：y＝﹣2x+22；
解（2）w＝y（x﹣2）
＝（﹣2x+22）⋅（x﹣2）
＝﹣2x2+26x﹣44，
∴w关于x的函数解析式为w＝﹣2x2+26x﹣44；
（3），
∴当时，w有最大值为．
答：当日销售单价元时，才能获得最大日销售利润元．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，将△ABC绕着点A顺时针旋转得到△ADE，连接BD，连接CE并延长交BD于点F．
（1）求∠BFE的度数；
（2）若AC＝BC＝5，且CE＝EF，求DF的长．
【分析】（1）由旋转的性质可得AC＝AE，AB＝AD，∠ACB＝∠AED＝90°，∠BAC＝∠DAE＝45°，可证点A，点D，点F，点E四点共圆，可得∠BFE＝∠DAE＝45°；
（2）由“SAS”可证△BCE≌△DEF，可得∠BEC＝∠DFE，BE＝DF．由勾股定理可求解．
【解答】解：（1）由旋转可知：AC＝AE，AB＝AD，∠ACB＝∠AED＝90°，∠BAC＝∠DAE＝45°，
∴∠BAD＝∠CAE，∠ACE＝∠AEC，∠ABD＝∠ADB，
∴∠AEC＝∠ADB，
∴点A，点D，点F，点E四点共圆，
∴∠BFE＝∠DAE＝45°；
（2）连接EB，
∵AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC，
∵∠ACB＝∠AED＝90°，
∴∠BCE＝∠DEF，
在△BCE和△DEF中，
，
∴△BCE≌△DEF（SAS），
∴∠BEC＝∠DFE，BE＝DF．
∴∠BEF＝∠BFE＝45°，
∴∠DBE＝90°，BF＝BE＝DF，DE＝5，
∵BE2+BD2＝DE2，
∴BE＝．
八、（本题满分14分）
23．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接BC，且CD＝3BD，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设P是线段CD上的一个动点，过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连接FB，FC．
①求△BCF面积最大值时，点P的坐标；
②当△BCF面积等于最接近最大值的整数时，直接写出此时点P的坐标．
【分析】（1）利用抛物线的对称性可得顶点的横坐标，通过计算线段BD的长度得到点C的坐标，利用待定系数法将A，B，C三点坐标代入即可得出结论；
（2）①利用待定系数法求得直线BC的解析式，设点E的横坐标为m，则点E的坐标为（m，﹣3m+15），点F的坐标为（m，﹣m2+4m+5），利用三角形的面积公式求得解析式，再利用配方法即可求得m的值，结论可得；
②利用①的结论确定接近最大值的整数值为3，令即可求得m的值，利用点P与点E的纵坐标相等即可得出结论．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（5，0），
∴由对称性可知：D点坐标为（2，0）．
∴OD＝2．
∵B（5，0），
∴OB＝5．
∴BD＝OB﹣OD＝3．
∵CD＝3BD，
∴CD＝3BD＝9．
∴C点坐标为（2，9）．
∵A（﹣1，0），B（5，0），C（2，9）在抛物线上，
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5．
（2）①设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：．
∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+15．
设点E的横坐标为m，
则点E的坐标为（m，﹣3m+15），点F的坐标为（m，﹣m2+4m+5），
∴＝＝＝．
∵﹣＜0，
∴当时，S△BCF有最大值为．
此时，点E的坐标为，
∵PE∥x轴，
∴点P的坐标为．
②P的坐标为（2，6），（2，3）．理由：
由第①小题的解答可知：S△BCF有最大值为，
∴最接近这个最大值的整数是3．
∴．
解得：m1＝4，m2＝3．
此时点P的坐标为（2，6），（2，3）．
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