专题27.1 比例的性质及成比例线段（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题27.1 比例的性质及成比例线段（知识讲解）

【学习目标】

1.了解两条线段的比和比例线段的概念；

2.能根据条件写出比例线段；

3.会运用比例线段解决简单的实际问题.

【要点梳理】

要点一：线段的比：

如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成．

注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定；

(2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关.

(3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB:CD.

要点二：成比例线段：

对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

要点三：比例的基本性质：

要点四：几个重要的比例定理：

【典型例题】

类型一、线段的比

1．如图所示，有矩形ABCD和矩形，AB＝8cm，BC＝12cm，＝4cm，＝6cm．

(1)求和；

(2)线段，AB，，BC是成比例线段吗？

【答案】(1)，(2)线段，AB，，BC是成比例线段．

【分析】

（1）根据已知条件，代入和，即可求得结果；

（2）根据和的值相等，即可判断线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段．

解：(1)∵AB＝8cm，BC＝12cm，A′B′＝4cm，B′C′＝6cm．

∴＝＝ ，＝＝

(2)由（1）知＝＝ ，＝＝；

∴＝，

∴线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段．

【点拨】本题考查了比例线段，知道成比例线段的条件是解题的关键．

【变式1】（1）若=，求代数式的值；

（2）已知==≠0，求代数式的值．

【答案】（1）         （2）

【分析】

（1）先把原式化为，进而可得出结论；

（2）直接利用已知得出，进而代入原式求解．

解：（1）∵=，

∴，

∴；

（2）设===k，则，

∴=．

【点拨】本题考查了比例式的性质，解题的关键是正确用k表示a、b、c．

【变式2】在中，；在中，，求与之比，与之比．

【答案】，，

【分析】在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的值，然后根据在同一长度单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比求解即可．

解：如图，在Rt△ABC中，

根据勾股定理知，AC10cm，

则，

【点拨】本题考查了勾股定理的应用．在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了两条线段的比的求法．

类型二、比例的性质

2．已知＝＝＝x，求x的值．

【答案】或2

【分析】分两种情况讨论：当a+b+c＝0，当a+b+c≠0，再进行计算即可．

解：若a+b+c＝0，则a+b＝-c，b+c＝-a，c+a＝-b，

此时，x＝-1，

若a+b+c≠0，则，

综上所述，x的值为-1或2．

【点拨】本题考查的是比例的基本性质，掌握“比例的等比性质”是解本题的关键．

【变式1】已知：：：：，且，求的值．

【答案】24

【分析】由已知条件设a=2k，则b=3k，c=4k，根据等式得到关于k的方程，解方程求得k，即求得a、b、c的值，从而可求得代数式的值．

解：∵a：b：c=2：3：4，

∴设a=2k，则b=3k，c=4k．

∵2a+3b-2c=15，

∴4k+9k-8k=15，

解得：k=3，

∴a=6，b=9，c=12，

∴a-2b+3c=6-18+36=24．

【点拨】本题考查了比例关系，解方程及求代数式的值，由比例关系设a=2k，则b=3k，c=4k是关键．

【变式2】已知＝＝，求的值．

【答案】－1

【分析】设＝＝＝k，则a＋b＝3k，b＋c＝4k，c＋a＝5k，把三式相加得到a+b+c=6k，再利用加减消元法可计算出a=2k，b=k，c=3k，然后把a=2k，b=k，c=3k代入中进行分式的化简求值即可．

解：设＝＝＝k，

则a＋b＝3k，b＋c＝4k，c＋a＝5k，

三式相加得a+b+c=6k ①

用①式分别减去上述三个式子，可得出

解得a＝2k，b＝k，c＝3k，

所以＝＝－1．

【点拨】本题考查了比例的性质，掌握设比法求值是解题关键．

类型三、比例中项

3．已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a＋2b＝28

（1）求a、b的值．

（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．

【答案】（1）a＝12，b＝8；（2）x＝4．

【分析】

（1）利用，可设，，则，然后解出的值即可得到、的值；

（2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解．

解：（1）

设，，

，

，

，

，；

（2）是的比例中项，

，

是线段，，

．

【点拨】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便．

【变式1】已知a，b，c是△ABC的三边，满足，且．

（1）求a，b，c的值．

（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x．

【答案】（1），，；（2）

【分析】

（1）根据，且，根据比例的性质可得a，b，c的值；

（2）根据比例中项的性质求解即可．

解：（1）∵，且，

∴，

∴，，，

∴，，，

（2）∵线段x是线段a、b的比例中项，

∴，

∴，

【点拨】本题考查了比例的性质和比例中项，熟悉相关性质是解题的关键．

【变式2】已知线段a＝4cm，线段b＝7cm，线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长.

【答案】线段c的长为2cm．

【分析】根据比例中项的定义，成比例线段，构建方程即可解决问题．

解：∵线段c是线段a，b的比例中项，

∴ab=c2，

∵a=4cm，b=7cm，c＞0，

∴，

∴c=2cm．

故线段c的长为2cm．

【点拨】本题考查比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用成比例线段性质列出等式，属于中考常考题型．

类型四、成比例线段

4．已知三条线段长分别为1cm，cm，2cm，请你求出一条线段，使得它的长与前面三条线段能够组成比例线段．

【答案】cm、cm、cm

【分析】根据添加的线段长度，进行分情况讨论．

解：设这条线段长xcm，

①若四条线段的长度大小为：x，1，，2时，，解得：；

②若四条线段的长度大小为： 1，x，，2时，，解得：；

③若四条线段的长度大小为： 1，，x，2时，，解得：；

④若四条线段的长度大小为： 1，，2 ，x时，，解得：；

综上所述，线段长度为cm、cm或cm．

【点拨】本题考查成比例线段的求法，分类讨论是关键．

【变式1】如图，在中，，且，求的长．

【答案】．

【分析】利用比例线段得到，然后根据比例性质求．

解：，即，

，

．

【点拨】本题考查了比例线段、比例的性质，解题的关键是掌握对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

【变式2】若P在线段AB上，点Q在AB的延长线上，，且，求PQ的长．

【答案】24

【分析】根据＝，分别求出BP，BQ的长，两者相加即可求出PQ的长.

解：设AP＝3x，BP＝2x，

∵AB＝10，∴AB＝AP＋BP＝3x＋2x＝5x，即5x＝10，

∴x＝1，∴AP＝6，BP＝4.

∵＝，∴可设BQ＝y，则AQ＝AB＋BQ＝10＋y，

∴，

解得y＝20，

∴PQ＝PB＋BQ＝4＋20＝24.

【点拨】本题考查了比例线段、两点间的距离等知识，运用好线段之间的比例关系是解答本题的关键．