专题27.2 比例的性质及成比例线段（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题27.2 比例的性质及成比例线段（基础篇）

（专项练习）

一、单选题

1．地图上乐山到峨眉的图上距离为3.8厘米，比例尺是1：1000000，那么乐山到峨眉的实际距离是（　　）

A．3800米 B．38000米 C．380000米 D．3800000米

2．已知线段b是线段a和线段c的比例中项，若，，则b的值是（       ）

A．3.5 B．6 C． D．

3．某地图上1cm2面积表示实际面积900m2，则该地图的比例尺是（     ）

A． B． C． D．

4．已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a＝2cm，b＝4cm，c＝5cm，则d等于（　　）

A．1cm B．10cm C．cm D．cm

5．下面的四个数中能组成比例的是（　　）

A．、、0.6和0.3 B．20、14、4和5

C．3、4、和 D．6、10、9和15

6．如果4a＝5b(ab≠0)，那么下列比例式变形正确的是（       ）

A． B． C． D．

7．已知，则下列各式成立的是（     ）

A． B．

C． D．

8．下列四组线段中，是成比例线段的是（　　）

A．0.5，3，2，10 B．3，4，6，2

C．5，6，15，18 D．1.5，4，1.2，5

9．如果，且b是a，c的比例中项，那么等于（       ）

A． B． C． D．

10．如图，P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB，S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形面积，则S1、S2的大小关系是（       ）

A．S1>S2 B．S1=S2 C．S1<S2 D．无法确定

二、填空题

11．已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是_______厘米．

12．已知点在线段上，，那么的比值是_________．

13．若，则＝_____．

14．若，则___________．

15．已知线段，，线段c是线段a，b的比例中项，则c=_______．

16．已知，则的值为_________．

17．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感按此比例，如果雕像的高为3m，那么它的下部应设计为多高？设它的下部设计高度为m，根据题意，可列方程为__________．

18．两地的实际距离是1200千米，在地图上量得这两地的距离为2厘米，则这幅地图的比例尺是1∶___．

19．已知三条线段、、，其中，，是、的比例中项，则_____cm．

20．如图1，把标准纸（长与宽之比为）一次又一次对开，按图2叠放，可以发现，这些叠放起来的矩形的右上顶点与左下顶点在同一直线上． 若以图2最大矩形的左下顶点为原点，以宽和长所在直线分别为x轴和y轴，则这组矩形的右上顶点所在直线的函数表达式为______．

三、解答题

21．（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项．

（2）已知x：y＝4：3，求的值．

22．已知x：y：z＝3：5：7，求的值．

23．线段、、,且．

（1）求的值．

（2）如线段、、满足,求的值．

24．已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：6，且a+2b+c＝26．

（1）求a、b、c的值；

（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．

参考答案

1．B

【分析】

设乐山到峨眉的实际距离为x cm，利用比例尺的定义得到3.8：x=1：1000000，然后利用比例的性质求出x，再化单位化为米即可．

解：设乐山到峨眉的实际距离为x厘米，

根据题意得3.8：x=1：1000000，

解得x=3800000，

所以乐山到峨眉的实际距离是3800000厘米，即38000米．

故选：B．

【点拨】本题考查了比例线段，正确理解比例尺的定义是解决问题的关键．

2．C

【分析】

根据题意列出比例式，计算即可求得答案

解：

（负值舍去）

故选C

【点拨】本题考查了成比例线段，比例中项的概念，理解比例的性质是解题的关键．比例式为 ，则内项 称为外项 和 的比例中项．

3．B

【分析】

先设该地图的比例尺是1：x，根据面积比是比例尺的平方比，列出方程，求得x的值即可．

解：设该地图的比例尺是1：x，根据题意得：

1：x2＝1：9000000，

解得x1＝3000，x2＝−3000（舍去）．

则该地图的比例尺是1：3000；

故选：B．

【点拨】此题考查了线段的比，根据面积比是比例尺的平方比，列出方程是解题的关键．

4．B

【分析】

根据第四比例项的概念，得a：b＝c：d，再根据比例的基本性质，求得第四比例项．

解：∵线段d是线段a、b、c的第四比例项，

∴a：b＝c：d

∴

∵a＝2cm，b＝4cm，c＝5cm，

∴cm

∴线段a，b，c的第四比例项d是10cm．

故选：B．

【点拨】本题考查的是比例的基本性质，熟悉第四比例项的概念，写比例式的时候一定要注意顺序．再根据比例的基本性质进行求解是关键．

5．D

【分析】

根据比例的性质依次判断四个选项即可．

解：A、因为：0.3≠0.6：，所以A选项不符合题意；

B、因为4：5≠14：20，所以B选项不符合题意；

C、因为：≠3：4，所以C选项不符合题意；

D、因为6：9＝10：15，所以D选项符合题意．

故选：D．

【点拨】本题考查比例的性质，熟练掌握该知识点是解题关键．

6．A

【分析】

根据等式的性质：两边都除以同一个不为零的数（或整式），结果不变，可得答案．

解：两边都除以20，得，故A正确；

B、两边都除以20，得，故B错误；

C、两边都除以4b，得，故C错误；

D、两边都除以5a，得，故D错误．

故选：A．

【点拨】本题考查了比例的性质，利用两边都除以同一个不为零的数（或整式），结果不变是解题关键．

7．D

【分析】

根据比例的性质解答并判断．

解：∵，

∴，，

∴，

∴，

故选：D．

【点拨】此题考查了比例的性质，熟记比例的性质是解题的关键．

8．C

【分析】

根据各个选项中的数据可以判断哪个选项中的四条线段不成比例，本题得以解决．

解：∵，故选项A中的线段不成比例，不符合题意；

∵，故选项B中的线段不成比例，不符合题意；

∵，故选项C中的线段成比例，符合题意；

∵，故选项D中的线段不成比例，不符合题意，

故选：C

【点拨】本题考查比例线段，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

9．B

【分析】

由b是a、c的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得，又由a：b=12：8，即可求得答案．

解：∵b是a、c的比例中项，

∴b2=ac，

∵a:b=12:8，

∴，

，

故选：B．

【点拨】此题主要考查了比例线段，正确把握比例中项的定义是解题关键．

10．B

【分析】

根据黄金分割的定义得到PA2=PB•AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1=PA2，S2=PB•AB，即可得到S1=S2．

解：∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，

∴PA2=PB•AB，

又∵S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，

∴S1=PA2，S2=PB•AB，

∴S1=S2．

故选B．

【点拨】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．

11．4

【分析】

根据线段比例中项的概念，可得a：b=b：c，可得b2=ac=16，故b的值可求．

解：∵线段b是a、c的比例中项，

∴b2＝ac＝2×8＝16，

解得b＝±4，

又∵线段是正数，

∴b＝4．

故答案为4．

【点拨】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方．求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．

12．

【分析】

根据题意作出图形，进而即可求解．

解：如图，

∵

设则

∴

故答案为：

【点拨】本题考查了比例线段，数形结合是解题的关键．

13．

【分析】

根据，设，代入代数式求值即可．

解：∵，设，

∴，

故答案为：

【点拨】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．

14．3

【分析】

设，则，，，然后代入所求的代数式即可求解．

解：设，则，，，

∴，

故答案为：

【点拨】本题考查了比例的性质，根据题意设法是比较好的解题方法．

15．4

【分析】

利用比例中项的定义得到c2=ab=16，然后求出16的算术平方根即可．

解：∵线段c是线段a，b的比例中项，

∴c2=ab，

而线段a=8，b=2，

∴c2=8×2=16，

而c＞0，

∴c=4．

故答案为：4．

【点拨】本题考查了成比例线段，掌握比例中项的定义是解决问题的关键．

16．

【分析】

首先得到a=，然后代入代数式求值．

解：∵5a=2b，

∴a=，

∴ ，

故答案为：．

【点拨】本题考查比例的性质和分式的化简求值，解题的关键是掌握分子和分母都除以同一个不为0的数．

17．或

【分析】

设雕像的下部高为x m，则上部长为（2-x）m，然后根据题意列出方程即可．

解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（3-x）m，

由题意得：，

即，

故答案为：或．

【点拨】本题考查了线段的比，解题的关键在于读懂题目信息并列出方程．

18．60000000

【分析】

根据比例尺＝图上距离：实际距离列式计算即可．

解：1200千米＝120000000厘米，

2：120000000＝1：60000000．

故答案为：60000000．

【点拨】本题考查了比例线段，掌握比例尺的定义是解题的关键，注意单位的换算问题．

19．

【分析】

由是、的比例中项，根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段的长，注意线段的长度不能为负．

解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段长度的乘积．

∵是、的比例中项，

∴，

解得：（线段的长度是正数，负值舍去），

则．

故答案为：

【点拨】本题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段的长度不能是负数．

20．

【分析】

设直线为y=kx+b，根据直线过原点，长与宽之比为，计算求值即可.

解：设直线为y=kx+b，

∵直线经过原点，∴b=0.

由矩形的性质可知：矩形的右上顶点的坐标为该矩形的宽和长，

∵长∶宽=∶1，∴y∶x=∶1，

∴y=x，

故答案为；

【点拨】本题考查了一次函数解析式，矩形的性质，比例的性质；掌握一次函数的性质是解题关键．

21．（1）；（2）

【分析】

（1）设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．

（2）设x＝4k，y＝3k，代入计算，于是得到结论．

解：（1）设线段x是线段a，b的比例中项，

∵a＝3，b＝6，

x2＝3×6＝18，

x＝（负值舍去）．

∴线段a，b的比例中项是3．

（2）设x＝4k，y＝3k，

∴＝＝．

【点拨】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．

22．

【分析】

根据x：y：z＝3：5：7设x＝3k、y＝5k、z＝7k，然后代入化简求解即可．

解：∵x：y：z＝3：5：7，

∴设x＝3k、y＝5k、z＝7k，

∴

＝

＝

【点拨】此题考查了比例的性质，解题的关键是根据比例的性质转化成含同一字母的式子．

23．（1）；（2）9

【分析】

(1) 根据比例的性质得出, 即可得出的值;

(2) 首先设=k, 则a=2k, b=3k, c=4k,利用a+b+c=27求出的值即可得出答案.

解：（1），

；

（2）设=k, 则a=2k, b=3k, c=4k，

由a+b+c=27，由2k+3k+4k=27，得：k=3，

a=6，b=9，c=12

故 =6-9+12=9，

故答案：；9.

【点拨】这是一道考查代数式求值的题目, 属于中等难度的题目, 只要同学们认真分析就可以求出答案.

24．（1）a＝6，b＝4，c＝12；（2）x的值为．

【分析】

（1）设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求解得到k，然后求解即可；

（2）根据比例中项的定义列式求解即可．

解：（1）∵a：b：c＝3：2：6，

∴设a＝3k，b＝2k，c＝6k，

又∵a+2b+c＝26，

∴3k+2×2k+6k＝26，解得k＝2，

∴a＝6，b＝4，c＝12；

（2）∵x是a、b的比例中项，

∴x2＝ab，

∴x2＝4×6，

，

∴或（舍去），

即x的值为．

【点拨】本题考查比例与比例中项问题，掌握比例性质以及比例中项定义，如果a、b、c三个量成连比例即a:b=b:c，b叫做a和c的比例中项．