3.8极值点、拐点偏移问题（精讲）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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3.8极值点、拐点偏移问题
【题型解读】

【知识储备】
一、极值点偏移的含义
函数f(x)满足内任意自变量x都有f(x)＝f(2m－x)，则函数f(x)关于直线x＝m对称．可以理解为函数f(x)在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若f(x)为单峰函数，则x＝m必为f(x)的极值点x0，如图(1)所示，函数f(x)图象的顶点的横坐标就是极值点x0，若f(x)＝c的两根的中点则刚好满足＝x0，则极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移．
　　　　　　　　
图(1)　　　 　　　图(2)　　　　 　　　　　　　　图(3)
若≠x0，则极值点偏移．若单峰函数f(x)的极值点为x0，且函数f(x)满足定义域内x＝m左侧的任意自变量x都有f(x)>f(2m－x)或f(x)2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)或F(x)＝f(x0＋x)－f(x0－x)；对结论x1x2>x型，构造函数F(x)＝f(x)－f ，通过研究F(x)的单调性获得不等式．
(3)判断单调性，即利用导数讨论F(x)的单调性．
(4)比较大小，即判断函数F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x)与f(2x0－x)的大小关系．
(5)转化，即利用函数f(x)的单调性，将f(x)与f(2x0－x)的大小关系转化为x与2x0－x之间的关系，进而得到所证或所求．
若要证明f′的符号问题，还需进一步讨论与x0的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．
2．比(差)值代换法
比(差)值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之比(差)作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值或差值(一般用t表示)表示两个极值点，即t＝，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于t的函数问题求解．
3．对数均值不等式法
两个正数和的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当时，等号成立．
只证：当时，．不失一般性，可设．证明如下：
(1)先证：　　　　①
不等式①
构造函数，则．
因为时，，所以函数在上单调递减，
故，从而不等式①成立；
(2)再证：　　　　②
不等式②
构造函数，则．
因为时，，所以函数在上单调递增，
故，从而不等式②成立；
综合(1)(2)知，对，都有对数平均不等式成立，当且仅当时，等号成立．
【题型精讲】
【题型一　极值点偏移解法赏析】
例1　（2022·山东济南历城二中高三月考）已知函数f(x)＝xe－x(x∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2．
【解析】　(1)f′(x)＝e－x(1－x)，令f′(x)>0得x2，即证x1>2－x2，由(1)可设00对x∈(1，＋∞)恒成立．
由F′(x)＝f′(x)＋f′(2－x)＝e－x(1－x)＋ex－2(x－1)＝(x－1)(ex－2－e－x)，
∵当x>1时，x－1>0，ex－2－e－x>0，∴F′(x)>0，
则F(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以F(x)>F(1)>0，
即已证明F(x)>0对x∈(1，＋∞)恒成立，故原不等式x1＋x2>2亦成立．
方法二　(比值换元法)
设00，
设g(t)＝ln t－ (t>1)，∴g′(t)＝－＝>0，
∴当t>1时，g(t)为增函数，∴g(t)>g(1)＝0，∴ln t－>0，故x1＋x2>2．
方法三　(对数均值不等式法)
设0