3.7利用导数研究函数零点（精讲）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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3.7利用导数研究函数零点
【题型解读】

【知识储备】
对于函数零点问题，其解题策略一般是转化为两个函数图象的交点．
对于两个函数的选择，有3种情况：一平一曲，一斜一曲，两曲（凸性一般要相反）．其中以一平一曲的情况最为常见．
分离参数法是处理零点问题的常见方法，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目直接考虑函数的图象与轴的交点情况，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目利用零点存在性定理并结合函数的单调性处理零点，其本质是选择一平一曲两个函数．
1．下凸函数定义
设函数为定义在区间上的函数，若对上任意两点，，总有，当且仅当时取等号，则称为上的下凸函数．
2．上凸函数定义
设函数为定义在区间上的函数，若对上任意两点，，总有，当且仅当时取等号，则称为上的上凸函数．





【题型精讲】
【题型一　零点的个数问题】
方法技巧 零点的个数问题
讨论函数零点的个数，可先利用函数的导数，判断函数的单调性，进一步讨论函数的取值情况，根据零点存在定理判断（证明）零点的存在性，确定函数零点的个数.
例1　（2022·山东济南历城二中高三月考）已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．
(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；
(2)证明：f(x)只有一个零点．
【解析】　(1)当a＝3时，f(x)＝x3－3x2－3x－3，f′(x)＝x2－6x－3．令f′(x)＝0解得x＝3－2或x＝3＋2.
当x∈(－∞，3－2)∪(3＋2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(3－2，3＋2)时，f′(x)0，所以f(x)＝0等价于－3a＝0.
设g(x)＝－3a，则g′(x)＝≥0，仅当x＝0时g′(x)＝0，
所以g(x)在(－∞，＋∞)单调递增．故g(x)至多有一个零点，
从而f(x)至多有一个零点．又f(3a－1)＝－6a2＋2a－＝－6－0，
故f(x)有一个零点．综上，f(x)只有一个零点．
【题型精练】
1．（2022·天津·崇化中学期末）已知函数f(x)＝ln x＋－，a∈R且a≠0.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当x∈时，试判断函数g(x)＝(ln x－1)ex＋x－m的零点个数．
【解析】　(1)f′(x)＝(x>0)，当a0恒成立，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，由f′(x)>0，得x>；由f′(x)1，∴a＝＝