第16讲 等腰三角形中的综合探究问题专题（原卷+解析）-2022-2023学年八年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版）

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第16讲 等腰三角形中的综合探究问题专题（解析版）
第一部分 典例剖析+针对训练
类型一 等腰三角形与角平分线平行线综合
典例1（2022春•新都区期末）如图，已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线，分别交AB，AC于E，F，则△AEF的周长是 　 　．

思路引领：根据角平分线与平行这两个条件可证明等腰三角形，即可解答．
解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCB，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，
∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，
∴EB＝ED，FD＝FC，
∵AB＝6，AC＝8，
∴△AEF的周长＝AE+EF+AF
＝AE+ED+DF+AF
＝AE+EB+AF+FC
＝AB+AC
＝14，
∴△AEF的周长为：14，
故答案为：14．
解题秘籍：本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线与平行这两个条件可证明等腰三角形是解题的关键．
针对训练1
1．（2021春•罗湖区校级期末）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过点I作DE∥BC交BA于点D，交AC于点E，AB＝5，AC＝3，∠A＝50°，则下列说法错误的是（　　）

A．△DBI和△EIC是等腰三角形
B．I为DE中点
C．△ADE的周长是8
D．∠BIC＝115°
思路引领：由角平分线以及平行线的性质可以得到等角，从而可以判定△IDB和△IEC是等腰三角形，所以BD＝DI，CE＝EI，△ADE的周长被转化为△ABC的两边AB和AC的和，即求得△ADE的周长为8．
解：∵BI平分∠DBC，
∴∠DBI＝∠CBI，
∵DE∥BC，
∴∠DIB＝∠IBC，
∴∠DIB＝∠DBI，
∴BD＝DI．
同理，CE＝EI．
∴△DBI和△EIC是等腰三角形；
∴△ADE的周长＝AD+DI+IE+EA＝AB+AC＝8；
∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∴∠IBC+∠ICB＝65°，
∴∠BIC＝115°，
故选项A，C，D正确，
故选：B．
解题秘籍：此题考查了等腰三角形的性质与判定以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
2．（黄梅县期末）在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）如图①，若E为AB中点，求证：AE＝DB．
（2）如图②，若E为AB上任一点（端点除外），AE＝DB是否仍然成立？试说明理由．
（3）等边△ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长．

思路引领：（1）只要证明BD＝BE即可解决问题．
（2）结论：AE＝BD．如图2中，作EF∥BC交AC于F．只要证明△DBE≌△EFC，推出BD＝EF＝AE，推出BD＝AE．
（3）分两种情形讨论如图3中，当E在BA的延长线上时，作EF∥AC交BD的延长线于F，易证△EBD≌△EFC，可得BD＝CF＝AE＝2，CD＝BD﹣BC＝2﹣1＝1．如图4中，当E在AB的延长线上时，作EF∥BC交AC的延长线于F，易证△EBD≌△CFE，可得BD＝EF＝AE＝2，CD＝BD+BC＝2+1＝3．由此即可解决问题．
解：（1）如图1中，

∵△ABC是等边三角形，AE＝EB，
∴∠BCE＝∠ACE＝30°，∠ABC＝60°，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD＝30°，
∵∠EBC＝∠D+∠BED，
∴∠D＝∠BED＝30°，
∴BD＝BE＝AE．
（2）结论：AE＝BD．理由如下：
如图2中，作EF∥BC交AC于F．

∵∠AEF＝∠B＝60°，∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，∠AFE＝60°，
∴∠EFC＝∠DBE＝120°，
∵AB＝AC，AE＝AF，
∴BE＝CF，
∵∠D＝∠ECB＝∠CEF，
在△DBE和△FEC中，
∠DBE=∠EFC∠D=∠CEFBE=CF，
∴△DBE≌△EFC，
∴BD＝EF＝AE，
∴BD＝AE，
（3）如图3中，当E在BA的延长线上时，作EF∥AC交BD的延长线于F，
易证△EBD≌△EFC，可得BD＝CF＝AE＝2，CD＝BD﹣BC＝2﹣1＝1．
如图4中，当E在AB的延长线上时，作EF∥BC交AC的延长线于F，
易证△EBD≌△CFE，可得BD＝EF＝AE＝2，CD＝BD+BC＝2+1＝3．
综上所述，CD的长为1或3．

解题秘籍：本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质．等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
类型二 等腰三角形与垂直平分线综合
典例2（2022春•岳阳期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，垂足为点E，DE交BC于D点，连接AD．
（1）求证：DC＝DE；
（2）若CD＝3，求BD的长．

思路引领：（1）利用线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和角平分线的性质解答即可；
（2）利用（1）中的结论和含30°角的直角三角形的性质解答即可．
（1）证明：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠DBA＝30°．
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°．
∵DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC＝DE；
（2）解：∵DC＝DE，CD＝3，
∴DE＝3．
∵∠B＝30°，DE⊥AB，
∴BD＝2DE＝6．
解题秘籍：本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和角平分线的性质，熟练应用上述性质解答是解题的关键．
针对训练2
3．（2017秋•新洲区期中）如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC＝∠EDC＝72°，∠AEB＝92°，则∠EBD的度数为（　　）

A．168° B．158° C．128° D．118°
思路引领：连接CE，依据线段AB，DE的垂直平分线交于点C，可得CA＝CB，CE＝CD，判定△ACE≌△BCD，可得∠AEC＝∠BDC，设∠AEC＝∠BDC＝α，则∠BDE＝72°﹣α，∠CEB＝92°﹣α，∠BED＝∠DEC﹣∠CEB＝72°﹣（92°﹣α）＝α﹣20°，即可得到△BDE中，∠EBD＝180°﹣（72°﹣α）﹣（α﹣20°）＝128°．
解：如图，连接CE，
∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，
∴CA＝CB，CE＝CD，
∵∠ABC＝∠EDC＝72°＝∠DEC，
∴∠ACB＝∠ECD＝36°，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
CA=CB∠ACE=∠BCDCE=CD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠AEC＝∠BDC，
设∠AEC＝∠BDC＝α，则∠BDE＝72°﹣α，∠CEB＝92°﹣α，
∴∠BED＝∠DEC﹣∠CEB＝72°﹣（92°﹣α）＝α﹣20°，
∴△BDE中，∠EBD＝180°﹣（72°﹣α）﹣（α﹣20°）＝128°，
故选：C．

解题秘籍：本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是依据全等三角形的对应角相等，以及三角形内角和定理得出结论．
4．（2020秋•休宁县期中）如图，△ABC中，AB＝11，AC＝5，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线DG相交于点D，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求BE的长度．

思路引领：连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD＝BD，DF＝DE，继而可得AF＝AE，证得Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），则可得BE＝CF，继而求得答案．
解：如图，连接CD，BD，

∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝90°，∠ADF＝∠ADE，
∴AE＝AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
CD=BDDF=DE，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE＝CF，
∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，
∵AB＝11，AC＝5，
∴BE=12（11﹣5）＝3．
解题秘籍：此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
5．（2020春•东营期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E、交AC于D，连接BD．
（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（2）若△BCD的周长为16cm，△ABC的周长为26cm，求BC的长．

思路引领：（1）首先计算出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，进而可得∠ABD＝∠A＝40°，然后可得答案；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得AD＝DB，AE＝BE，然后再计算出AC+BC的长，再利用△ABC的周长为26cm可得AB长，进而可得答案．
解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，∠A＝40°，
∴∠ABC=180°−∠A2=70°，
∵DE是边AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝70°﹣40°＝30°；
（2）∵△BCD的周长为16cm，
∴BC+CD+BD＝16，
∴BC+CD+AD＝16，
∴BC+CA＝16，
∵△ABC的周长为26cm，
∴AB＝26﹣BC﹣CA＝26﹣16＝10，
∴AC＝AB＝10，
∴BC＝26﹣AB﹣AC＝26﹣10﹣10＝6cm．
解题秘籍：此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
类型三 等腰三角形与几何变换综合
（1）平移变换
典例3（鼓楼区校级期中）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠ CAB，交CD于点E，交CB于点F．
（1）求证：CE＝CF；
（2）将图1中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其他条件不变，如图2，求证：A′E′是∠CE′D′的角平分线；
（3）试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．

思路引领：（1）根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，再根据等角的余角相等求出∠CFE＝∠AED，然后根据对顶角相等可得∠CEF＝∠AED，从而得到∠CEF＝∠CFE，再根据等角对等边证明即可；
（2）根据平移的性质可得∠A′E′D′＝∠AED，A′E′∥AE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠CFE＝∠A′E′F，然后求出∠A′E′D′＝∠A′E′F，根据角平分线的定义证明即可；
（3）根据平移的性质可得∠2＝∠3，AE＝A′E′，求出∠1＝∠3，再根据等角的余角相等求出∠B＝∠4，再利用“角角边”证明△ACE和△A′BE′全等，根据全等三角形对应边相等可得BE′＝CE，从而得到BE′＝CF．
证明：（1）∵AF平分∠CAB，
∴∠1＝∠2，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠1+∠CFE＝90°，∠2+∠AED＝90°，
∴∠CFE＝∠AED，
∵∠CEF＝∠AED（对顶角相等），
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF；
（2）∵△ADE沿AB向右平移得到△A′D′E′，
∴∠A′E′D′＝∠AED，A′E′∥AE，
∴∠CFE＝∠A′E′F，
∵∠CFE＝∠AED，
∴∠A′E′D′＝∠A′E′F，
∴A′E′是∠CE′D′的角平分线；
（3）由平移的性质得，∠2＝∠3，AE＝A′E′，
∴∠1＝∠3，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠4+∠BAC＝90°，∠B+∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠4，
在△ACE和△A′BE′中，
∠1=∠3∠B=∠4AE=A′E′，
∴△ACE≌△A′BE′（AAS），
∴BE′＝CE，
∵CE＝CF，
∴BE′＝CF．

解题秘籍：本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平移的性质，等角的余角相等的性质，熟记各性质以及三角形全等的判定方法是解题的关键，利用数字加弧线表示角更形象直观．
针对训练3
6．（2022春•乐平市期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝10，将△ABC沿AB向右平移到△A'B'C'的位置，A、B、C的对应点分别为A'、B'、C'，连接BC'，若△BB'C'是等边三角形，则平移距离是 　 　．

思路引领：根据含30°角的直角三角形的性质得BC=12AB＝5，由平移得B'C'＝BC＝5，由△BB'C'是等边三角形可得BB′＝B'C'＝5，可得出AA′＝5，即可求解．
解：在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝10，
∴BC=12AB＝5，
由平移得B'C'＝BC＝5，
∵△BB'C'是等边三角形，
∴BB′＝B'C'＝5，
∴AA′＝5，
∴平移距离是5，
故答案为：5．
解题秘籍：本题考查含30°角的直角三角形的性质、平移的性质，等边三角形等知识，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
（2）翻折变换
典例4（龙华区校级期末）如图，等腰△ABC中，CA＝CB＝4，∠ACB＝120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ．
（1）证明：CP＝CQ；
（2）求∠PCQ的度数；
（3）当点D是AB中点时，请直接写出△PDQ是何种三角形．

思路引领：（1）由折叠直接得到结论；
（2）由折叠的性质求出∠ACP+∠BCQ＝120°，再用周角的意义求出∠PCQ＝120°；
（3）先判断出△APD是等边三角形，△BDQ是等边三角形，再求出∠PDQ＝60°，即可．
解：（1）∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴CP＝CD＝CQ；
（2）∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴∠ACP＝∠ACD，∠BCQ＝∠BCD，
∴∠ACP+∠BCQ＝∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝120°，
∴∠PCQ＝360°﹣（∠ACP+BCQ+∠ACB）＝360°﹣（120°+120°）＝120°；
（3）△PDQ是等边三角形．
理由：∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴AD＝AP，∠DAC＝∠PAC，
∵∠DAC＝30°，
∴∠APD＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴PD＝AD，∠ADP＝60°，
同理：△BDQ是等边三角形，
∴DQ＝BD，∠BDQ＝60°，
∴∠PDQ＝60°，
∵当点D在AB的中点，
∴AD＝BD，
∴PD＝DQ，
∴△DPQ是等边三角形
解题秘籍：此题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，解本题的关键是判断出∠PCQ＝120°是个定值．
针对训练4
7．（2020秋•洛阳期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D，E分别是BC，AB上的动点，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对点B′恰好落在AC上，若△AEB′是等腰三角形，那么∠BEB′的大小为 　 　．

思路引领：由∠C＝90°，∠B＝60°，得∠A＝30°，分三种情况讨论：①当B'A＝B'E时，可得∠BEB'＝180°﹣∠B'EA＝150°；②当AB'＝AE时，即得∠AEB'＝∠AB'E=180°−∠A2=75°，即得∠BEB'＝105°；③当EA＝EB'时，可得∠BEB'＝∠A+∠EB'A＝60°．
解：∵∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
分三种情况讨论：
①当B'A＝B'E时，如图：

∴∠B'EA＝∠A＝30°，
∴∠BEB'＝180°﹣∠B'EA＝150°；
②当AB'＝AE时，如图：

∴∠AEB'＝∠AB'E=180°−∠A2=75°，
∴∠BEB'＝180°﹣∠AEB'＝105°；
③当EA＝EB'时，如图：

∴∠A＝∠EB'A＝30°，
∴∠BEB'＝∠A+∠EB'A＝60°；
综上所述，∠BEB'为150°或105°或60°，
故答案为：150°或105°或60°．
解题秘籍：本题考查直角三角形中的折叠问题，解题的关键是掌握等腰三角形性质，分类讨论．
（3） 旋转变换
典例5（2020秋•遂宁期末）如图，将含有30°角的直角三角尺ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置，使B点的对应点D落在BC边上，连接EB，EC，则下列结论：①∠DAC＝∠DCA；②ED为AC的垂直平分线；③EB平分∠AED；④△ABD为等边三角形．其中正确的是　 ．（填序号）

思路引领：先利用旋转的性质得到AB＝AC，AC＝AE，∠BAC＝∠EAC，则可判断△ABD为等边三角形，所以∠BAD＝∠ADB＝60°，则∠EAC＝∠BAD＝60°，再计算出∠DAC＝30°，于是可对①进行判断；接着证明△AEC为等边三角形得到EA＝EC，加上DA＝DC，则根据线段垂直平分线的判定方法可对②进行判断；然后根据平行线和等腰三角形的性质，则可对③进行判断，利用等边三角形的判定判断即可．
解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵△ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠EAC，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠BAD＝∠ADB＝60°，
∴∠EAC＝∠BAD＝60°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC＝30°＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠DCA，所以①正确；
∵AC＝AE，∠EAC＝60°，
∴△AEC为等边三角形，
∴EA＝EC，
而DA＝DC，
∴ED为AC的垂直平分线，所以②正确；
∴DE⊥AC，
∵AB⊥AC，
∴AB∥DE，
∴∠ABE＝∠BED，
∵AB≠AE，
∴∠ABE≠∠AEB，
∴∠AEB≠∠BED，
∴EB平分∠AED不正确，故错误；所以③错误；
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，
∴∠ABC＝60°，
由旋转知，AB＝AD
∴△ABD为等边三角形，故④正确；
故答案为：①②④．

解题秘籍：主要考查了垂直平分线的判定，直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积公式，解本题的关键是熟练掌握旋转的性质．
针对训练5
8．（2021春•嘉定区校级期中）将两个等边三角形（每个内角都等于60°）如图1叠放在一起，现将△CDE绕点C顺时针旋转，旋转角为a（旋转角0°＜a＜360°），请探究下列问题：
（1）如图2，当旋转角满足0°＜a≤60°时，请写出∠BCD与∠ACE的关系，并说明理由；
（2）如图3，当旋转角满足60°＜a≤120°时，请写出∠BCE与∠ACD的关系，并说明理由；
（3）当DE∥BC时请直接写出旋转角的度数．


思路引领：（1）根据旋转的性质或等边三角形的定义可得结论：∠BCD＝∠ACE；
（2）根据角的和与差可得结论：∠BCE﹣∠ACD＝120°；
（3）在旋转角0°＜a＜360°时，正确画图可得结论．
解：（1）如图2，∠BCD＝∠ACE，理由如下：

∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE；
（2）如图3，∠BCE﹣∠ACD＝120°，理由如下：
由旋转得：∠BCD＝∠ACE，
∴∠BCE﹣∠ACD＝∠ACB+∠ACD+∠DCE﹣∠ACD＝∠ACB+∠DCE＝120°；
（3）如图4，当DE∥BC时，α＝60°；

如图5，当DE∥BC时，α＝180°+60°＝240°；

综上，当DE∥BC时旋转角的度数为60°或240°．
解题秘籍：本题考查的是旋转变换的性质，等边三角形的性质，平行线的性质，掌握旋转变换的性质是解题的关键．
9．（2020•江西模拟）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝100°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．当α＝　 　°时，△AOD是等腰三角形．

思路引领：要使△AOD为等腰三角形，应有OA＝OD，或OD＝DA或OA＝AD，只要相关角相等由已知条件利用等边三角形的性质即可结论．
解：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△COD为一等边三角形，∴∠COD＝60°
假设OD＝OA，则α+100°+60°+∠AOD＝360°，
∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC＝∠BOC＝α，
∵△COD为一等边三角形，
∴∠ADO＝α﹣60°，
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA＝α﹣60°，
∴∠AOD＝180°﹣2（α﹣60°），解得α＝100°，
当OD＝AD时，α+100°+60°+∠AOD＝360°，∠AOD=180°−(α−60°)2，解得α＝160°，
当OA＝AD时，α+100°+60°+∠AOD＝360°，∠AOD＝α﹣60°，解得，α＝130°，
综上所述，满足条件的α的值为100°或160°或130°．
故答案为100或160或130．
解题秘籍：本题考查了等腰三角形的性质及等腰三角形的判定；要熟练掌握等边三角形的性质及等腰三角形的判定．
类型四 等腰三角形与平面直角坐标系的综合
典例6（2021春•漳州期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，直线DA交y轴于点E．
（1）求证：OC＝AD．
（2）∠CAD的度数是 　 　；
（3）当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？

思路引领：（1）先根据等边三角形的性质得∠OBA＝∠CBD＝60°，OB＝BA，BC＝BD，则∠OBC＝∠ABD，然后可根据“SAS”可判定△OBC≌△ABD，由全等三角形的判定与性质可得出结论；
（2）由△AOB是等边三角形知∠BOA＝∠OAB＝60°，再由△OBC≌△ABD知∠BAD＝∠BOC＝60°，根据∠CAD＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD可得结论；
（3）先根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，求得∠EAC＝120°，进而得出以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，最后根据Rt△AOE中，OA＝1，∠OEA＝30°，求得AC＝AE＝2，据此得到OC＝1+2＝3，即可得出点C的位置．
（1）证明：∵△AOB，△CBD都是等边三角形，
∴OB＝AB，CB＝DB，∠ABO＝∠DBC，
∴∠OBC＝∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
OB=AB∠OBC=∠ABDCB=DB，
∴△OBC≌△ABD（SAS），
∴OC＝AD；

（2）解：点C在运动过程中，∠CAD的度数不会发生变化，理由如下：
∵△AOB是等边三角形，
∴∠BOA＝∠OAB＝60°，
∵△OBC≌△ABD，
∴∠BAD＝∠BOC＝60°，
∴∠CAD＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD＝60°．
故答案为：60°；

（3）解：∵△OBC≌△ABD，
∴∠BOC＝∠BAD＝60°，
又∵∠OAB＝60°，
∴∠OAE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠EAC＝120°，∠OEA＝30°，
∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，
在Rt△AOE中，OA＝1，∠OEA＝30°，
∴AE＝2，
∴AC＝AE＝2，
∴OC＝1+2＝3，
∴当点C的坐标为（3，0）时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．
解题秘籍：本题是三角形的综合问题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定等知识，解决本题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
针对训练6
10．（2022秋•莒县期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的有（　　）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
思路引领：如果OA为等腰三角形的腰，有两种可能，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；如果OA为等腰三角形的底，只有一种可能，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点；符合条件的点一共4个．
解：分情况进行讨论：
当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；
当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点．
∴符合条件的点一共4个．
故选：B．
解题秘籍：本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；针对线段OA在等腰三角形中的地位，分类讨论用画圆弧的方式，找与y轴的交点，比较形象易懂．
第二部分 专题提优训练
1．（2022春•坪山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，交BA的延长线于点F，若AF＝2，则BF的长为（　　）

A．3 B．2 C．23 D．4
思路引领：根据等腰三角形的判定和性质和含30度角的直角三角形的性质即可得到结论．
解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°．
∴∠B＝∠C＝30°，
∵EF垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C＝30°，
∴∠AEF＝60°，∠F＝30°，
∴∠BAE＝∠EAF＝90°，
∵∠B＝∠F＝30°，
∴BE＝EF，
∴BF＝2AF＝4．
故选：D．
解题秘籍：本题考查了含30度角的直角三角形：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，三角形三边之比为1：3：2．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
2．（2022春•太原期末）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝5．现将△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置．若平移的距离为3，则CG的长为（　　）

A．A B．2 C．42 D．22
思路引领：根据等腰三角形性质、平移性质、勾股定理求解即可．
解：∵△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，平移的距离为3，
∴BE＝3，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝5，
∴∠BCA＝45°，CE＝BC﹣BE＝2，
∴∠EGC＝45°＝∠ECG，
∴EG＝CE＝2，
∴CG=EG2+CE2=22+22=22，
故选：D．
解题秘籍：此题考查了等腰三角形的性质、平移的性质，熟记等腰三角形的性质、平移的性质是解题的关键．
3．（2022春•龙华区期末）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿直线BC平移至△DCE的位置，连接BD，则BD的长是（　　）

A．3 B．2 C．23 D．3
思路引领：根据平移的性质和等边三角形，得∠BDE＝90°，∠DBE＝30°，可得BD的长．
解：∵△DCE由△ABC平移而成，且△ABC是边长为2的等边三角形，
∴△DCE是等边三角形，
∴∠DCE＝∠CDE＝∠E＝60°，BC＝CE＝CD＝2，
∴∠CBD＝∠CDB，
∵∠DCE＝∠CBD+∠CDB，
∴∠CBD＝∠CDB＝30°，
∴∠BDE＝30°+60°＝90°，
∴BD=3DE＝23．
故选：C．
解题秘籍：本题考查的是等边三角形的性质及平移的性质，熟知图形平移后的图形与原图形全等的性质是解答此题的关键．
4．（2021秋•郾城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D，E分别是BC，AB上的动点，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对点B′恰好落在AC边上，若△AEB′是等腰三角形，那么∠BEB′的度数为（　　）

A．60°或105° B．105°或150°
C．60°，120°或150° D．60°，105°或150°
思路引领：由∠C＝90°，∠B＝60°，得∠A＝30°，分三种情况讨论：①当B'A＝B'E时，可得∠BEB'＝180°﹣∠B'EA＝150°；②当AB'＝AE时，即得∠AEB'＝∠AB'E＝75°，即得∠BEB'＝105°；③当EA＝EB'时，可得∠BEB'＝∠A+∠EB'A＝60°．
解：∵∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
分三种情况讨论：
①当B'A＝B'E时，如图：

∴∠B'EA＝∠A＝30°，
∴∠BEB'＝180°﹣∠B'EA＝150°；
②当AB'＝AE时，如图：

∴∠AEB'＝∠AB'E=180°−∠A2=75°，
∴∠BEB'＝180°﹣∠AEB'＝105°；
③当EA＝EB'时，如图：

∴∠A＝∠EB'A＝30°，
∴∠BEB'＝∠A+∠EB'A＝60°；
综上所述，∠BEB'为150°或105°或60°，
故选：D．
解题秘籍：本题考查了含30°直角三角形，折叠问题，解题的关键是掌握等腰三角形性质，分类讨论．
5．（2018秋•江阴市校级期中）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E在AB上，将△ACD、△BCE分别沿CD、CE翻折，点A、B分别落在点A′、B′的位置，再将△A′CD、△B′CE分别沿A′C、B′C翻折，点D与点E恰好重合于点O，则∠A′OB′的度数是（　　）

A．120° B．135° C．140° D．150°
思路引领：由翻折的性质得：∠ACD＝∠DCA′＝∠A′CO，∠BCE＝∠ECB′＝∠B′CO，故∠A′CB′=13∠ACB，代入数值即可．
解：由翻折的性质得：∠ACD＝∠DCA′＝∠A′CO，∠BCE＝∠ECB′＝∠B′CO，
∴∠A′CB′=13∠ACB=13×60°＝20°，
∴∠A′OB′的度数＝140°
故选：C．
解题秘籍：本题主要考查了翻折的性质，能灵活应用翻折的性质是解题的关键．
6．（2022春•新洲区期末）已知平面直角坐标系中有A（2，2）、B（4，0）两点，若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　）

A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
思路引领：分三种情况，当AB＝AC时，当BA＝BC时，当CA＝CB时，进行分析即可解答．
解：如图：

当AB＝AC时，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交y轴于点C1，C2，
当BA＝BC时，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交x轴于点C3，C4，
当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，交x轴于点C5，交y轴于点C6，
∵点A，B，C2三个点在同一条直线上，
∴满足条件的点C的个数是5，
故选：A．

解题秘籍：本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形的性质，分三种情况讨论是解题的关键．
7．（2022•兰州模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB为等边三角形，顶点A的坐标为A（4，0），则顶点B的坐标为（　　）

A．(2，23) B．(2，3) C．（2，4） D．(3，2)
思路引领：过点B作BC⊥AO，垂足为C，根据已知可得OA＝4，然后利用等边三角形的性质可得OB＝BA＝OA＝4，从而可求出OC的长，进而在Rt△OBC中，利用勾股定理求出BC的长，即可解答．
解：过点B作BC⊥AO，垂足为C，

∵A（4，0），
∴OA＝4，
∵△OAB为等边三角形，
∴OB＝BA＝OA＝4，
∴OC=12OA＝2，
∴BC=OB2−OC2=42−22=23，
∴B（2，23），
故选：A．
解题秘籍：本题考查了等边三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8．（2021秋•头屯河区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）个．

A．5 B．6 C．8 D．9
思路引领：分为三种情况：①OA＝OP，②AP＝OP，③OA＝OA．分别以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，作OA的垂直平分线，即可得到点P的位置．
解：如图所示，分别以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，与坐标轴的6个交点即为所求；
作OA的垂直平分线，与坐标轴的2个交点即为所求；
综上所述，满足条件的点P有8个．
故选：C．

解题秘籍：本题考查了等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，主要考查学生的动手操作能力和理解能力，注意不要漏解．
9．（2022春•禅城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（2，0），以线段OC为边在第一象限内作等边△OBC，点D为x轴正半轴上一动点（OD＞2），连结BD，以线段BD为边在第一象限内作等边△BDE，直线CE与y轴交于点A，则点A的坐标为（　　）

A．(0，−3) B．(0，−23) C．（0，﹣2） D．(0，−22)
思路引领：根据“手拉手”全等可得∠BCE＝∠BOD＝60°，进而可得∠OCA＝60°，即可求解A点坐标．
解：∵△ABC，△BDE为等边三角形，
∴BO＝BC，BD＝BE，∠OBC＝∠DBE，
∴∠OBD＝∠CBE，
在△OBD和△CBE中，
BO=BC∠OBD=∠CBEBD=BE，
∴△OBD≌△CBE（SAS），
∴∠BCE＝∠BOD＝60°，
∴∠OCA＝60°，
∵∠COA＝90°，
∴OA=3OC=23，
即A点坐标为：（0，−23），
故选：B．
解题秘籍：本题考查等边三角形中的“手拉手”模型，求出∠OCA的度数是解题关键．
10．（2021秋•武昌区期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，1），B（﹣3，2），点C在坐标轴上，若△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
思路引领：本题是开放性试题，由题意知A、B是定点，C是动点，所以要分情况讨论：以AC、AB为腰、以AC、BC为腰或以BC、AB为腰．则满足条件的点C可求．
解：如图，

由题意可知：以AC、AB为腰的三角形有3个，x轴正半轴上的点不能成立，因为此时ABC三点共线，不能构成三角形；
以AC、BC为腰的三角形有2个；
以BC、AB为腰的三角形有2个．
则点C的个数是7．
故选：D．
解题秘籍：本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；分类别寻找是正确解答本题的关键．

11．（2021秋•栾城区校级期末）如图，△ABC中，AC＝7，∠A＝∠B＝30°，CD是△ABC的中线，过点D作BC的平行线与∠BCD的平分线交于点E，则DE的长度为 　．

思路引领：根据等腰三角形三线合一的性质可得CD⊥AB，根据30°所对的直角边等于斜边的一半得出CD=12AC，再根据平行线的性质求得∠E＝∠ECB，进而求得∠E＝∠DCE，从而得出DE的长．
解：∵∠A＝∠B＝30°，
∴AC＝BC＝9，
∵CD是底边AB上的中线，
∴CD⊥AB，
∵∠A＝30°，
∴CD=12AC=12×7＝3.5，
∵DE∥BC，
∴∠E＝∠ECB，
∵∠ECB＝∠DCE，
∴∠E＝∠DCE，
∴DE＝CD＝3.5．
故答案为：3.5．
解题秘籍：本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°的角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，熟记性质是解题的在关键．
12．（2021秋•滦州市期末）已知：如图，D为△ABC的边BC延长线上一点，∠ABC和∠ACD的角平分线交于点O，过点O作BC的平行线，分别交AB，AC于点E，F，若BE＝5，CF＝3，则EF＝　 ．

思路引领：根据已知角平分线和平行线可证明等腰三角形，所以根据已知易证△BEO与△CFO是等腰三角形，即可解答．
解：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠OBC，
∵OE∥BC，
∴∠OBC＝∠EOB，
∴∠ABO＝∠EOB，
∴EB＝EO＝5，
∵CO平分∠ACD，
∴∠ACO＝∠OCD，
∵OE∥BC，
∴∠EOC＝∠OCD，
∴∠ACO＝∠EOC，
∴FO＝FC＝3，
∴EF＝EO﹣FO＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
解题秘籍：本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握已知角平分线和平行线可证明等腰三角形，是解题的关键．
13．（2021秋•济南期末）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点D，过点D作AB，AC的平行线交BC于E，F两点，若BE＝10，则CF的长等于　 　．

思路引领：根据题意推知△BDE是等腰直角三角形，△DEF是含30度角的直角三角形，又因为△ABC是含30度角的直角三角形，根据这些条件可以推知线段BE、EF以及BC的长度，继而的求得CF的长．
解：如图，∵△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，
∴∠BCA＝30°．
∵∠ABC＝90°，BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝DBE＝45°．
∵DE∥AB，
∴∠BDE＝∠ABD＝45°．
∴BE＝DE，∠DEB＝90°．
又∵DF∥AC，∠BCA＝30°，
∴∠EFD＝∠BCA＝30°，
∴DF＝2DE＝2BE．
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠FCD=12∠BCA=15°．
又∵∠EFD＝∠FCD+∠FDC＝15°+∠FDC＝30°，
∴∠FDC＝∠FCD＝15°．
∴FC＝FD＝2BE＝20．
故答案是：20．

解题秘籍：本题主要考查了含30度角的直角三角形，平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，此题所包含的知识点比较多难度较大．
14．（2022春•唐县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE．
（1）∠ABE＝　 　．
（2）若BE＝2，则AC＝　 　．

思路引领：（1）利用线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质解答即可；
（2）利用含30°角的直角三角形的性质和角平分线的性质解答即可．
解：（1）∵直线DE是边AB的垂直平分线，
∴EB＝EA，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
故答案为：30°；
（2）∵EB＝EA，BE＝2，
∴AE＝2．
∵∠ABE＝30°，DE⊥AB，
∴DE=12BE＝1，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵∠ABE＝30°，
∴∠CBE＝∠ABE＝30°．
∵EC⊥BC，DE⊥AB，
∴CE＝DE＝1，
∴AC＝AE+CE＝3，
故答案为：3．
解题秘籍：本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，充分利用上述性质解答是解题的关键．
15．（2022春•晋中期末）如图，△ABC中，AB＝AC，边AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，连接BD，若∠DBC＝21°，则∠A＝　 　度．

思路引领：根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，得到∠ABD＝∠A，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，再根据三角形内角和定理求出∠A的度数即可求解．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A，
∵AB＝AC，∠DBC＝21°，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ABD+21°＝∠A+21°，
∴∠A+2（∠A+21°）＝180°，
解得∠A＝46°，
故答案为：46．
解题秘籍：本题考查的是线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16．（2022春•晋江市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4cm，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，若DE＝6cm，EC＝1cm，则四边形ABFD的周长为　 　cm．

思路引领：根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝3+6+7+6，即可得出答案．
解：根据题意，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，
∴AD＝CF＝BE，BF＝BC+CF，DE＝AB＝AC＝DF＝6cm；
又∵BC＝4cm，EC＝1cm，
∴BE＝BC﹣EC＝3cm，
∴AD＝CF＝BE＝3cm，BF＝BC+CF＝7cm，
∴四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝3+6+7+6＝22cm．
故答案为22．
解题秘籍：本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到DE＝AB＝AC＝DF＝6cm，AD＝CF＝BE＝3cm，BF＝BC+CF＝7cm是解题的关键．
17．（2022春•金牛区期中）如图，已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′、EB′分别交边AC于点F、G，若∠ADF＝80°，则∠GEC的度数为　 　．

思路引领：由对顶角相等可得∠CGE＝∠FGB′，由两角对应相等可得△ADF∽△B′GF，那么∠CGE＝∠ADF的度数，则∠CEG＝180°﹣∠C﹣∠CGE．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
由翻折可得∠B′＝∠B＝60°，
∴∠A＝∠B′＝60°，
∵∠AFD＝∠GFB′，
∴△ADF∽△B′GF，
∴∠ADF＝∠B′GF，
∵∠EGC＝∠FGB′，
∴∠EGC＝∠ADF＝80°，
∴∠CEG＝180°﹣∠C﹣∠CGE＝180°﹣60°﹣80°＝40°．
故答案为：40°
解题秘籍：本题考查了翻折变换问题，得到所求角与所给角的度数的关系是解决本题的关键．
18．（2021秋•顺义区期末）已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点E，EF∥AB交AC于点F．求证：△FEC是等腰三角形．

思路引领：利用平行线以及角平分线的定义证明∠2＝∠3，再根据等角的余角相等证明∠4＝∠5即可解决问题；
证明：如图，

∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵EF∥AB，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∵CE⊥AD 于点 E，
∴∠AEC＝90°，
∴∠3+∠4＝90°，
∴∠2+∠5＝90°，
∴∠4＝∠5，
∴FE＝FC，
∴△FEC是等腰三角形．
解题秘籍：本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．（惠东县期末）如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．
（1）求证：CD＝CB；
（2）若∠ACN＝α，求∠BDC的大小（用含α的式子表示）；
（3）请判断线段PB，PC与PE三者之间的数量关系，并证明你的结论．

思路引领：（1）根据对称性和等边三角形的性质可得结论；
（2）根据对称得：CN是AD的垂直平分线，则CA＝CD，根据等腰三角形的性质和等边三角形可得结论；
（3）作辅助线，在PB上截取PF使PF＝PC，如图，连接CF．先证明△CPF是等边三角形，再证明△BFC≌△DPC，则BF＝PD＝2PE．根据线段的和可得结论．
（1）证明：∵点A与点D关于CN对称，
∴CN是AD的垂直平分线，
∴CA＝CD，
∵等边△ABC，
∴CA＝CB，
∴CD＝CB；
（2）解：∵CN是AD的垂直平分线，CA＝CD．
∴∠ACE＝∠DCE，
∵∠ACN＝α，
∴∠ACD＝2∠ACN＝2α．
∵CB＝CD，∠ACB＝60°．
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝60°+2α．
∴∠BDC＝∠DBC=12（180°﹣∠BCD）＝60°﹣α．
（3）结论：PB＝PC+2PE．
证明：在PB上截取PF使PF＝PC，如右图，连接CF．
设∠ACN＝α，
∵CA＝CD，∠ACD＝2α，
∴∠CDA＝∠CAD＝90°﹣α．
∵∠BDC＝60°﹣α，
∴∠PDE＝∠CDA﹣∠BDC＝30°，
∴PD＝2PE．
∵∠CPF＝∠DPE＝90°﹣∠PDE＝60°．
∴△CPF是等边三角形．
∴∠CPF＝∠CFP＝60°．
∴∠BFC＝∠DPC＝120°．
∴在△BFC和△DPC中，
∠CFB=∠CPD∠CBF=∠CDPCB=CD
∴△BFC≌△DPC（AAS）．
∴BF＝PD＝2PE．
∴PB＝PF+BF＝PC+2PE．

解题秘籍：此题是三角形综合题，主要考查了对称的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的性质，三角形全等的性质和判定，第三问作出辅助线构建等边三角形是解本题的关键．
28．（2020•江西模拟）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝100°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．当α＝　 　°时，△AOD是等