13.3 等腰三角形 13.4 最短路径问题(原卷版+解析版)-2022-2023学年八年级数学上册课后培优分级练（人教版）

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13.3 等腰三角形 13.4 最短路径问题
课内知识点回顾

知识点01 等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
等腰三角形的其他性质：
（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．
（2）等腰三角形两底角的平分线相等．
（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°．
知识点02 等腰三角形的判定
判定等腰三角形的方法：
（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
【注意】
（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．
（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．
知识点03 等边三角形及其性质
等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形．
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．
【注意】
（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
知识点04 等边三角形的判定
判定等边三角形的方法：
（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
知识点05 含30°角的直角三角形的性质
一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【注意】
（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用．
（2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．
（3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．
（4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题．
知识点06 最短路径问题
1、求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置．
2、求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置．
课后培优练

培优第一阶——基础过关练
1．如图，河道的同侧有、两地，现要铺设一条引水管道，从地把河水引向、两地．下列四种方案中，最节省材料的是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：

故选：D．
2．下列说法中，正确的个数是（    ）
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；
③有两个角为60°的三角形是等边三角形；
④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形，此选项符合题意．
②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，此选项符合题意．
③有两个角为60°的三角形是等边三角形，此选项符合题意．
④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形，此选项符合题意．
故选：D．
3．若等腰三角形有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数是（    ）
A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80°
【答案】D
【详解】解：∵已知三角形是等腰三角形，
∴当50°是底角时，顶角；
当50°是顶角时，符合题意；
综上所述，等腰三角形的顶角度数为50°或80°．
故选D．
4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB，AB=8，则BD等于（  ）

A．18 B．4 C．2 D．1
【答案】C
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8，
，
∵CD⊥AB，
，
，
，
．
故选：C．
5．已知等边三角形ABC，AB＝2，则其周长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【详解】等边三角形ABC的周长=3AB=6．
故选C．
6．等腰三角形周长为35，其中两边长之比为3∶1，则底边长为______．
【答案】5
【详解】解：设等腰三角形的一边长为3x，则另一边长为x，
则等腰三角形的三边有两种情况：3x，3x，x或x，x，3x，
则有：①3x+3x+x=35，得x=5，
所以三边为：15、15、5，
5+15>15，符合三角形三边关系，则底边长为5；
②x+x+3x=35，得x=7，
所以三边为7、7、21，
7+7<21，不符合三角形三边关系，舍去．
综上，该等腰三角形的底边长为5．
故答案为：5．
7．如图，在△ABC中，若AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠BDC＝_____．

【答案】72°##72度
【详解】解：设∠A＝x．
∵BD＝AD，
∴∠A＝∠ABD＝x，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2x．
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝2x．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠BCD＝2x．
在△ABC中x+2x+2x＝180°，
解得：x＝36°，
∴∠BDC＝∠C＝72°，
故答案为：72°．
8．如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使到它的距离之和最短，作图并说明．   

【答案】图见解析，说明见解析
【详解】解：如图，作点A关于街道得对称点C，连接CB，交街道与点D，则点D即为所求的牛奶站的位置．
由轴对称的性质可知AD=CD，则AD+BD=CD+BD=BC，
在街道上任取一点不同于D点的E，连接CE，BE，
根据两点之间线段最短可知BE+CE＞BC，则点D即为所求；

9．如图，在等边△ABC中，AB＝18，点P从点A出发沿AB边向点B以每秒2个单位的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒4个单位的速度移动．点P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒．

(1)用含t的代数式表示：BP＝______，BQ＝______；
(2)当点Q到达点C时，PQ与AB有何位置关系？请说明理由；
(3)在点P、Q的运动过程中，△BPQ是否能构成等边三角形？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由；
(4)若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，并且都按逆时针方向沿△ABC的三边运动，请问经过几秒点P与点Q第一次相遇？并说明相遇的位置．
【答案】(1)18－2t，4t
(2)PQ⊥AB，理由见解析
(3)能，t＝3
(4)经过18秒点P与点Q第一次在点C处相遇
【详解】（1）解：根据题意得∶AP=2t，BQ=4t，
∴BP=18-2t，
故答案为：18－2t，4t；
（2）解：结论：PQ⊥AB，理由如下：
当点Q到达点C时，BQ＝BC，即4t＝18，
此时t＝4.5，
∴BP＝18－2t＝9＝AB， 即此时点P为AB的中点，
∵△ABC是等边三角形，
∴PQ⊥AB；
（3）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴当BP＝BQ时，△BPQ是等边三角形，
∴18－2t＝4t，
∴t＝3，
即当t＝3时，△BPQ是等边三角形；
（4）解：∵点Q的速度大于点P的速度，
∴当点Q比点P多运动BC＋AC＝36个单位时，两点第一次相遇，
即4t＝2t＋36，
∴t＝18，
∵4t＝72＝18×3＋18，
∴点P、Q在点C处相遇，
即经过18秒点P与点Q第一次在点C处相遇．
10．如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.

(1)求证：AB＝AC；
(2)若∠BAC＝60°，BE＝1，求△ABC的周长.
【答案】(1)证明见解析
(2)△ABC的周长为12
【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
又∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC
（2）证明：∵∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°
∴∠EDB＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△BDE中，BD＝2BE＝2，
∴BC＝2BD＝4，
∴△ABC的周长＝4×3＝12．
培优第二阶——拓展培优练
1．如图，在等边三角形ABC中，，垂足为D，点E在线段AD上，，则等于（    ）


A．18° B．20° C．30° D．15°
【答案】D
【详解】解：∵三角形是等边三角形，
又∵，
∴，，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，
又∵三角形是等边三角形，
∴，
∴．
故选：D
2．如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，若AE=2，则BE的长为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【详解】解：如图，连接AD，
∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∠B=∠C=30°，
∴∠ADC=90°，
∵DE⊥AB于点E，EA=2，
∴∠DEA=90°，∠DEB=90°，
∴∠BAD=60°，∠EDA=30°，
∴AD=2AE=4，
∴AB=2AD=8，
∴BE=AB-AE=8-2=6，
故选：B．

3．如图，在中，点E、D分别在的延长线上，与的平分线相交于点P，，与交于点H，交于F，交于G，下列结论：①；②平分；③垂直平分，其中正确的结论有（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【详解】解：①∵AP平分∠BAC，
∴∠CAP=∠BAP，
∵PGAD，
∴∠APG=∠CAP，
∴∠APG=∠BAP，
∴GA=GP，故①正确；
②∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，

如图，过点分别作垂直与，垂足分别为L，K，M，
则
∴点P也位于∠BCD的平分线上，
∴∠DCP=∠BCP，
故②正确；
③∵BE=BC，BP平分∠CBE，
（三线合一）
∴BP垂直平分CE，故③正确；
故选：D．
4．如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，AD＝6，BE＝8，P是AD上的一个动点，连接PE，PC，则CP+EP的最小值是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【详解】解：如图，连接PB，

∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴PB＝PC，
∴PC+PE＝PB+PE，
∵PE+PB≥BE，
∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度，
CP+EP的最小值是：8．
故选：C．
5．如图，∠AOB＝60°，P是∠AOB角平分线上一点，PD⊥AO，垂足为D，点M是OP的中点，且DM＝4，如果点C是射线OB上一个动点，则PC的最小值是（　　）

A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【详解】
∵P是∠AOB角平分线线上一点，且∠AOB＝
∴∠AOP＝∠AOB＝     
∵PD⊥OA，M是OP的中点，DM＝4
∴OP＝2DM＝8
∴PD＝OP＝4
∵C点是OB上一个动点
∴当PC丄OB时，PC的值最小
此时PC＝PD＝4
∴PC的最小值为4
故选C
6．如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为______．

【答案】44°##44度
【详解】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，
∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC＝，∠AFB＝∠EFB＝90°，
∴∠BAF＝90°−18°＝72°＝∠BEF，
∴AB＝BE，
是边上的中线，
∴AF＝EF，
是的中垂线，
∴AD＝ED，
∴∠DAF＝∠DEF，
∵∠BAC＝180°−∠ABC−∠C＝180°−36°−50°＝94°，
∴∠BED＝∠BAD＝94°，
是的一个外角，
∴∠CDE＝94°−50°＝44°，
故答案为：44°．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30，a＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为＝2cm/s，＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts

（1）当t=_________时，△PBQ为等边三角形
（2）当t=_________时，△PBQ为直角三角形
【答案】     ##     2或
【详解】（1）∵∠C＝90°，∠A＝30°，a＝4cm，
∴∠B=60°，AB=8cm，
∴当PB=BQ时，△PBQ是等边三角形，
由题意得AP=2tcm，BQ=tcm，
∴BP=AB−AP=（8−2t）cm，
∴8−2t=t，
解得，
∴当时，△PBQ为等边三角形；
故答案为：．
（2）∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠B=60°，
∴当△PBQ为直角三角形时，只能是∠PQB=90°或∠BPQ=90°，
当∠PQB=90°时，如图，

∴∠BPQ=30°，
∴BQ=BP，
∵BP=（8−2t）cm，BQ=tcm，
∴t=（8−2t），
解得t=2；
当∠BPQ=90°时，如图，

∴∠PQB=30°，
∴BQ=2BP，
∴t=2（8−2t），
解得，
综上所述，当t=2或时△PBQ为直角三角形．
故答案为：2或．
8．如图，直线是中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若，，．

(1)求的最小值，并说明理由．
(2)求周长的最小值．
【答案】(1)6，理由见解析
(2)10
【详解】（1）解：当A,B,P三点共线时，PA+PB最小短
；
原因：两点之间，线段最短．
（2）∵直线m是BC的垂直平分线，点P在m上，
∴点C关于直线m的对称点是点B，
则，
∵，
∵，
要使周长最小，
即最小，
当点P是直线m与AB的交点时，最小，
即，此时．
9．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，交BC于点D．点A与点E关于直线BC对称，连接BE，CE，延长AD交BE于点F．

(1)补全图形；
(2)求证：△BDF是等腰三角形；
(3)求证：AB+BD=2AC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【详解】（1）解：补全图形如下：
；
（2）证明：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠CAD=∠BAD=22.5°，
∴∠ADC=∠BDF=90°-22.5°=67.5°，
∵点A与点E关于直线BC对称，
∴∠EBC=∠CBA=45°，
∴∠ABF=90°，
∴∠AFB=90°-∠BAD=90°-22.5°=67.5°，
∴∠BDF=∠AFB，
∴BF=BD；
∴△BDF是等腰三角形；
（3）证明：过D作DK⊥AB于K，如图：
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠KAD，
∵DK⊥AB，
∴∠AKD=90°=∠ACD，
在△ACD和△AKD中，
，
∴△ACD≌△AKD（AAS），
∴AC=AK，CD=DK，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠KBD=45°，
∴△KBD是等腰直角三角形，
∴BK=DK，
∴BK=CD，
∵AB=AK+BK，
∴AB=AC+CD，
∴AB+BD=AC+CD+BD=AC+BC=AC+AC=2AC．

10．数学课上，李老师出示了如下的题目：
“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

(1)特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：
AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
(2)特例启发，解答题目
题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EFBC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）
(3)拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）．
【答案】(1)＝
(2)＝，解答过程见解析
(3)CD＝1或3
【详解】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵点E为AB的中点，
∴∠BCE＝30°，AE＝BE，
∵ED＝EC，
∴∠BDE＝∠BCE＝30°，
∴∠BED＝∠ABC－∠BDE＝30°，
∴∠BDE＝∠BED，
∴BD＝BE，
∴AE＝DB．
故答案为：＝．
（2）过E作EFBC交AC于F，如图2，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，
即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，
∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°，
∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，
∵DE＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∴∠BED＝∠ECF，
在△DEB和△ECF中
，
∴△DEB≌△ECF（AAS），
∴BD＝EF＝AE，
即AE＝DB，
故答案为：＝．
（3）解：CD＝1或3，
理由是：分为两种情况：①如图3，过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
则AMEN，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝1，
∵AM⊥BC，
∴BM＝CMBC，
∵DE＝CE，EN⊥BC，
∴CD＝2CN，
∵AB＝1，AE＝2，
∴AB＝BE＝1，
∵EN⊥DC，AM⊥BC，
∴∠AMB＝∠ENB＝90°，
在△ABM和△EBN中，
，
∴△AMB≌△ENB（AAS），
∴BN＝BM，
∴CN＝1，
∴CD＝2CN＝3；
②如图4，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AMEN，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝1，∠BAC＝60°，
∵AM⊥BC，
∴BM＝CMBC，∠BAM＝30°，
∵DE＝CE，EN⊥BC，
∴CD＝2CN，
∵AMEN，
∴∠BEN＝∠BAM＝30°，
∴BN＝BE＝（AB＋AE）＝，
∴MN＝BN－BM＝1，
∴CN＝MN－CM＝1，
∴CD＝2CN＝1，
即CD＝3或1．
培优第三阶——中考沙场点兵
1．如图，在中，是的角平分线，过点D分别作，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵是的角平分线，
∴，
∴，故选项A、D结论正确，不符合题意；
又是的角平分线，，
∴，故选项B结论正确，不符合题意；
由已知条件推不出，故选项C结论错误，符合题意；
故选：C．
2．如图，已知，点为边上一点，，点为线段的中点，以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，连接，则的长是（    ）

A．5 B． C． D．
【答案】A
【详解】连接OE，如图所示：

∵，点为线段的中点，
∴，
∵以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，
∴，
∴,
∴为等边三角形，
即，
故选：A．
3．如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，

∴∠A＝60°，
∵∠A＋∠3＋∠2＝180°，
∴∠3＝180°−40°−60°＝80°，
∵，
∴∠1＝∠3＝80°．
故选：A．
4．如图，已知圆柱的底面直径BC=，高AB=3，小虫在圆柱表面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．
把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．在RT△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=3，所以AC=3，∴从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为2AC=6，
故选D．

5．如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（　　）

A．2 B．2 C．4 D．4+2
【答案】C
【详解】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：


∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，
∴EH＝EC，
∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，
∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，
∵DE∥OB，
∴∠ADE＝30°，
∴DE＝2HE＝2EC，
∵EC＝2，
∴DE＝4，
∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，
∴∠DEO＝15°，
∴∠AOE＝∠DEO，
∴OD＝DE＝4，
故选：C．
6．如图，在中，，点，都在边上，，若，则的长为_______.

【答案】9.
【详解】因为△ABC是等腰三角形，所以有AB=AC,∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE,所以△ABD△ACE(ASA),所以BD=EC，EC=9.
7．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是______．

【答案】10°或100°
【详解】解：如图，点即为所求；

在中，，，
，
由作图可知：，
，
；
由作图可知：，
，
，
，
．
综上所述：的度数是或．
故答案为：或．
8．为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为的斜坡，坡角于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为．

(1)求该斜坡的高度BD；
(2)求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）
【答案】(1)10m
(2)20m
【详解】（1），

（2）C，A，D三点共线，


9．如图，将边长为的正三角形纸片按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕（如图①），点为其交点.
（1）探求与的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，若分别为上的动点.
①当的长度取得最小值时，求的长度；
②如图③，若点在线段上，，则的最小值= .
【答案】（1）AO=2OD，理由见解析；（2）①；②．
【详解】（1）AO=2OD，
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，
∴AO=OB，
∵BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴∠BDO=90°，
∴OB=2OD，
∴OA=2OD；
（2）如图②，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，

则此时PN+PD的长度取得最小值，
∵BE垂直平分DD′，
∴BD=BD′，
∵∠ABC=60°，
∴△BDD′是等边三角形，
∴BN=BD=，
∵∠PBN=30°，
∴，
∴PB=；
（3）如图③，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，
连接Q′D′，即为QN+NP+PD的最小值．

根据轴对称的定义可知：∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，
∴△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，
∴∠D′BQ′=90°，
∴在Rt△D′BQ′中，
D′Q′=．
∴QN+NP+PD的最小值=，
10．和都是等边三角形．

(1)将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明．
(2)将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；
(3)将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)图②结论：，证明见解析
(3)图③结论：
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵点P与点A重合，
∴PB=AB，PC=AC，PA=0，
∴或；
（2）解：图②结论：
证明：在BP上截取，连接AF，

∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴（SAS），
∴，
∵AC=AB，CP=BF，  
∴（SAS），
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
（3）解：图③结论：，
理由：在CP上截取，连接AF，

∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴（SAS），
∴，
∵AB=AC，BP=CF，
∴（SAS），  
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
即．