数学选择性必修 第一册3.5 圆锥曲线的应用达标测试

这是一份数学选择性必修 第一册3.5 圆锥曲线的应用达标测试，共3页。试卷主要包含了下列求导运算正确的是，函数y＝x3csx的导数为等内容，欢迎下载使用。

eq \a\vs4\al\c1(基础达标 限时20分钟)
1．f(x)＝sin x－cs x，则f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))和[f(eq \f(π,3))]′分别为 ( )．
A.eq \f(\r(3)＋1,2)，0 B.eq \f(\r(3)＋1,2)，eq \f(\r(3)－1,2)
C.eq \f(\r(3)＋1,2)，eq \f(\r(3)＋1,2) D.eq \f(\r(3)＋1,2)，1
解析 f′(x)＝cs x＋sin x，f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝cseq \f(π,3)＋sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3)＋1,2)，f(eq \f(π,3))＝sineq \f(π,3)－cseq \f(π,3)＝eq \f(\r(3)－1,2)，[f(eq \f(π,3))]′＝0.
答案 A
2．下列求导运算正确的是( )．
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))′＝1＋eq \f(1,x2) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2x))′＝eq \f(1,xln 2)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2cs x))′＝－2xsin x D．(3x)′＝3xlg3e
解 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))′＝1－eq \f(1,x2)，(lg2x)′＝eq \f(1,xln 2)，(x2csx)′＝2xcs x－x2sin x，(3x)′＝3xln 3.故选B.
答案 B
3．设f(x)＝xcs x＋3x2，则f′(0)＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))等于( )．
A．1＋eq \f(5π,2) B．3π－1
C．1＋eq \f(7π,2) D．3π＋1
解析 f′(x)＝cs x－xsin x＋6x，f′(0)＝1，f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝－eq \f(π,2)＋3π＝eq \f(5,2)π.f′(0)＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝1＋eq \f(5π,2).
答案 A
4．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.
解析 f(x)＝4x2＋4ax＋a2，f′(x)＝8x＋4a，f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1.
答案 1
5．设f(x)＝x2(x－1)，当x＝x0时f′(x0)＝f(x0)，则x0＝________.
解析 f(x)＝x3－x2，f′(x)＝3x2－2x，f′(x0)＝f(x0)即为3xeq \\al(2,0)－2x0＝xeq \\al(3,0)－xeq \\al(2,0)，∴x0＝0或2＋eq \r(2)或2－eq \r(2).
答案 0或2＋eq \r(2)或2－eq \r(2)
6．在曲线y＝x3＋x－1上求一点P，使过点P的切线与直线4x－y＝0平行．
解 y′＝3x2＋1，设P(x0，y0)，则3xeq \\al(2,0)＋1＝4，∴x0＝1或x0＝－1.∴P点坐标为(1,1)或(－1，－3)．
eq \a\vs4\al\c1(综合提高 限时25分钟)
7．一点P在曲线y＝x3－x＋eq \f(2,3)上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则α的范围为( )．
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))
解 y′＝3x2－1≥－1，∴tan α≥－1，又α∈[0，π)，∴x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).
答案 B
8．函数y＝x3csx的导数为( )．
A．3x2cs x＋x3sin x B．3x2cs x－x3sin x
C．3x2cs x D．－x3sin x
解析 y′＝(x3cs x)′＝(x3)′cs x＋x3(cs x)′＝3x2cs x－x3sin x.
答案 B
9．曲线y＝eq \f(2x,x2＋1)在点P(1,1)处的切线方程为________．
解析 y′＝eq \f(2x2＋1－2x,x2＋12)，y′|x＝1＝0，∴切线方程为y＝1.
答案 y＝1
10．(2011·山东高考)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标为________．
解析 ∵y′＝3x2，y′|x＝1＝3，切线方程为y－12＝3(x－1)，令x＝0，得y＝9.
答案 9
11．求下列函数的导数：
(1)y＝eq \f(x－1,x＋1)； (2)y＝eq \f(3x2－x\r(x)＋5\r(x)－9,\r(x))；
(3)y＝sin4eq \f(x,4)＋cs4eq \f(x,4)； (4)y＝eq \f(1＋\r(x),1－\r(x))＋eq \f(1－\r(x),1＋\r(x)).
解 (1)y′＝eq \f(x－1′x＋1－x－1x＋1′,x＋12)
＝eq \f(x＋1－x－1,x＋12)＝eq \f(2,x＋12).
(3)∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2\f(x,4)＋cs2\f(x,4)))2－2sin2eq \f(x,4)cs2eq \f(x,4)
＝1－eq \f(1,2)sin2eq \f(x,2)＝1－eq \f(1,2)·eq \f(1－cs x,2)＝eq \f(3,4)＋eq \f(1,4)cs x，
∴y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)＋\f(1,4)cs x))′＝－eq \f(1,4)sin x.
(4)∵y＝eq \f(1＋\r(x)2,1－x)＋eq \f(1－\r(x)2,1－x)＝eq \f(2x＋2,1－x)＝－2＋eq \f(4,1－x)，
∴y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,1－x)－2))′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,1－x)))′＝eq \f(4′1－x－41－x′,1－x2)＝eq \f(4,1－x2).
12．(创新拓展)求经过原点且与曲线y＝eq \f(x＋9,x＋5)相切的切线方程．
解 设切点为M(x1，y1)，则y1＝eq \f(x1＋9,x1＋5).
又y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋9,x＋5)))′＝eq \f(x＋9′x＋5－x＋9x＋5′,x＋52)
＝eq \f(－4,x＋52)，
∴当x＝x1时切线的斜率为eq \f(－4,x1＋52)，
∴kOM＝eq \f(y1,x1)＝eq \f(－4,x1＋52)，即eq \f(\f(x1＋9,x1＋5),x1)＝－eq \f(4,x1＋52)，
解出eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝－3，y1＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝－15，y1＝\f(3,5).))
故切点为(－3,3)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－15，\f(3,5)))，
所求切线方程为x＋y＝0或x＋25y＝0.