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贵州省六盘水市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷
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这是一份贵州省六盘水市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年贵州省六盘水市九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题
1．（3分）菱形不具备的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．对角线一定相等
C．是轴对称图形 D．是中心对称图形
2．（3分）一元二次方程4x2+x＝1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．4，0，1 B．4，1，1 C．4，1，﹣1 D．4，1，0
3．（3分）如图，线段AB：BC＝1：2，那么AC：BC等于（ ）
A．1：3 B．2：3 C．3：1 D．3：2
4．（3分）正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（ ）
A．8 B．4 C．8 D．16
5．（3分）下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是（ ）
A．（x﹣2）（x+5）＝2 B．（x﹣2）2＝x﹣2
C．x2+5x﹣2＝0 D．12（2﹣x）2＝3
6．（3分）一个小球以15m/s的初速度向上竖直弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系式h＝15t﹣5t2，当小球的高度为10m时，t为（ ）
A．1s B．2s C．1s或2s D．以上都不对
7．（3分）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
8．（3分）小芳和小丽是乒乓球运动员，在一次比赛中，每人只允许报“双打”或“单打”中的一项，那么至少有一人报“单打”的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，已知AD∥BE∥CF，那么下列结论正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OCD的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
11．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
12．（3分）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球
B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数
C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面
D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9
二、填空题：每小题4分，共16分.
13．（4分）小李和小王在拼图游戏中，从如图三张纸片中任取两张，如拼成房子，则小李赢；否则，小王赢．你认为这个游戏公平吗？ （填“公平”或“不公平”）
14．（4分）若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
15．（4分）如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝ m．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点D的坐标为 ．
三、解答题：本大题9小题，共98分.
17．（10分）用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣8＝0；
（2）x2﹣x﹣4＝0．
18．（8分）某新建火车站站前广场有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？
19．（8分）在体育活动课时，甲、乙、丙、丁四位同学用排球玩传球游戏．游戏规则是：第一次由甲将排球随机传给乙、丙、丁三人中的某一人．第二次规定，每一次传球都是由接到球的人随机传给其他三人中的某一人．
（1）甲第一次传球时，求恰好传给丙的概率；
（2）请用画树状图或列表法求第二次传球后，球恰好回到甲手中的概率是多少？
20．（10分）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：BE＝DF．
（2）当∠BAD＝110°时，求∠EAF的度数．
21．（10分）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据：
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数n
66
128
171
302
481
599
1806
摸到白球的频率
0.660
0.640
0.570
0.604
0.601
0.599
0.602
（1）若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为 ；（精确到0.1）
（2）盒子里约有白球 个；
（3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在50%，请你推测x可能是多少．
22．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形．
（2）若AD＝12，EF＝4，求OE和BG的长．
23．（12分）如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．
（1）求证：AF：FD＝AD：DB；
（2）若AB＝15，AD：BD＝2：1，求DF的长．
24．（14分）阅读下列材料
利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值．
例题：求x2﹣12x+37的最小值．
解：x2﹣12x+37＝x2﹣2x•6+62﹣62+37＝（x﹣6）2+1．
因为不论x取何值，（x﹣6）2总是非负数，即（x﹣6）2≥0．
所以（x﹣6）2+1≥1．
所以当x＝6时，x2﹣12x+37有最小值，最小值是1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：x2﹣8x+ ＝（x﹣ ）2．
（2）将x2+10x﹣2变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2+10x﹣2的最小值．
（3）如图①所示的长方形边长分别是2a+5、3a+2，面积为S1：如图②所示的长方形边长分别是5a、a+5，面积为S2．试比较S1与S2的大小，并说明理由．
25．（14分）（1）【发现证明】
如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE．
小明发现，当把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合时能够证明，请你给出证明过程．
（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD中，如果点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程．
②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则EF，BE，DF之间的数量关系是 （不要求证明）
（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE＝3，求AF的长．
参考答案
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分.
1．（3分）菱形不具备的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．对角线一定相等
C．是轴对称图形 D．是中心对称图形
【分析】根据菱形的性质即可判断；
解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等，
故选：B．
【点评】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考基础题．
2．（3分）一元二次方程4x2+x＝1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．4，0，1 B．4，1，1 C．4，1，﹣1 D．4，1，0
【分析】方程常数项移到左边整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．
解：方程整理得：4x2+x﹣1＝0，
则二次项系数、一次项系数、常数项分别是4，1，﹣1．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3．（3分）如图，线段AB：BC＝1：2，那么AC：BC等于（ ）
A．1：3 B．2：3 C．3：1 D．3：2
【分析】根据题意，设AB＝k，BC＝2k，则可用含k的代数式表示出AC，那么AC：BC可求．
解：设AB＝k，BC＝2k，
∴AC＝3k，
∴AC：BC＝3k：2k＝3：2．
故选：D．
【点评】能够用一个未知数表示出相关线段，再进一步求其比值即可．
4．（3分）正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（ ）
A．8 B．4 C．8 D．16
【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
解：∵正方形的一条对角线长为4，
∴这个正方形的面积＝×4×4＝8．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，熟记利用对角线求面积的方法是解题的关键．
5．（3分）下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是（ ）
A．（x﹣2）（x+5）＝2 B．（x﹣2）2＝x﹣2
C．x2+5x﹣2＝0 D．12（2﹣x）2＝3
【分析】根据解一元二次方程的方法依次进行判断即可．
解：（x﹣2）（x+5）＝2适合用公式法，
故A选项不符合题意；
（x﹣2）2＝x﹣2适合用因式分解法，
故B选项符合题意；
x2+5x﹣2＝0适合用公式法，
故C选项不符合题意；
12（2﹣x）2＝3适合用直接开平方法，
故D选项不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
6．（3分）一个小球以15m/s的初速度向上竖直弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系式h＝15t﹣5t2，当小球的高度为10m时，t为（ ）
A．1s B．2s C．1s或2s D．以上都不对
【分析】首先根据已知高度与时间的关系式，把h＝10代入h＝15t﹣5t2，可得10＝15t﹣5t2；再对上述式子进行整理，可得t2﹣3t+2＝0，运用因式分解法变为（t﹣2）（t﹣1）＝0，即可得出t的值．
解：把h＝10代入h＝15t﹣5t2，得：
10＝15t﹣5t2，
整理，得：
t2﹣3t+2＝0，
因式分解，得：
（t﹣2）（t﹣1）＝0，
解得t＝2或t＝1．
故当t＝1秒或2秒时，小球能达到10米的高度．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的应用，正确把函数值代入解析式得到关于自变量的一元二次方程是解题关键．
7．（3分）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算（1+x1）+x2（1﹣x1）的值．
解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
所以（1+x1）+x2（1﹣x1）＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
8．（3分）小芳和小丽是乒乓球运动员，在一次比赛中，每人只允许报“双打”或“单打”中的一项，那么至少有一人报“单打”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
解：画树状图如下：
由树状图知共有4种等可能结果，其中至少有一人报“单打”的有3种，
所以至少有一人报“单打”的概率为，
故选：D．
【点评】本题主要考查列表法和画树状图法求概率，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
9．（3分）如图，已知AD∥BE∥CF，那么下列结论正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．
解：∵AD∥BE∥CF，
∴，，
故A、D、C错误，B正确．
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键．
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OCD的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【分析】根据矩形的判定得到四边形ABCD是矩形，由矩形的性质求出∠DAB＝90°，AB∥CD，求出∠OAB＝∠DAB﹣∠OAD＝35°，由平行线的性质即可得出答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DAB﹣∠OAD＝90°﹣55°＝35°，∠OCD＝∠OAB＝35°，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键．
11．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
【分析】根据正方形的性质，可以得到△DOM≌△CON，然后即可发现四边形MOND的面积等于△DOC的面积，从而可以求得正方形ABCD的面积，从而可以求得AB的长．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，
∴∠DON+∠CON＝90°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∴∠DON+∠DOM＝90°，
∴∠DOM＝∠CON，
在△DOM和△CON中，
，
∴△DOM≌△CON（ASA），
∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，
∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，
∴△DOC的面积是1，
∴正方形ABCD的面积是4，
∴AB2＝4，
∴AB＝2，
故选：C．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是发现四边形MOND的面积等于△DOC的面积，利用数形结合的思想解答．
12．（3分）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球
B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数
C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面
D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
解：A、袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率为，不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数的概率为，不符合题意；
C、先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率为，不符合题意；
D、先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9的概率为，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
二、填空题：每小题4分，共16分.
13．（4分）小李和小王在拼图游戏中，从如图三张纸片中任取两张，如拼成房子，则小李赢；否则，小王赢．你认为这个游戏公平吗？ 不公平 （填“公平”或“不公平”）
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与拼成房子的情况，再利用概率公式求解即可求得小李赢与小王赢的概率，比较概率大小，即可知这个游戏是否公平．
解：设三张纸片分别用A，B，C表示．
画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能拼成房子的有4种情况，
∴P（小李赢）＝＝，P（小王赢）＝，
∴P（小李赢）≠P（小王赢），
∴这个游戏不公平．
故答案为：不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
14．（4分）若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是 k≠0且k≤1 ．
【分析】根据一元二次方程的根的判别式即可求出答案．
解：由题意可知：Δ＝4﹣4k≥0，
∴k≤1，
∵k≠0，
∴k≠0且k≤1，
故答案为：k≠0且k≤1；
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
15．（4分）如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝ 1.2 m．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到AE＝EF，同理得到AD1＝3AE，计算即可．
解：∵BB1∥CC1，
∴＝，
∵AB＝BC，
∴AE＝EF，
同理可得：AE＝EF＝FD1，
∵AE＝0.4m，
∴AD1＝0.4×3＝1.2（m），
故答案为：1.2．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点D的坐标为 （2，） ．
【分析】根据直角三角形的性质得出OB，OA的长，进而利用菱形的性质得出点的坐标即可．
解：∵菱形ABCD，∠BCD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵B（﹣1，0），
∴OB＝1，OA＝，AB＝2，
∴A（0，），
∴BC＝AD＝2，
∴OC＝BC﹣OB＝2﹣1＝1，
∴C（1，0），D（2，），
故答案为：（2，）．
【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出∠ABC＝60°解答．
三、解答题：本大题9小题，共98分.
17．（10分）用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣8＝0；
（2）x2﹣x﹣4＝0．
【分析】（1）根据因式分解法可以解答此方程；
（2）根据公式法可以解答此方程．
解：（1）∵x2﹣2x﹣8＝0，
∴（x﹣4）（x+2）＝0，
∴x﹣4＝0或x+2＝0，
解得x1＝4，x2＝﹣2；
（2）∵x2﹣x﹣4＝0，
∴a＝1，b＝﹣1，c＝﹣4，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法．
18．（8分）某新建火车站站前广场有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？
【分析】设人行通道的宽度为x米，这每块矩形绿地的长为米、宽为（8﹣2x）米（0＜x＜4），根据矩形的面积公式结合两块矩形绿地的面积之和为56米2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：设人行通道的宽度为x米，这每块矩形绿地的长为米、宽为（8﹣2x）米（0＜x＜4），
根据题意得：2××（8﹣2x）＝56，
整理得：3x2﹣32x+52＝0，
解得：x1＝2，x2＝（不合题意，舍去）．
答：人行通道的宽为2米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．（8分）在体育活动课时，甲、乙、丙、丁四位同学用排球玩传球游戏．游戏规则是：第一次由甲将排球随机传给乙、丙、丁三人中的某一人．第二次规定，每一次传球都是由接到球的人随机传给其他三人中的某一人．
（1）甲第一次传球时，求恰好传给丙的概率；
（2）请用画树状图或列表法求第二次传球后，球恰好回到甲手中的概率是多少？
【分析】（1）直接利用概率公式求解可得；
（2）直接利用树状图法得出所有符合题意情况，进而求出概率．
解：（1）甲第一次传球时，恰好传给丙的概率为；
（2）如图所示：
，
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中符合要求的结果有3种，
∴第二次传球后，球恰好回到甲手中的的概率为＝．
【点评】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有等可能出现的结果情况是正确求解的关键．
20．（10分）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：BE＝DF．
（2）当∠BAD＝110°时，求∠EAF的度数．
【分析】（1）根据菱形的性质可得AB＝AD，∠B＝∠D，然后利用AAS证明△ABE≌△ADF即可得结论；
（2）根据菱形的性质和∠BAD＝110°，即可求∠EAF的度数．
【解答】（1）证明：∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE＝DF；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，
∵∠BAD＝110°，
∴∠B＝70°
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝20°，
∴∠DAF＝20°，
∴∠EAF＝∠BAD﹣∠BAE﹣∠DAF＝110°﹣20°﹣20°＝70°．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，证明△ABC，△ACD是解题的关键．
21．（10分）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据：
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数n
66
128
171
302
481
599
1806
摸到白球的频率
0.660
0.640
0.570
0.604
0.601
0.599
0.602
（1）若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为 0.6 ；（精确到0.1）
（2）盒子里约有白球 24 个；
（3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在50%，请你推测x可能是多少．
【分析】（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得．
（2）用总球数乘以摸到白球的概率即可得出答案；
（3）根据概率公式和摸到白球的个数，即可求出x的值．
解：（1）若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为0.6，
故答案为：0.6；
（2）估算盒子里约有白球40×0.6＝24（个），
故答案为：24；
（3）根据题意知，24+1＝0.5（40+x），
解得x＝10，
答：推测x可能是10．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
22．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形．
（2）若AD＝12，EF＝4，求OE和BG的长．
【分析】（1）证OE是△ABD的中位线，得OE∥FG，则四边形OEFG是平行四边形，再证∠EFG＝90°，然后由矩形的判定定理即可得到结论；
（2）由菱形的性质得到BD⊥AC，AB＝AD＝12，再由直角三角形斜边上的中线性质得OE＝AD＝6，然后由勾股定理得到AF＝2，即可得出BG的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝12，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AE＝AD＝6，
由（1）知，四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝6，
∵EF⊥AB，
∴∠EFA＝90°，
∴AF＝＝＝2，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝12﹣2﹣6＝4．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理，证明四边形OEFG为矩形是解题的关键．
23．（12分）如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．
（1）求证：AF：FD＝AD：DB；
（2）若AB＝15，AD：BD＝2：1，求DF的长．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，由EF∥CD得到，由DE∥BC得到，然后利用等量代换可得到结论；
（2）根据比例的性质由AD：BD＝2：1可计算出AD＝10，则利用AF：FD＝AD：DB得到AF＝2DF，然后利用2DF+DF＝10可计算出DF．
【解答】（1）证明：∵EF∥CD，
∴，
∵DE∥BC，
∴
∴＝．
（2）∵AD：BD＝2：1，
∴BD＝AD，
∴AD+AD＝15，
∴AD＝10，
∵AF：FD＝AD：DB，
∴AF：FD＝2：1，
∴AF＝2DF，
∵AF+DF＝10，
∴2DF+DF＝10，
∴DF＝．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
24．（14分）阅读下列材料
利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值．
例题：求x2﹣12x+37的最小值．
解：x2﹣12x+37＝x2﹣2x•6+62﹣62+37＝（x﹣6）2+1．
因为不论x取何值，（x﹣6）2总是非负数，即（x﹣6）2≥0．
所以（x﹣6）2+1≥1．
所以当x＝6时，x2﹣12x+37有最小值，最小值是1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：x2﹣8x+ 16 ＝（x﹣ 4 ）2．
（2）将x2+10x﹣2变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2+10x﹣2的最小值．
（3）如图①所示的长方形边长分别是2a+5、3a+2，面积为S1：如图②所示的长方形边长分别是5a、a+5，面积为S2．试比较S1与S2的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据完全平方公式解答；
（2）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答；
（3）根据单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则分别求出S1、S2，求出S1﹣S2，根据配方法变形，根据偶次方的非负性解答．
解：（1）x2﹣8x+16＝（x﹣4）2，
故答案为：16；4；
（2）x2+10x﹣2
＝x2+10x+25﹣25﹣2
＝x2+10x+25﹣27
＝（x+5）2﹣27，
当x＝﹣5时，x2+10x﹣2的最小值为﹣27；
（3）S1＝（2a+5）（3a+2）＝6a2+19a+10，
S2＝5a（a+5）＝5a2+25a，
∴S1﹣S2＝6a2+19a+10﹣（5a2+25a）＝a2﹣6a+10＝（a﹣3）2+1，
∵（a﹣3）2≥0，
∴（a﹣3）2+1＞0，
∴S1﹣S2＞0，
∴S1＞S2．
【点评】本题考查的是配方法的应用，正确完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
25．（14分）（1）【发现证明】
如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE．
小明发现，当把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合时能够证明，请你给出证明过程．
（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD中，如果点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程．
②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则EF，BE，DF之间的数量关系是 BE＝EF+DF （不要求证明）
（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE＝3，求AF的长．
【分析】（1）【发现证明】
证明△EAF≌△GAF，可得出EF＝FG，则结论得证；
（2）【类比引申】
①将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM根据SAS可证明△EAF≌△MAF，可得EF＝FM，则结论得证；
②将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，证明△AFE≌△ANE，可得出EF＝EN，则结论得证；
（3）【联想拓展】
求出DG＝2，设DF＝x，则EF＝FG＝x+3，CF＝6﹣x，在Rt△EFC中，得出关于x的方程，解出x则可得解．
【解答】（1）【发现证明】
证明：把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，如图1，
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∠B＝∠ADG＝90°，
∴∠ADF+∠ADG＝180°，
∴F，D，G三点共线，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠FAD＝45°，
∴∠DAG+∠FAD＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵AF＝AF，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG＝DF+DG，
∴EF＝DF+BE；
（2）【类比引申】
①不成立，结论：EF＝DF﹣BE；
证明：如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，
∴∠EAB＝∠MAD，AE＝AM，∠EAM＝90°，BE＝DM，
∴∠FAM＝45°＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△EAF≌△MAF（SAS），
∴EF＝FM＝DF﹣DM＝DF﹣BE；
②如图3，将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，
∴AN＝AF，∠NAF＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠NAE＝45°，
∴∠NAE＝∠FAE，
∵AE＝AE，
∴△AFE≌△ANE（SAS），
∴EF＝EN，
∴BE＝BN+NE＝DF+EF．
即BE＝EF+DF．
故答案为：BE＝EF+DF．
（3）【联想拓展】
解：由（1）可知AE＝AG＝3，
∵正方形ABCD的边长为6，
∴DC＝BC＝AD＝6，
∴＝＝3．
∴BE＝DG＝3，
∴CE＝BC﹣BE＝6﹣3＝3，
设DF＝x，则EF＝FG＝x+3，CF＝6﹣x，
在Rt△EFC中，∵CF2+CE2＝EF2，
∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，
解得：x＝2．
∴DF＝2，
∴AF＝＝＝2．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导．
2022-2023学年贵州省六盘水市九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题
1．（3分）菱形不具备的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．对角线一定相等
C．是轴对称图形 D．是中心对称图形
2．（3分）一元二次方程4x2+x＝1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．4，0，1 B．4，1，1 C．4，1，﹣1 D．4，1，0
3．（3分）如图，线段AB：BC＝1：2，那么AC：BC等于（ ）
A．1：3 B．2：3 C．3：1 D．3：2
4．（3分）正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（ ）
A．8 B．4 C．8 D．16
5．（3分）下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是（ ）
A．（x﹣2）（x+5）＝2 B．（x﹣2）2＝x﹣2
C．x2+5x﹣2＝0 D．12（2﹣x）2＝3
6．（3分）一个小球以15m/s的初速度向上竖直弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系式h＝15t﹣5t2，当小球的高度为10m时，t为（ ）
A．1s B．2s C．1s或2s D．以上都不对
7．（3分）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
8．（3分）小芳和小丽是乒乓球运动员，在一次比赛中，每人只允许报“双打”或“单打”中的一项，那么至少有一人报“单打”的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，已知AD∥BE∥CF，那么下列结论正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OCD的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
11．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
12．（3分）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球
B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数
C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面
D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9
二、填空题：每小题4分，共16分.
13．（4分）小李和小王在拼图游戏中，从如图三张纸片中任取两张，如拼成房子，则小李赢；否则，小王赢．你认为这个游戏公平吗？ （填“公平”或“不公平”）
14．（4分）若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
15．（4分）如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝ m．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点D的坐标为 ．
三、解答题：本大题9小题，共98分.
17．（10分）用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣8＝0；
（2）x2﹣x﹣4＝0．
18．（8分）某新建火车站站前广场有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？
19．（8分）在体育活动课时，甲、乙、丙、丁四位同学用排球玩传球游戏．游戏规则是：第一次由甲将排球随机传给乙、丙、丁三人中的某一人．第二次规定，每一次传球都是由接到球的人随机传给其他三人中的某一人．
（1）甲第一次传球时，求恰好传给丙的概率；
（2）请用画树状图或列表法求第二次传球后，球恰好回到甲手中的概率是多少？
20．（10分）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：BE＝DF．
（2）当∠BAD＝110°时，求∠EAF的度数．
21．（10分）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据：
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数n
66
128
171
302
481
599
1806
摸到白球的频率
0.660
0.640
0.570
0.604
0.601
0.599
0.602
（1）若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为 ；（精确到0.1）
（2）盒子里约有白球 个；
（3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在50%，请你推测x可能是多少．
22．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形．
（2）若AD＝12，EF＝4，求OE和BG的长．
23．（12分）如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．
（1）求证：AF：FD＝AD：DB；
（2）若AB＝15，AD：BD＝2：1，求DF的长．
24．（14分）阅读下列材料
利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值．
例题：求x2﹣12x+37的最小值．
解：x2﹣12x+37＝x2﹣2x•6+62﹣62+37＝（x﹣6）2+1．
因为不论x取何值，（x﹣6）2总是非负数，即（x﹣6）2≥0．
所以（x﹣6）2+1≥1．
所以当x＝6时，x2﹣12x+37有最小值，最小值是1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：x2﹣8x+ ＝（x﹣ ）2．
（2）将x2+10x﹣2变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2+10x﹣2的最小值．
（3）如图①所示的长方形边长分别是2a+5、3a+2，面积为S1：如图②所示的长方形边长分别是5a、a+5，面积为S2．试比较S1与S2的大小，并说明理由．
25．（14分）（1）【发现证明】
如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE．
小明发现，当把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合时能够证明，请你给出证明过程．
（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD中，如果点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程．
②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则EF，BE，DF之间的数量关系是 （不要求证明）
（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE＝3，求AF的长．
参考答案
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分.
1．（3分）菱形不具备的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．对角线一定相等
C．是轴对称图形 D．是中心对称图形
【分析】根据菱形的性质即可判断；
解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等，
故选：B．
【点评】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考基础题．
2．（3分）一元二次方程4x2+x＝1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．4，0，1 B．4，1，1 C．4，1，﹣1 D．4，1，0
【分析】方程常数项移到左边整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．
解：方程整理得：4x2+x﹣1＝0，
则二次项系数、一次项系数、常数项分别是4，1，﹣1．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3．（3分）如图，线段AB：BC＝1：2，那么AC：BC等于（ ）
A．1：3 B．2：3 C．3：1 D．3：2
【分析】根据题意，设AB＝k，BC＝2k，则可用含k的代数式表示出AC，那么AC：BC可求．
解：设AB＝k，BC＝2k，
∴AC＝3k，
∴AC：BC＝3k：2k＝3：2．
故选：D．
【点评】能够用一个未知数表示出相关线段，再进一步求其比值即可．
4．（3分）正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（ ）
A．8 B．4 C．8 D．16
【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
解：∵正方形的一条对角线长为4，
∴这个正方形的面积＝×4×4＝8．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，熟记利用对角线求面积的方法是解题的关键．
5．（3分）下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是（ ）
A．（x﹣2）（x+5）＝2 B．（x﹣2）2＝x﹣2
C．x2+5x﹣2＝0 D．12（2﹣x）2＝3
【分析】根据解一元二次方程的方法依次进行判断即可．
解：（x﹣2）（x+5）＝2适合用公式法，
故A选项不符合题意；
（x﹣2）2＝x﹣2适合用因式分解法，
故B选项符合题意；
x2+5x﹣2＝0适合用公式法，
故C选项不符合题意；
12（2﹣x）2＝3适合用直接开平方法，
故D选项不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
6．（3分）一个小球以15m/s的初速度向上竖直弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系式h＝15t﹣5t2，当小球的高度为10m时，t为（ ）
A．1s B．2s C．1s或2s D．以上都不对
【分析】首先根据已知高度与时间的关系式，把h＝10代入h＝15t﹣5t2，可得10＝15t﹣5t2；再对上述式子进行整理，可得t2﹣3t+2＝0，运用因式分解法变为（t﹣2）（t﹣1）＝0，即可得出t的值．
解：把h＝10代入h＝15t﹣5t2，得：
10＝15t﹣5t2，
整理，得：
t2﹣3t+2＝0，
因式分解，得：
（t﹣2）（t﹣1）＝0，
解得t＝2或t＝1．
故当t＝1秒或2秒时，小球能达到10米的高度．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的应用，正确把函数值代入解析式得到关于自变量的一元二次方程是解题关键．
7．（3分）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算（1+x1）+x2（1﹣x1）的值．
解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
所以（1+x1）+x2（1﹣x1）＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
8．（3分）小芳和小丽是乒乓球运动员，在一次比赛中，每人只允许报“双打”或“单打”中的一项，那么至少有一人报“单打”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
解：画树状图如下：
由树状图知共有4种等可能结果，其中至少有一人报“单打”的有3种，
所以至少有一人报“单打”的概率为，
故选：D．
【点评】本题主要考查列表法和画树状图法求概率，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
9．（3分）如图，已知AD∥BE∥CF，那么下列结论正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．
解：∵AD∥BE∥CF，
∴，，
故A、D、C错误，B正确．
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键．
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OCD的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【分析】根据矩形的判定得到四边形ABCD是矩形，由矩形的性质求出∠DAB＝90°，AB∥CD，求出∠OAB＝∠DAB﹣∠OAD＝35°，由平行线的性质即可得出答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DAB﹣∠OAD＝90°﹣55°＝35°，∠OCD＝∠OAB＝35°，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键．
11．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
【分析】根据正方形的性质，可以得到△DOM≌△CON，然后即可发现四边形MOND的面积等于△DOC的面积，从而可以求得正方形ABCD的面积，从而可以求得AB的长．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，
∴∠DON+∠CON＝90°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∴∠DON+∠DOM＝90°，
∴∠DOM＝∠CON，
在△DOM和△CON中，
，
∴△DOM≌△CON（ASA），
∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，
∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，
∴△DOC的面积是1，
∴正方形ABCD的面积是4，
∴AB2＝4，
∴AB＝2，
故选：C．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是发现四边形MOND的面积等于△DOC的面积，利用数形结合的思想解答．
12．（3分）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球
B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数
C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面
D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
解：A、袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率为，不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数的概率为，不符合题意；
C、先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率为，不符合题意；
D、先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9的概率为，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
二、填空题：每小题4分，共16分.
13．（4分）小李和小王在拼图游戏中，从如图三张纸片中任取两张，如拼成房子，则小李赢；否则，小王赢．你认为这个游戏公平吗？ 不公平 （填“公平”或“不公平”）
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与拼成房子的情况，再利用概率公式求解即可求得小李赢与小王赢的概率，比较概率大小，即可知这个游戏是否公平．
解：设三张纸片分别用A，B，C表示．
画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能拼成房子的有4种情况，
∴P（小李赢）＝＝，P（小王赢）＝，
∴P（小李赢）≠P（小王赢），
∴这个游戏不公平．
故答案为：不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
14．（4分）若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是 k≠0且k≤1 ．
【分析】根据一元二次方程的根的判别式即可求出答案．
解：由题意可知：Δ＝4﹣4k≥0，
∴k≤1，
∵k≠0，
∴k≠0且k≤1，
故答案为：k≠0且k≤1；
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
15．（4分）如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝ 1.2 m．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到AE＝EF，同理得到AD1＝3AE，计算即可．
解：∵BB1∥CC1，
∴＝，
∵AB＝BC，
∴AE＝EF，
同理可得：AE＝EF＝FD1，
∵AE＝0.4m，
∴AD1＝0.4×3＝1.2（m），
故答案为：1.2．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点D的坐标为 （2，） ．
【分析】根据直角三角形的性质得出OB，OA的长，进而利用菱形的性质得出点的坐标即可．
解：∵菱形ABCD，∠BCD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵B（﹣1，0），
∴OB＝1，OA＝，AB＝2，
∴A（0，），
∴BC＝AD＝2，
∴OC＝BC﹣OB＝2﹣1＝1，
∴C（1，0），D（2，），
故答案为：（2，）．
【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出∠ABC＝60°解答．
三、解答题：本大题9小题，共98分.
17．（10分）用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣8＝0；
（2）x2﹣x﹣4＝0．
【分析】（1）根据因式分解法可以解答此方程；
（2）根据公式法可以解答此方程．
解：（1）∵x2﹣2x﹣8＝0，
∴（x﹣4）（x+2）＝0，
∴x﹣4＝0或x+2＝0，
解得x1＝4，x2＝﹣2；
（2）∵x2﹣x﹣4＝0，
∴a＝1，b＝﹣1，c＝﹣4，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法．
18．（8分）某新建火车站站前广场有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？
【分析】设人行通道的宽度为x米，这每块矩形绿地的长为米、宽为（8﹣2x）米（0＜x＜4），根据矩形的面积公式结合两块矩形绿地的面积之和为56米2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：设人行通道的宽度为x米，这每块矩形绿地的长为米、宽为（8﹣2x）米（0＜x＜4），
根据题意得：2××（8﹣2x）＝56，
整理得：3x2﹣32x+52＝0，
解得：x1＝2，x2＝（不合题意，舍去）．
答：人行通道的宽为2米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．（8分）在体育活动课时，甲、乙、丙、丁四位同学用排球玩传球游戏．游戏规则是：第一次由甲将排球随机传给乙、丙、丁三人中的某一人．第二次规定，每一次传球都是由接到球的人随机传给其他三人中的某一人．
（1）甲第一次传球时，求恰好传给丙的概率；
（2）请用画树状图或列表法求第二次传球后，球恰好回到甲手中的概率是多少？
【分析】（1）直接利用概率公式求解可得；
（2）直接利用树状图法得出所有符合题意情况，进而求出概率．
解：（1）甲第一次传球时，恰好传给丙的概率为；
（2）如图所示：
，
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中符合要求的结果有3种，
∴第二次传球后，球恰好回到甲手中的的概率为＝．
【点评】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有等可能出现的结果情况是正确求解的关键．
20．（10分）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：BE＝DF．
（2）当∠BAD＝110°时，求∠EAF的度数．
【分析】（1）根据菱形的性质可得AB＝AD，∠B＝∠D，然后利用AAS证明△ABE≌△ADF即可得结论；
（2）根据菱形的性质和∠BAD＝110°，即可求∠EAF的度数．
【解答】（1）证明：∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE＝DF；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，
∵∠BAD＝110°，
∴∠B＝70°
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝20°，
∴∠DAF＝20°，
∴∠EAF＝∠BAD﹣∠BAE﹣∠DAF＝110°﹣20°﹣20°＝70°．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，证明△ABC，△ACD是解题的关键．
21．（10分）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据：
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数n
66
128
171
302
481
599
1806
摸到白球的频率
0.660
0.640
0.570
0.604
0.601
0.599
0.602
（1）若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为 0.6 ；（精确到0.1）
（2）盒子里约有白球 24 个；
（3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在50%，请你推测x可能是多少．
【分析】（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得．
（2）用总球数乘以摸到白球的概率即可得出答案；
（3）根据概率公式和摸到白球的个数，即可求出x的值．
解：（1）若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为0.6，
故答案为：0.6；
（2）估算盒子里约有白球40×0.6＝24（个），
故答案为：24；
（3）根据题意知，24+1＝0.5（40+x），
解得x＝10，
答：推测x可能是10．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
22．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形．
（2）若AD＝12，EF＝4，求OE和BG的长．
【分析】（1）证OE是△ABD的中位线，得OE∥FG，则四边形OEFG是平行四边形，再证∠EFG＝90°，然后由矩形的判定定理即可得到结论；
（2）由菱形的性质得到BD⊥AC，AB＝AD＝12，再由直角三角形斜边上的中线性质得OE＝AD＝6，然后由勾股定理得到AF＝2，即可得出BG的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝12，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AE＝AD＝6，
由（1）知，四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝6，
∵EF⊥AB，
∴∠EFA＝90°，
∴AF＝＝＝2，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝12﹣2﹣6＝4．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理，证明四边形OEFG为矩形是解题的关键．
23．（12分）如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．
（1）求证：AF：FD＝AD：DB；
（2）若AB＝15，AD：BD＝2：1，求DF的长．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，由EF∥CD得到，由DE∥BC得到，然后利用等量代换可得到结论；
（2）根据比例的性质由AD：BD＝2：1可计算出AD＝10，则利用AF：FD＝AD：DB得到AF＝2DF，然后利用2DF+DF＝10可计算出DF．
【解答】（1）证明：∵EF∥CD，
∴，
∵DE∥BC，
∴
∴＝．
（2）∵AD：BD＝2：1，
∴BD＝AD，
∴AD+AD＝15，
∴AD＝10，
∵AF：FD＝AD：DB，
∴AF：FD＝2：1，
∴AF＝2DF，
∵AF+DF＝10，
∴2DF+DF＝10，
∴DF＝．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
24．（14分）阅读下列材料
利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值．
例题：求x2﹣12x+37的最小值．
解：x2﹣12x+37＝x2﹣2x•6+62﹣62+37＝（x﹣6）2+1．
因为不论x取何值，（x﹣6）2总是非负数，即（x﹣6）2≥0．
所以（x﹣6）2+1≥1．
所以当x＝6时，x2﹣12x+37有最小值，最小值是1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：x2﹣8x+ 16 ＝（x﹣ 4 ）2．
（2）将x2+10x﹣2变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2+10x﹣2的最小值．
（3）如图①所示的长方形边长分别是2a+5、3a+2，面积为S1：如图②所示的长方形边长分别是5a、a+5，面积为S2．试比较S1与S2的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据完全平方公式解答；
（2）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答；
（3）根据单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则分别求出S1、S2，求出S1﹣S2，根据配方法变形，根据偶次方的非负性解答．
解：（1）x2﹣8x+16＝（x﹣4）2，
故答案为：16；4；
（2）x2+10x﹣2
＝x2+10x+25﹣25﹣2
＝x2+10x+25﹣27
＝（x+5）2﹣27，
当x＝﹣5时，x2+10x﹣2的最小值为﹣27；
（3）S1＝（2a+5）（3a+2）＝6a2+19a+10，
S2＝5a（a+5）＝5a2+25a，
∴S1﹣S2＝6a2+19a+10﹣（5a2+25a）＝a2﹣6a+10＝（a﹣3）2+1，
∵（a﹣3）2≥0，
∴（a﹣3）2+1＞0，
∴S1﹣S2＞0，
∴S1＞S2．
【点评】本题考查的是配方法的应用，正确完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
25．（14分）（1）【发现证明】
如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE．
小明发现，当把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合时能够证明，请你给出证明过程．
（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD中，如果点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程．
②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则EF，BE，DF之间的数量关系是 BE＝EF+DF （不要求证明）
（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE＝3，求AF的长．
【分析】（1）【发现证明】
证明△EAF≌△GAF，可得出EF＝FG，则结论得证；
（2）【类比引申】
①将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM根据SAS可证明△EAF≌△MAF，可得EF＝FM，则结论得证；
②将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，证明△AFE≌△ANE，可得出EF＝EN，则结论得证；
（3）【联想拓展】
求出DG＝2，设DF＝x，则EF＝FG＝x+3，CF＝6﹣x，在Rt△EFC中，得出关于x的方程，解出x则可得解．
【解答】（1）【发现证明】
证明：把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，如图1，
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∠B＝∠ADG＝90°，
∴∠ADF+∠ADG＝180°，
∴F，D，G三点共线，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠FAD＝45°，
∴∠DAG+∠FAD＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵AF＝AF，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG＝DF+DG，
∴EF＝DF+BE；
（2）【类比引申】
①不成立，结论：EF＝DF﹣BE；
证明：如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，
∴∠EAB＝∠MAD，AE＝AM，∠EAM＝90°，BE＝DM，
∴∠FAM＝45°＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△EAF≌△MAF（SAS），
∴EF＝FM＝DF﹣DM＝DF﹣BE；
②如图3，将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，
∴AN＝AF，∠NAF＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠NAE＝45°，
∴∠NAE＝∠FAE，
∵AE＝AE，
∴△AFE≌△ANE（SAS），
∴EF＝EN，
∴BE＝BN+NE＝DF+EF．
即BE＝EF+DF．
故答案为：BE＝EF+DF．
（3）【联想拓展】
解：由（1）可知AE＝AG＝3，
∵正方形ABCD的边长为6，
∴DC＝BC＝AD＝6，
∴＝＝3．
∴BE＝DG＝3，
∴CE＝BC﹣BE＝6﹣3＝3，
设DF＝x，则EF＝FG＝x+3，CF＝6﹣x，
在Rt△EFC中，∵CF2+CE2＝EF2，
∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，
解得：x＝2．
∴DF＝2，
∴AF＝＝＝2．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导．
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