贵州省遵义市绥阳县2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份贵州省遵义市绥阳县2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在如图所示图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）抛物线y＝3x2+2开口方向是（ ）
A．向上B．向下C．向左D．向右
3．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝35°，则∠BOC的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
4．（3分）方程（x+1）2＝0的根是（ ）
A．x1＝x2＝1B．x1＝x2＝﹣1
C．x1＝﹣1，x2＝1D．无实根
5．（3分）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）
6．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
7．（3分）用配方法解方程x2﹣4x+2＝0时，配方后所得的方程是（ ）
A．（x﹣2）2＝2B．（x+2）2＝2C．（x﹣2）2＝1D．（x﹣2）2＝﹣2
8．（3分）将二次函数y＝﹣3x2的图象平移后，得到二次函数y＝﹣3（x﹣1）2的图象，平移的方法可以是（ ）
A．向左平移1个单位长度
B．向右平移1个单位长度
C．向上平移1个单位长度
D．向下平移1个单位长度
9．（3分）4月23日是世界读书日，据有关部门统计，某市2021年人均纸质阅读量约为4本，2023年人均纸质阅读量约为4.84本，设人均纸质阅读量年均增长率为x，则根据题意可列方程（ ）
A．4（1+2x）＝4.84
B．4.84（1+x）2＝4
C．4（1+x）2＝4.84
D．4+4（1+x）+4（1+x）2＝4.84
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜2B．x＞2C．x＜﹣1D．x＜﹣1或x＞2
11．（3分）如图，⊙O的半径为10，弦AB＝16，点M是弦AB上的动点且点M不与点A、B重合，若OM的长为整数，则这样的点M有几个？（ ）
A．4B．5C．7D．9
12．（3分）已知二次函数y＝x2+（1﹣m）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m＝﹣1B．m＝3C．m≤3D．m＞﹣1
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分。答题请用0.5毫米黑色墨水的签字笔或钢笔直接答在答题卡的相应位置上。）
13．（4分）已知M（a，﹣3）和N（4，b）关于原点对称，则a+b＝ ．
14．（4分）在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用24m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，则矩形花园ABCD的最大面积为 m2．
15．（4分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一根为0，则m＝ ．
16．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝4，点P是直角边BC上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得线段AD，连接CD，则线段CD的最小值是 ．
三、解答题（本题共9小题，共98分。答题请用0.5毫米黑色墨水的签字笔或钢笔书写在答题卡的相应位置上。答题时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（10分）小明在学习配方法解一元二次方程后，用配方法解方程2x2﹣8x+3＝的过程如下．
解：2x2﹣8x＝﹣3．①
x2﹣4x＝﹣3．②
x2﹣4x+4＝﹣3+4．③
（x﹣2）2＝1．④
x﹣2＝±1．⑤
∴x1＝3，x2＝1．⑥
（1）上述解方程的过程中，小明从第 步开始出现了错误；（填序号）
（2）请利用配方法正确的解方程2x2﹣8x+3＝0．
18．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（5，3），C（3，4）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的Δ A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°所得到的Δ A2B2C2；
（3）根据（1）（2）画出的图形，求出Δ AA1A2的面积．
19．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+2x1x2＝1，求m的值．
20．（10分）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝24m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．求这座石拱桥主桥拱的半径．（精确到1m）．
21．（10分）某商场销售一批儿童玩具，平均每天能售出20件，每件盈利40元．经调查发现：这种玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件玩具降价x元．
（1）降价后，每件玩具的利润为 元，平均每天的销售量为 件；（用含x的式子表示）
（2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利1200元，那么每件玩具应降价多少元？
22．（12分）二次函数y＝ax2+bx+c中的x，y满足如表．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点坐标为 ，当x＞1时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）；
（3）直接写出当﹣1＜x＜2时，y的取值范围．
23．（12分）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C，
（1）若∠ADE＝28°，求∠C的度数；
（2）若AC＝6，CE＝3，求⊙O半径的长．
24．（12分）有一个抛物线形的拱形桥洞，当桥洞的拱顶P（抛物线最高点）离水面的距离为4米时，水面的宽度OA为12米．现将它的截面图形放在如图所示的直角坐标系中．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）当洪水泛滥，水面上升，水面的宽度小于5米时，则必须马上采取紧急措施．某日涨水后，观察员测得桥洞的拱顶P到水面CD的距离只有1.5米，问：是否要采取紧急措施？并说明理由．
25．（12分）数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动：
（1）【操作探究】如图1，△ABC为等边三角形，将△ABC绕点A旋转180°，得到△ADE，连接BE，F是BE的中点，连接AF．
①写出图1中一个等于90°的角 ；
②图1中AF与DE的数量关系是 ．
（2）【迁移探究】如图2，将（1）中的等边△ABC绕点A逆时针旋转30°，得到△ADE，其他条件不变．探究AF与DE的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展应用】如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，将△ABC绕点A旋转，得到△ADE，连接BE，F是BE的中点，连接AF．在旋转过程中，当∠EBC＝15°时，直接写出线段AF的长．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）在如图所示图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、C、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（3分）抛物线y＝3x2+2开口方向是（ ）
A．向上B．向下C．向左D．向右
【分析】根据a＞0，抛物线y＝ax2+bx+c开口向上即可解答．
【解答】解：在y＝3x2+2中，
∵3＞0，
∴抛物线y＝3x2+2开口方向是向上；
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握y＝ax2+bx+c中，若a＞0，则抛物线y＝ax2+bx+c开口向上．
3．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝35°，则∠BOC的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【分析】根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：∵∠BAC＝35°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×35°＝70°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，应掌握：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的度数的一半．
4．（3分）方程（x+1）2＝0的根是（ ）
A．x1＝x2＝1B．x1＝x2＝﹣1
C．x1＝﹣1，x2＝1D．无实根
【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：由于（x+1）2＝0，
∴x+1＝0，
∴x1＝x2＝﹣1
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
5．（3分）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）
【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【解答】解：y＝﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3）．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
6．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝28＞0，进而可得出原方程有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣6，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣6）＝28＞0，
∴关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键．
7．（3分）用配方法解方程x2﹣4x+2＝0时，配方后所得的方程是（ ）
A．（x﹣2）2＝2B．（x+2）2＝2C．（x﹣2）2＝1D．（x﹣2）2＝﹣2
【分析】方程变形后，配方得到结果，即可做出判断．
【解答】解：方程x2﹣4x+2＝0，
变形得：x2﹣4x＝﹣2，
配方得：x2﹣4x+4＝﹣2+4，即（x﹣2）2＝2，
故选：A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
8．（3分）将二次函数y＝﹣3x2的图象平移后，得到二次函数y＝﹣3（x﹣1）2的图象，平移的方法可以是（ ）
A．向左平移1个单位长度
B．向右平移1个单位长度
C．向上平移1个单位长度
D．向下平移1个单位长度
【分析】二次函数图象向右平移1个单位，自变量x变为x﹣1．
【解答】解：y＝﹣3（x﹣1）2的图象是由y＝﹣3x2向右平移1个单位得到的，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象的平移，解题关键是掌握二次函数图象左右平移时自变量“左加右减”．
9．（3分）4月23日是世界读书日，据有关部门统计，某市2021年人均纸质阅读量约为4本，2023年人均纸质阅读量约为4.84本，设人均纸质阅读量年均增长率为x，则根据题意可列方程（ ）
A．4（1+2x）＝4.84
B．4.84（1+x）2＝4
C．4（1+x）2＝4.84
D．4+4（1+x）+4（1+x）2＝4.84
【分析】利用该市2023年人均纸质阅读量＝该市2021年人均纸质阅读量×（1+人均纸质阅读量年均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：4（1+x）2＝4.84．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜2B．x＞2C．x＜﹣1D．x＜﹣1或x＞2
【分析】根据抛物线与x轴的交点和图象，可以写出当y＜0时，x的取值范围．
【解答】解：由图象可知，
当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜2，
故选：A．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11．（3分）如图，⊙O的半径为10，弦AB＝16，点M是弦AB上的动点且点M不与点A、B重合，若OM的长为整数，则这样的点M有几个？（ ）
A．4B．5C．7D．9
【分析】过点O作OP⊥AB于点P，连接OA，根据垂径定理及勾股定理求出OP＝6，根据两点间的距离推出OM可取6，7，8，9，据此即可得解．
【解答】解：如图，过点O作OP⊥AB于点P，连接OA，
∵弦AB＝16，
∴AP＝AB＝8，
∵OA＝10，
∴OP＝＝6，
∴OM的最短距离为OP，最长距离为OA，
∵点M是弦AB上的动点且点M不与点A、B重合，
∴OM≤6＜10，
∵OM的长为整数，
∴OM可取6，7，8，9，
即这样的点M有7个，
故选：C．
【点评】此题考查了垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键．
12．（3分）已知二次函数y＝x2+（1﹣m）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m＝﹣1B．m＝3C．m≤3D．m＞﹣1
【分析】根据y＝x2+（1﹣m）x+1可知a＝1＞0，则开口向上，对称轴为x＝；若x＞1时，y随x的增大而增大，所以＜1，求解即可．
【解答】解：由y＝x2+（1﹣m）x+1，
∵a＝1＞0，对称轴x＝，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴x＝≤1，
解得：m≤3，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象和性质，理解题意是解决问题的关键．
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分。答题请用0.5毫米黑色墨水的签字笔或钢笔直接答在答题卡的相应位置上。）
13．（4分）已知M（a，﹣3）和N（4，b）关于原点对称，则a+b＝ ﹣1 ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵M（a，﹣3）和N（4，b）关于原点对称，
∴a＝﹣4，b＝3，
则a+b＝﹣4+3＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
14．（4分）在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用24m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，则矩形花园ABCD的最大面积为 144 m2．
【分析】设：AB＝xm，则BC＝（24﹣x）m，则S矩形花园ABCD＝AB•BC＝x（24﹣x）＝﹣x2+24x，求面积的最大值即可．
【解答】解：设：AB＝xm，则BC＝（24﹣x）m，
S矩形花园ABCD＝AB•BC＝x（24﹣x）＝﹣x2+24x，
此函数的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝12，
∵a＝﹣1，故函数有最大值，
当x＝12时，函数取得最大值，
则：S矩形花园ABCD＝AB•BC＝x（24﹣x）＝﹣x2+24x＝﹣144+24×12＝144（m2），
故：答案是144．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
15．（4分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一根为0，则m＝ ﹣1 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝0代入原方程，列出关于m的方程，通过解关于m的方程即可求得m的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一根为0，
∴x＝0满足关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，
∴m2﹣1＝0，即（m﹣1）（m+1）＝0且m﹣1≠0，
∴m+1＝0，
解得，m＝﹣1；
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解．注意一元二次方程的二次项系数不为零．
16．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝4，点P是直角边BC上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得线段AD，连接CD，则线段CD的最小值是 ．
【分析】根据题意，当CD⊥AC时，线段CD有最小值，此时，CD＝CP且D，C，P三点共线，求出AC的长即可求出CD．
【解答】解：当CD⊥AC时，线段CD有最小值，
∵∠ACB＝90°＝∠ACD，
∴点D，C，P三点共线，
由旋转的性质知AD＝AP，∠DAP＝60°，
∵AC＝AC，
∴△ACD≌△APC（HL），
∴CD＝CP，∠DAC＝∠PAC＝30°，
∵∠B＝30°，BC＝4，
∴AC＝BC•tan30°＝4×＝4，
∴CP＝AC•tan30°＝4×＝，
故答案为：．
【点评】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质，垂线段最短，含30°角的直角三角形的性质，确定何时CD有最小值是解题关键．
三、解答题（本题共9小题，共98分。答题请用0.5毫米黑色墨水的签字笔或钢笔书写在答题卡的相应位置上。答题时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（10分）小明在学习配方法解一元二次方程后，用配方法解方程2x2﹣8x+3＝的过程如下．
解：2x2﹣8x＝﹣3．①
x2﹣4x＝﹣3．②
x2﹣4x+4＝﹣3+4．③
（x﹣2）2＝1．④
x﹣2＝±1．⑤
∴x1＝3，x2＝1．⑥
（1）上述解方程的过程中，小明从第 ② 步开始出现了错误；（填序号）
（2）请利用配方法正确的解方程2x2﹣8x+3＝0．
【分析】（1）根据等式的性质判断②错误；
（2）移项，二次项系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）上述过程中，从第②步开始出现了错误，
故答案为：②；
（2）2x2﹣8x+3＝0，
移项，得2x2﹣8x＝﹣3，
x2﹣4x＝﹣，
配方，得x2﹣4x+4＝﹣+4，即（x﹣2）2＝，
x﹣2＝±，
x1＝2+，x2＝2﹣．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
18．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（5，3），C（3，4）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的Δ A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°所得到的Δ A2B2C2；
（3）根据（1）（2）画出的图形，求出Δ AA1A2的面积．
【分析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；
（3）利用三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）如图，Δ A1B1C1即为所求；
（2）如图，Δ A2B2C2即为所求；
（3）Δ AA1A2的面积＝×2×2＝2．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
19．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+2x1x2＝1，求m的值．
【分析】（1）计算根的判别式的值得到Δ＝m2+4，则Δ＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）先利用根与系数的关系得x1+x2＝﹣（m+2），x1x2＝m，由于x1+x2+2x1x2＝1，所以﹣（m+2）+2m＝1，然后解关于m的方程即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4m
＝m2+4m+4﹣4m
＝m2+4＞0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣（m+2），x1x2＝m，
∵x1+x2+2x1x2＝1，
∴﹣（m+2）+2m＝1，
解得m＝3，
即m的值为3．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
20．（10分）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝24m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．求这座石拱桥主桥拱的半径．（精确到1m）．
【分析】设主桥拱半径为R，在Rt△OBD中，根据勾股定理列出R的方程便可求得结果．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝BD，
设主桥拱半径为R，由题意可知AB＝24，CD＝5，
∴BD＝AB＝12，
OD＝OC﹣CD＝R﹣5，
∵∠ODB＝90°，
∴OD2+BD2＝OB2，
∴（R﹣5）2+122＝R2，
解得R＝16.9≈17，
答：这座石拱桥主桥拱的半径约为17m．
【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理．解题的关键是方程思想的应用．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
21．（10分）某商场销售一批儿童玩具，平均每天能售出20件，每件盈利40元．经调查发现：这种玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件玩具降价x元．
（1）降价后，每件玩具的利润为 （40﹣x） 元，平均每天的销售量为 （20+2x） 件；（用含x的式子表示）
（2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利1200元，那么每件玩具应降价多少元？
【分析】（1）根据“这种玩具的售价每降低1元时，平均每天能多售出2件”结合每件玩具的原利润及降价x元，即可得出降价后每件玩具的利润及销量；
（2）根据总利润＝每件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【解答】解：（1）∵每件玩具降价x元，
∴每件玩具的利润为（40﹣x）元，销量为（20+2x）件．
故答案为：（40﹣x）；（20+2x）．
（2）依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
∵为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，
∴x＝20．
答：每件玩具应降价20元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．（12分）二次函数y＝ax2+bx+c中的x，y满足如表．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点坐标为 （1，﹣4） ，当x＞1时，y随x的增大而 增大 （填“增大”或“减小”）；
（3）直接写出当﹣1＜x＜2时，y的取值范围．
【分析】（1）把表格中的（﹣1，0），（0，﹣3），（2，﹣3）代入二次函数y＝ax2+bx+c得关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组，求出a，b，c即可；
（2）把（1）中所求的抛物线解析式化成顶点式的函数解析式，求出顶点坐标，在根据二次函数的性质，进行解答即可；
（3）求出自变量x分别是﹣1和2时的函数值y，求出y的取值范围即可．
【解答】解：（1）把（﹣1，0），（0，﹣3），（2，﹣3）代入二次函数y＝ax2+bx+c得：
，
解之得：，
∴该函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵该函数解析式为：
y＝x2﹣2x﹣3，
y＝x2﹣2x+1﹣4，
y＝（x﹣1）2﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标为：（1，﹣4），
∵a＝1＞0，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
故答案为：（1，﹣4），增大；
（3）∵当x＝﹣1时，y＝0，当x＝2时，y＝﹣3，
∴当﹣1＜x＜2时，y的取值范围为：﹣3＜y＜0．
【点评】本题主要考查了二次函数性质，解题关键是熟练掌握利用待定系数法求二次函数的解析式．
23．（12分）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C，
（1）若∠ADE＝28°，求∠C的度数；
（2）若AC＝6，CE＝3，求⊙O半径的长．
【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，根据切线的性质求出∠OAC，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）设OA＝OE＝r，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）如图，连接OA，
∵∠ADE＝28°，
∴由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ADE＝56°，
∵AC切⊙O于A，
∴∠OAC＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠AOC﹣∠OAC＝180°﹣56°﹣90°＝34°；
（2）设OA＝OE＝r，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2+AC2＝OC2，
即r2+62＝（r+3）2，
解得：r＝，
答：⊙O半径的长是．
【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质和勾股定理等知识点，能求出∠OAC和∠AOC的度数是解此题的关键．
24．（12分）有一个抛物线形的拱形桥洞，当桥洞的拱顶P（抛物线最高点）离水面的距离为4米时，水面的宽度OA为12米．现将它的截面图形放在如图所示的直角坐标系中．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）当洪水泛滥，水面上升，水面的宽度小于5米时，则必须马上采取紧急措施．某日涨水后，观察员测得桥洞的拱顶P到水面CD的距离只有1.5米，问：是否要采取紧急措施？并说明理由．
【分析】（1）设抛物线的顶点式，再将点A的坐标代入解析式，解方程即可得出结论；
（2）将y＝4﹣1.5代入抛物线，求出x的值，即可得出点C，D的坐标，进而求出CD的长，跟5比较即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意，A（12，0），P（6，4），
设抛物线的顶点式为y＝a（x﹣6）2+4，
将A（12，0）代入y＝a（x﹣6）2+4，得0＝a（12﹣6）2+4，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣6）2+4；
（2）不需要采取紧急措施，理由如下：
由题意可知，点C，D的纵坐标为y＝4﹣1.5＝2.5，
将y＝2.5代入y＝﹣（x﹣6）2+4，
∴2.5＝﹣（x﹣6）2+4，
解得x＝6±，
∴CD＝6+﹣（6﹣）＝3，
∵3＞5，
∴不需要采取紧急措施．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是建立适当的坐标系求得二次函数的解析式，难度不大，是中考的热点考题之一．
25．（12分）数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动：
（1）【操作探究】如图1，△ABC为等边三角形，将△ABC绕点A旋转180°，得到△ADE，连接BE，F是BE的中点，连接AF．
①写出图1中一个等于90°的角 ∠AFE或∠AFB或∠BED或∠EBC（写出一个即可） ；
②图1中AF与DE的数量关系是 AF＝DE ．
（2）【迁移探究】如图2，将（1）中的等边△ABC绕点A逆时针旋转30°，得到△ADE，其他条件不变．探究AF与DE的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展应用】如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，将△ABC绕点A旋转，得到△ADE，连接BE，F是BE的中点，连接AF．在旋转过程中，当∠EBC＝15°时，直接写出线段AF的长．
【分析】（1）①根据△ABC为等边三角形，将△ABC绕点A旋转180°，得到△ADE，可得AB＝AC＝AD＝AE，又F为BE中点，故∠AFE＝∠AFB＝90°，AF∥DE∥BC，可知∠BED＝90°＝∠EBC；
②由AF是△BDE的中位线，可得AF＝DE；
（2）由等边△ABC绕点A逆时针旋转30°，得到△ADE，可得∠BAC＝60°，∠CAE＝30°，AB＝AC＝AE＝DE，即得∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，而F为BE中点，AB＝AE，有AF⊥BC，故△ABF是等腰直角三角形，AB＝AF，从而DE＝AF；
（3）分两种情况：当BE在BC下方时，求出∠ABF＝∠ABC+∠CBE＝60°，AB＝＝2，可得BF＝AB＝1，故AF＝＝＝；当BE在BC上方时，∠ABF＝∠ABC﹣∠EBC＝45°﹣15°＝30°，∠AFB＝90°，有AF＝AB＝×2＝1．
【解答】解：（1）①∵△ABC为等边三角形，将△ABC绕点A旋转180°，得到△ADE，
∴AB＝AC＝AD＝AE，
∵F为BE中点，
∴∠AFE＝∠AFB＝90°，AF是△BDE的中位线，也是△BCE的中位线，
∴AF∥DE∥BC，
∴∠BED＝90°＝∠EBC；
故答案为：∠AFE或∠AFB或∠BED或∠EBC（写出一个即可）；
②由①知，AF是△BDE的中位线，
∴AF＝DE；
故答案为：AF＝DE；
（2）DE＝AF，理由如下：
如图：
∵等边△ABC绕点A逆时针旋转30°，得到△ADE，
∴∠BAC＝60°，∠CAE＝30°，AB＝AC＝AE＝DE，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∵F为BE中点，AB＝AE，
∴AF⊥BC，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AB＝AF，
∴DE＝AF；
（3）当BE在BC下方时，如图：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABF＝∠ABC+∠CBE＝60°，
∵AB＝AC＝AE，F为BE中点，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝30°，
∵BC＝2，
∴AB＝＝2，
∴BF＝AB＝1，
∴AF＝＝＝；
当BE在BC上方时，如图：
∵∠ABF＝∠ABC﹣∠EBC＝45°﹣15°＝30°，∠AFB＝90°，
∴AF＝AB＝×2＝1；
综上所述，AF的长为或1．
【点评】本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形性质及应用，等腰直角三角形的性质及应用等知识，解题的关键是掌握含特殊角的直角三角形三边的关系．
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣3
m
﹣3
…
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣3
m
﹣3
…