2021-2022学年广西桂林市龙胜县八年级（上）期末数学试卷(含解析 )

2021-2022学年广西桂林市龙胜县八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 的立方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各式的约分运算中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在，，，，，中，无理数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 用科学记数法表示的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为(    )

A.  B.  C.  D. 或

8. 已知，下列结论中成立的是(    )

A.  B.
C.  D. 如果，那么

9. 若把分式：中的和都扩大倍，那么分式的值(    )

A. 不变 B. 扩大倍 C. 缩小倍 D. 扩大倍

10. 有下列语句：其中是命题的有(    )
    两点之间，线段最短；
    画两条平行的直线；
    过直线外一点作已知直线的垂线；
    如果两个角的和是，那么这两个角互余．

A.  B.  C.  D.

11. 如图，中，，的平分线相交于，过点且与平行，的周长为，的周长为，则的长为(    )
     

A.  B.  C.  D.

12. 如图，，是分别沿着边，翻折形成的，若：：：：，与交于点，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13. 使有意义的的取值范围是______．
14. 如图，≌，，则 ______

15. 已知等腰三角形的一个角为，则外两个角的度数为______．
16. 计算______．
17. 大于且小于的所有整数的和是______ ．
18. 观察下列各式的特点：
    ，，，，；
    ，，，，．
    计算：______．

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

19. 计算：．
20. 解方程：
21. 先化简，再求值：，其中．
22. 解不等式组：，并求出不等式组的整数解．
23. 如图，在中，已知其周长为．
    在中，用直尺和圆规作边的垂直平分线分别交、于点，不写作法，但须保留作图痕迹．
    连接，若为，求的周长．

24. 如图，在五边形中，，．
    请你添加一个与角有关的条件，使得≌，并说明理由；
    在的条件下，若，，求的度数．

25. 为支援困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买、两种型号的学习用品．已知型学习用品的单价比型学习用品的单价多元，用元购买型学习用品与用元购买型学习用品的件数相同．
    求，两种学习用品的单价各是多少元；
    若购买、两种学习用品共件，且总费用不超过元，则最多购买型学习用品多少件？
26. 问题发现：如图，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连结，
    求证：≌；
    求的度数．
    拓展探究：如图，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，连接请求的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的立方根是．
故选：．
根据立方根的定义求解即可．
本题考查了立方根，掌握如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故错误；
B、，故错误；
C、，故错误；
D、，故正确；
故选：．
要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去．
本题主要考查了约分的运用，掌握：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：无理数有，，共有个，
故选：．
无限不循环小数叫做无理数，由此定义进行判断即可．
本题考查无理数的定义，熟练掌握无理数的定义，能够准确地对所给的数进行分类是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：将不等式的解集在数轴上表示如下：

故选：．
根据“小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”表示即可得．
本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
 

5.【答案】 

【解析】全等三角形的判定定理有，，，，根据定理得出即可．
解：画一个三角形，使，，，

符合全等三角形的判定定理，
故选A．
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，直角三角形全等还有定理．
 

6.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

7.【答案】 

【解析】解：分两种情况：
当腰为时，，所以不能构成三角形；
当腰为时，，所以能构成三角形，周长是：．
故选：．
题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、则，故原题说法错误；
B、则，故原题说法错误；
C、则，故原题说法正确；
D、如果，那么，故原题说法错误；
故选：．
根据不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可．
此题主要考查了不等式的性质，关键是注意不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

9.【答案】 

【解析】解：分别用和去代换原分式中的和，
得，
可见新分式是原分式的．
故选：．
依题意，分别用和去代换原分式中的和，利用分式的基本性质化简即可．
解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．
规律总结：解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
 

10.【答案】 

【解析】解：两点之间，线段最短，是命题；
画两条平行的直线，没有做出判断，不是命题；
过直线外一点作已知直线的垂线，没有做出判断，不是命题；
如果两个角的和是，那么这两个角互余，是命题；
故选：．
根据命题的概念判断即可．
本题考查的是命题的概念，判断一件事情的语句，叫做命题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，利用了转化及等量代换的思想，熟练掌握判定与性质是解决本题的关键．
由为角平分线，则，再由平行于，则，可得出，利用等角对等边得到，同理得到，等量代换后可得等于两三角形的周长之差，将两三角形的周长代入，即可求出的长．
【解答】
解：平分，
，
又，
，
，
，
同理可得，

，
又的周长为，的周长为，
即，，
则．
故选A．  

12.【答案】 

【解析】解：：：：：，
，
，，．
，是分别沿着边，翻折形成的，
，，


，


．
，


．
故选：．
利用三角形的内角和定理先求出、、的度数，再利用翻折关系求出、、、、、的度数，最后利用外角和内角的关系求出、并得结论．
本题主要考查了三角形的内角和，掌握三角形的内角和定理及翻折的性质是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
当被开方数为非负数时，二次根式才有意义，列不等式求解．
主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
【解答】
解：根据二次根式的意义，得
，解得．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：≌，
，
，
即：，
故答案为．
根据全等三角形对应角相等可以得到，然后两个相等的角减去同一个即可得到，从而得到结论．
本题考查了全等三角形的性质，属于基础题，相对比较简单，解题的关键是发现和之间的关系．
 

15.【答案】，或， 

【解析】解：分情况讨论：
若等腰三角形的顶角为时，另外两个内角；
若等腰三角形的底角为时，它的另外一个底角为，顶角为．
故答案为：，或，．
已知给出了一个内角是，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还需用三角形内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，再相加即可．
【解答】
解：原式
．
故答案为．  

17.【答案】 

【解析】解：，
符合题意的有：，，，，
故．
故答案为：．
根据题意得出大于且小于的所有整数，进而得出答案．
此题主要考查了估计无理数的大小，得出符合题意的所有整数是解题关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：原式


．
故答案为：．
直接利用已知结合数字变化规律将原式变形，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数运算以及数字变化规律，正确将原式变形是解题关键．
 

19.【答案】解：原式
． 

【解析】分别根据负整数指数幂及零指数幂的运算法则，绝对值的性质及数的开方法则分别计算出各数，再进行计算即可．
本题考查的是实数的运算，熟知负整数指数幂及零指数幂的运算法则，绝对值的性质及数的开方法则是解题的关键．
 

20.【答案】解：方程两边都乘，得
，
解得．
经检验是原方程的解． 

【解析】两个分母分别为和，它们互为相反数，所以最简公分母是其中的一个，另一个与最简公分母相乘后得本题的最简公分母是方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母．
 

21.【答案】解：，
当时，原式． 

【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入原式进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
 

22.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
所以不等式组的整数解为、、． 

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，找出整数解即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

23.【答案】解：如图所示：，即为所求；

垂直平分，
，，
的周长为：． 

【解析】直接利用线段垂直平分线的作法得出，的位置；
结合线段垂直平分线的性质得出，进而得出答案．
此题主要考查了基本作图，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
 

24.【答案】解：添加一个角方面的条件为：，使得≌，理由如下：
在和中，

≌；
在的条件下，
≌，
，
，，
，
，
． 

【解析】添加，根据即可判定两个三角形全等；
根据全等三角形对应角相等，运用三角形内角和定理，即可得到的度数．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．
 

25.【答案】解：设型学习用品的单价为元，则型学习用品的单价为元，由题意得：
，
解得：，经检验是原分式方程的根，且符合实际，
则．
答：型学习用品的单价为元，型学习用品的单价为元．

设购买型学习用品件，则购买型学习用品件，
由题意得：，
解得：．
答：最多购买型学习用品件． 

【解析】设型学习用品单价元，利用“用元购买型学习用品的件数与用元购买型学习用品的件数相同”列分式方程求解即可；
设可以购买型学习用品件，则型学习用品件，根据这批学习用品的钱不超过元建立不等式求出其解即可．
本题考查了列分式方程解应用题和一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到等量关系是建立方程的关键．
 

26.【答案】证明：和均为等边三角形，
，，，
．
在和中，，
≌．

解：≌，
．
为等边三角形，
．
点，，在同一直线上，
，
．
．

解：，理由如下：
如图所示：和均为等腰直角三角形，
，，．
．
在和中，，
≌．
，．
为等腰直角三角形，
．
点，，在同一直线上，
，
．
．
，，
．
，
．
． 

【解析】先证出，由证明≌即可；根据全等三角形证出，求出，得出，从而证出；
证明≌，得出，最后证出即可．
此题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．