2022-2023学年湖南省邵阳市武冈市高三上学期期中考试数学试题（有答案）

这是一份2022-2023学年湖南省邵阳市武冈市高三上学期期中考试数学试题（有答案），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年下学期期中考试试卷高三数学本试卷分为问卷和答卷.考试时量为120分钟，满分150分.请将答案写在答题卡上.一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1. 若集合，则（    ）A.  B.  C.  D. 2. 若“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（    ）A.  B. C.  D. 3. 欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足，则的虚部为（    ）A.  B.  C. 1 D. 4. 如图，函数图象与x轴交于，与y轴交于P，其最高点为．若，则A的值等于（    ）A.  B.  C.  D. 25. 已知是奇函数，则过点向曲线可作的切线条数是（   ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 不确定6. 已知与满足：，，，则（    ）A. 是钝角三角形，是锐角三角形B. 是锐角三角形，是钝角三角形C. 两个三角形都是锐角三角形D. 两个三角形都是钝角三角形7. 设函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）A.  B. C.  D. 8. 若，，，则，，的大小关系是（    ）A.  B.  C.  D. 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9. 下面命题正确的是（    ）A. “”是“”的充分不必要条件B. “”是“函数为奇函数”的充分不必要条件C. 中，是为锐角三角形的必要不充分条件D. 已知偶函数在上单调递增，则对实数，，“”是“”的充分不必要条件10. 已知实数，，满足，则下列说法正确是（    ）A.  B. C.  D. 的最小值为411. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）A. 为函数的一个周期B. 直线是函数图象的一条对称轴C. 函数在上单调递增D. 函数有且仅有2个零点12. 已知函数与的定义域均为，分别为的导函数，，，若为奇函数，则下列等式一定成立的是（    ）A.  B. .C.  D. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13. 则______．14 已知函数，若时，取得极值0，则___________.15. 被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生为我国数学的发展做出了巨大贡献，他所倡导的“优选法”在生产和科研实践中得到了广泛的应用.就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则__________．16. 已知数列满足（），设数列的前项和为，若，，则___________.四、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答时应写出文字说明及演算步骤）17. 已知等差数列满足，．（1）求的通项公式；（2）若等比数列的前n项和为，且，，，求满足的n的最大值．18. 如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，平面，，是的中点.（1）证明：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值．19. 如图，在平面四边形中，的面积是的面积的倍．，，．（1）求的大小；（2）若点在直线同侧，，求的取值范围．20. 已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为.（1）求曲线的轨迹方程；（2）过点的直线与轨迹交于、两点，设直线，点，直线交于,求证：直线经过定点.21. 在检测中为减少检测次数，我们常采取“合1检测法”，即将个人样本合并检测，若为阴性，则该小组所有样本均未感染病毒；若为阳性，则改需对本组的每个人再做检测．现有人，已知其中有2人感染病毒．（1）若，并采取“10合1检测法”，求共检测15次的概率；（2）设采取“5合1检测法”总检测次数为，采取“10合1检测法”的总检测次数为，若仅考虑总检测次数的期望值，当为多少时，采取“10合1检测法”更适宜？请说明理由．22. 已知函数有三个极值点，（1）求实数的取值范围；（2）求证：                             2022年下学期期中考试试卷高三数学本试卷分为问卷和答卷.考试时量为120分钟，满分150分.请将答案写在答题卡上.一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1. 若集合，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C2. 若“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D3. 欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足，则的虚部为（    ）A.  B.  C. 1 D. 【答案】B4. 如图，函数图象与x轴交于，与y轴交于P，其最高点为．若，则A的值等于（    ）A.  B.  C.  D. 2【答案】B5. 已知是奇函数，则过点向曲线可作的切线条数是（   ）A 1 B. 2 C. 3 D. 不确定【答案】C6. 已知与满足：，，，则（    ）A. 是钝角三角形，是锐角三角形B. 锐角三角形，是钝角三角形C. 两个三角形都是锐角三角形D. 两个三角形都是钝角三角形【答案】A7. 设函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）A.  B. C  D. 【答案】B8. 若，，，则，，的大小关系是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9. 下面命题正确的是（    ）A. “”是“”的充分不必要条件B. “”是“函数为奇函数”的充分不必要条件C. 中，是为锐角三角形的必要不充分条件D. 已知偶函数在上单调递增，则对实数，，“”是“”充分不必要条件【答案】ACD10. 已知实数，，满足，则下列说法正确的是（    ）A.  B. C.  D. 的最小值为4【答案】ABC11. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）A. 为函数的一个周期B. 直线是函数图象的一条对称轴C. 函数在上单调递增D. 函数有且仅有2个零点【答案】AB12. 已知函数与的定义域均为，分别为的导函数，，，若为奇函数，则下列等式一定成立的是（    ）A.  B. .C.  D. 【答案】ACD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13. 则______．【答案】14. 已知函数，若时，取得极值0，则___________.【答案】15. 被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生为我国数学的发展做出了巨大贡献，他所倡导的“优选法”在生产和科研实践中得到了广泛的应用.就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则__________．【答案】16. 已知数列满足（），设数列的前项和为，若，，则___________.【答案】四、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答时应写出文字说明及演算步骤）17. 已知等差数列满足，．（1）求的通项公式；（2）若等比数列的前n项和为，且，，，求满足的n的最大值．【答案】（1）    （2）10【解析】【分析】(1)设等差数列公差为d，根据已知条件列关于和d的方程组即可求解；(2)设等比数列公比为q，根据已知条件求出和q，根据等比数列求和公式即可求出，再解关于n的不等式即可.【小问1详解】由题意得，解得，∴．【小问2详解】∵，，又，∴，公比，∴，令，得，令，所以n的最大值为10．18. 如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，平面，，是的中点.（1）证明：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，从而得到线面平行；（2）作出辅助线，找到异面直线与所成角，利用余弦定理求出余弦值.【小问1详解】证明：连接，交的于，连接，则为的中点，因为分别是，的中点，，平面，平面，平面；【小问2详解】由（1）得：，（或其补角）就是异面直线与所成的角，∵三棱柱的底面是边长为2的正三角形，，∴，，，∴由余弦定理得：，故异面直线与所成角的余弦值为.19. 如图，在平面四边形中，的面积是的面积的倍．，，．（1）求的大小；（2）若点在直线同侧，，求的取值范围．【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）设，利用给定的面积关系结合三角形面积定理，利用二倍角正弦化简求解.（2）由（1）求出AC，在中，利用正弦定理结合三角恒等变换、正弦函数性质求解作答.【小问1详解】设，则，因，，，则，而，，则有，即，又，，因此，，所以.【小问2详解】由（1）知，，连AC，有，则，而，中，由正弦定理有，，，，又，令，则，，因此，因，则，有，即，，所以的取值范围为．20. 已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为.（1）求曲线的轨迹方程；（2）过点的直线与轨迹交于、两点，设直线，点，直线交于,求证：直线经过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【详解】（1）由已知得，即，所以的轨迹为双曲线的右支，且，，，，∴，曲线的标准方程为.（2）当直线的斜率不存在时，，，，则直线经过点；当直线的斜率存在时，不妨设直线，，，则直线：，当时，，，由得，所以，，下面证明直线经过点，即证，即，即，由，，整理得， ，即恒成立.即，即经过点，故直线过定点.【点睛】本题考查了利用定义求圆锥曲线的方程，直线与圆锥曲线的位置关系，直线过定点问题，综合性强，需要很好的思维和计算能力，属于难题.（1）根据题意，判断出动点的轨迹方程为双曲线的右支，然后根据定义即可求得双曲线的方程.（2）讨论当直线斜率存在与不存在两种情况下直线过定点问题.当斜率不存在时，易得直线过定点的坐标为；当斜率存在时，设出直线方程，联立曲线方程，消y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出两个交点横坐标间的关系；利用，再证明直线BM经过.21. 在检测中为减少检测次数，我们常采取“合1检测法”，即将个人的样本合并检测，若为阴性，则该小组所有样本均未感染病毒；若为阳性，则改需对本组的每个人再做检测．现有人，已知其中有2人感染病毒．（1）若，并采取“10合1检测法”，求共检测15次的概率；（2）设采取“5合1检测法”的总检测次数为，采取“10合1检测法”的总检测次数为，若仅考虑总检测次数的期望值，当为多少时，采取“10合1检测法”更适宜？请说明理由．【答案】（1）    （2）当时，采取10合1检测法更适宜；理由见解析【解析】【分析】（1）平均分为5组，共检测15可知2个感染者分在同一组，计算所求概率；（2）分类讨论感染者分在同一组和分在不同小组，计算两种方案总检测次数的期望值，进行比较得出结论.【小问1详解】现共有50人，由题意先平均分为5组，检测5次，因为共检测15次，所以两个感染者必定分在同一组中，所以共检测15次的概率有两种算法，第一种是分组分配思想，第二种是算一组已经有一名感染者的情况下，选中另一名感染者，即两种算法结果为和，结果均为；所以k＝5，并采取“10合1检测法”，求共检测15次的概率为.【小问2详解】当感染者在同一组时，，，此时，，当感染者不在同一组时，，，此时，，所以，，由题意，综上：时，采取10合1检测法更适宜．22. 已知函数有三个极值点，（1）求实数的取值范围；（2）求证：.【答案】（1）且；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）函数有3个零点等价于有3个变号零点，由于，且，所以可得有两个不为0，－1实根，再对求导讨论其单调性可得结果；（2）由（1）可知有一个零点为0，所以不妨设，，而，所以，因此要证，即证而，，而在上递减，，所以只需证，即，然后构造函数，只需证此函数值恒大于零即可.【详解】解：（1）利用的极值点个数即为的变号零点个数，，设，由已知，方程有两个不为0，－1的实根，当时，在上递增，至多一个实根，故所以在上递减，在上递增，因为， 所以时，有两个实根，解得且（2）由（1）不妨设，，∵，∴.要证，即证而，由在上递减，在上递增，且故只要证，又，故只要证即证设∴∴递增，∴即∴【点睛】此题考查函数的极值点问题，极值点偏移问题，利用导数求函数的单调区间，利用导数证明不等式恒成立等，考查了数学转化思想，属于较难题.