湖南省邵阳市第二中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题(含答案)

这是一份湖南省邵阳市第二中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、已知直线的倾斜角为,且经过点,则直线l的方程为( )
A.B.C.D.
2、如图,平行六面体中,AC与BD交于点M,设,,,则( )
A.B.C.D.
3、若a,b,c为实数,数列,a,b,c,是等比数列,则b的值为( )
A.5B.C.D.
4、双曲线的离心率是( )
A.B.C.D.
5、“”是“直线与直线垂直”的( ).
A.充分必要条件B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件
6、曲线在点处的切线方程是( )
A.B.C.D.
7、与相交弦所在直线为l,则l被截得弦长为( )
A.B.4C.D.
8、过椭圆的左焦点作相互垂直的两条直线,分别交于椭圆A,B,C,D四点,则四边形ABCD面积最大值与最小值之差为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知向量,,下列说法不正确的是( )
A.B.C.D.
10、如图,四棱锥的底面为正方形,底面ABCD,则下列结论中正确的是( )
A.
B.平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
11、已知椭圆,,则( )
A.,的焦点都在轴上B.,的焦距相等
C.,没有公共点D.离心率比离心率小
12、已知直线与圆交于A,B两点,则( )
A.线段AB的长度为定值
B.圆O上总有4个点到l的距离为2
C.线段AB的中点轨迹方程为
D.直线l的倾斜角为
三、填空题
13、已知直线,.若,则________.
14、已知函数,其导函数的图象经过点,如图所示,则下列说法不正确的是__________
①当时,函数取得极小值;
②有两个极值点;
③当时,函数取得极小值;
④当时函数取得极大值.
15、已知数列满足,,则数列的前10项和为________.
16、过双曲线的右支上一点P,分别向圆和圆作切线,切点分别为M,N,则的最小值为__________.
四、解答题
17、如图,在棱长为1的正方体中,E,F分别为,BD的中点,点G在CD上,且.
（1）求证:;
（2）求EF与所成角的余弦值.
18、将一条长为l的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形,要使两个正方形的面积和最小,两段铁丝的长度分别是多少?
19、已知数列的前n项和为
（1）求的通项公式;
（2）求数列的前n项和;
（3）当时,求的前n项和.
20、已知抛物线的准线与x轴的交点为.
（1）求C的方程;
（2）若过点的直线l与抛物线C交于P,Q两点.求证:为定值.
参考答案
1、答案：C
解析:由题意知:直线l的斜率为,则直线l的方程为.
故选:C.
2、答案：D
解析:.
故选:D.
3、答案：B
解析:设等比数列的公比为q,
所以,
根据等比数列的性质可知,解得.
故选:B
4、答案：C
解析:由双曲线,得,,,,
,
故选:C.
5、答案：D
解析:当直线与直线垂直时,
,即,
“”是“直线与直线垂直”的
既不充分也不必要条件.
6、答案：B
解析:因为,所以曲线在点处斜率为4,
所以曲线在点处的切线方程是,
即,
故选:B
7、答案：D
解析:由与的方程相减得.
圆心到l的距离,的半径,
截得弦长为.
故选:D
8、答案：A
解析:依题意,,,
设点在椭圆上,则,解得.
①当AC,BD有一条不存在斜率时,
.
②当AC,BD都存在斜率时,设AC方程,BD方程,
与椭圆联立得,消去y并化简得,
则,,
.
同理可得,
,
,,,
故当,即时取得最小值,
由于,,所以.
综上所述,的最大值为2,最小值为,
则最大值与最小值之差为.
故选:A
9、答案：BC
解析:因为,,
所以,
,;
故错误的有BC;
故选:BC
10、答案：ABC
解析:对于A:因为底面ABCD,面ABCD,所以,
因为底面ABCD是正方形,所以,因为,SD,平面SBD,
所以平面SBD,因为平面SBD,所以,故A正确;
对于B:因为底面是正方形,所以,因为平面SCD,平面SCD,
由线面平行的判定定理可得平面SCD,故B正确;
对于C:设,连接SO,因为平面SBD,平面SBD,
所以即为SA与平面SBD所成的角,即为SC与平面SBD所成的角,,
因为,,且,所以,
可得,所以SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角,故C正确;
对于D:因为,所以即为AB与SC所成的角,即为DC与SA所成的角,
因为,,,AD,平面SAD,所以平面SAD,
因为平面SAD,所以,所以,因为,
所以,所以,
所以AB与SC所成的角不等于DC与SA所成的角,故D不正确;
故选:ABC
11、答案：BCD
解析:因为椭圆的标准方程为,所以的焦点在y上,所以A不正确;
因为椭圆的焦距为,椭圆的焦距为,所以B正确;
联立椭圆,的方程,消除,得,所以x无解,故椭圆,没有公共点,所以C正确;
因为椭圆的离心率为,的离心率为,所以,所以D正确.
故选:BCD.
12、答案：AC
解析:对于A,因为圆心到直线的距离,所以,所以A正确;
对于B,由于圆心到直线的距离为,而圆的半径为,所以圆上只有2个点到l的距离为2,所以B错误;
对于C,由于圆心到直线的距离为,所以线段AB的中点到圆心的距离为1,所以线段AB的中点轨迹是以为圆心,1为半径的圆,即方程为,所以C正确;
对于D,当时,则,,此时直线为,则直线的倾斜角为,满足;当时,由,得直线的斜率为,设直线的倾斜角为,则,即,当时,直线的倾斜角,而当时,直线的倾斜角,所以D错误,
故选:AC
13、答案：3
解析:因为直线,,且,
则,解得.
故答案为:3.
14、答案：①
解析：从图象可以看出,当时, ,当时, ,当时, ,所以有两个极值点和,且当时,函数取得极小值,当时,函数取得极大值,只有①说法不正确.
15、答案：
解析:因为
所以,则数列是以为公比的等比数列,
,
故答案为:.
16、答案：13.
解析:由,得,所以双曲线的焦点坐标为,
由圆的方程知:圆圆心的坐标为,半径,
圆的圆心坐标为,半径,
,PN分别为两圆切线,
,,
,
为双曲线右支上的点,且双曲线焦点为,,,
又(当P为双曲线右顶点时取等号),
,
即最小值为13.
故答案为:13.
17、答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析:（1）建立以D点为坐标原点,DA,DC所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则,,,,
则,,
所以,即,
所以.
（2）由（1）知,,,
则,
因为EF与CG所成角的范围为,所以其夹角余弦值为.
18、答案：两段铁丝的长度均为.
解析:设一个正方形的边长为x,则另一个正方形的边长为,
两个正方形的面积和,则,
时,
故当时,,S单调递减;当时,,S单调递增;
当时,S的极小值也是最小值为,此时另一个正方形的边长也为.
综上,当两段铁丝的长度都为时,它们的面积和最小.
19、答案：（1）
（2）
（3）
解析:（1）当时,,
当时,,
当,也满足上式,
所以.
（2）由（1）知
所以
（3）
①
②
由②-①得
20、答案：（1）;
（2）证明见解析.
解析:（1）由题意,可得,即,
抛物线C的方程为.
（2）证明:设直线l的方程为,,,
联立抛物线有,消去x得,则,
,,又,.
.
为定值.