苏科版数学九年级上册期末专区-专题06 解二次方程与特殊四边形结合

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专题06 解二次方程与特殊四边形结合

类型一 正方形中的二次方程
1．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为0.5cm2，则它移动的距离AA′等于（　　）

A．cm B．cm C．cm或cm D． cm
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝2﹣x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．
【详解】
解：设AC交A′B′于H，A'C'交CD于点G，

由平移的性质知AC∥A'C'，A'B'∥CD，
∴四边形A'HCG是平行四边形，
∵∠A＝45°，∠D＝90°，
∴△A′HA是等腰直角三角形，
同理，△HCB′也是等腰直角三角形，
设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝2﹣x，
∴x•（2﹣x）＝，
∴x＝（cm）．
即AA′＝（cm）．
故选：D．
【点睛】
此题考查解一元二次方程、平行四边形的判定及性质，平移的性质，等腰直角三角形的判定，根据平移的性质得到四边形A'HCG是平行四边形是解题的关键.
2．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD，BC的中点E，F，再沿过点A的直线折叠使AD落在线段AF上，点D的对应点为点H，折痕为AG，点G在边CD上，连接GH，GF，长度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一个正根的线段为（　　）

A．线段BF B．线段DG C．线段CG D．线段GF
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据方程x2+x-1=0解出正根为，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．线段BF=0.5排除，其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和，列等量关系．设DG=m，则GC=1-m，从而可以用m表示等式．
【详解】
解：设DG=m，则GC=1-m．
由题意可知：△ADG≌△AHG，F是BC的中点，
∴DG=GH=m，FC=0.5．
∵S正方形=S△ABF+S△ADG+S△CGF+SAGF，
∴1×1=×1×+×1×m+××（1-m）+××m，
∴m=．
∵x2+x-1=0的解为：x=，
∴取正值为x=．
∴这条线段是线段DG．
故选：B．
【点睛】
此题考查的是一元二次方程的解法，运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键．
3．如图，在中，，，分别以，为边向外作正方形，.若，则______．

【答案】
【解析】
【分析】
过点E作EM⊥AD垂足为M，EN⊥CD垂足为N，先证得DMEN为正方形，再根据勾股定理得出，得出，再根据正方形的性质和勾股定理即可得出答案；
【详解】
解：过点E作EM⊥AD垂足为M，EN⊥CD垂足为N，则∠DME=90°，
在正方形ABCD中，∠ADC=∠MDC =90°，，
∴四边形DMEN为矩形，
∵∠CDE=45°，
∴∠ADE=135°，
∴∠MDE=45°，
∴∠MED=45°，
∴DM=EM，
∴矩形DMEN为正方形，
设DM=EM=DN=EN=x，则AM=x+1，
在Rt△AME中，AE2=AM2+EM2，AE=BD，
∴2=（x+1）2+x2，
∴或（负值舍去），
∴，
∴，
∵正方形，∴EF=CE，
在Rt△CNE中，CE2=CN2+NE2，
∴
∴

【点睛】
本题考查了正方形的性质和判定、二次根式的混合运算、解一元二次方程及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
4．四边形ADBC中，AC=BC，∠ACB=90°, ∠ADB=30°,AD=,CD=14, 则BD=_________

【答案】
【解析】
【分析】
作AH⊥BD于H，CN⊥BD于N，CM⊥HA于M，则四边形CMHN是矩形．首先证明△BCN≌△ACM，得四边形CMHN是正方形，设CN＝a．构建方程求出a即可解决问题；
【详解】
解：作AH⊥BD于H，CN⊥BD于N，CM⊥HA于M，则四边形CMHN是矩形．

∵∠BCA＝∠MCN＝90°，
∴∠BCN＝∠MCA，
∵∠CNB＝∠M＝90°，BC＝CA，
∴△BCN≌△ACM，
∴CM＝CN，BN＝AM，
∴四边形CMHN是正方形，设CN＝a．
在Rt△AHD中，AD＝，∠ADH＝30°，
∴AH＝，DH＝，
在Rt△CND中，∵CN2＋DN2＝CD2，
∴a2＋（a＋）2＝142，
解得a＝或（舍去），
∴AM＝BN＝，
∴BD＝BN＋NH＋DH＝，
故答案为.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
5．折纸艺术发源于中国，它是一种将纸张折成不同形状图案的艺术活动，在数学中也有不少折纸活动．如下图是将正方形纸片折叠成了领带形状的折纸过程．其步骤为：先将边沿折叠，点的对应点为，再将沿折叠，使得点恰好落在边上的处折痕与边交于．若正方形边长为，连接，则的面积=_____．

【答案】
【解析】
【分析】
设，，根据折叠的性质表示出各边，利用勾股定理列出方程，解之即可得到AE，利用三角形面积公式计算即可．
【详解】
解：由折叠可得图象，

∵ABCD是正方形，EC，FC平分，
∴．
设，，
由折叠性质可得：，
∵，，
∴．
由折叠性质可得，，在同一水平上，
∴，
∴，且，，
∴，
在中，，
，，，
∴，
解出（舍去），，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，勾股定理，正方形的性质，一元二次方程，解题的关键是熟练运用折叠的性质得到相应边的关系．
6．如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为，点E在CD边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为，且.
⑴求线段CE的长；
⑵若点H为BC边的中点，连结HD，求证：.

【答案】（1）CE=；（2）见解析.
【解析】
【分析】
根据正方形的性质，
（1）先设CE=x（0