苏科版数学九年级上册期末专区-专题07 解二次方程与一次函数反比例函数结合

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专题07 解二次方程与一次函数反比例函数结合

类型一 解二次方程与一次函数结合
1．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B，以AB为边在第二象限内作等边△ABC．

(1)求C点坐标；
(2)在第二象限内有一点，使△ABC的面积和△ABM的面积相等，求M点坐标；
(3)点，在直线AB上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，求P点坐标：若不存在，说明理由．
【答案】(1)（-2，4）
(2)（-5，1）
(3)存在，点P坐标为或或或
【解析】
【分析】
（1）证明AC//y轴，故点C的纵坐标为4，即可求解；
（2）△ABC的面积和△ABM的面积相等，则CM//AB，进而求解；
（3）分PC′=PA、PC=AC′、PA=AC′三种情况，利用边相等列出代数式即可求解．
(1)
对于y=x+2，令y=x+2=0，解得x=-2，令x=0，则y=2，
故点A、B的坐标分别为（-2，0）、（0，2），
则OA=2，OB=2，则AB=，
∴∠BAO=30°，则∠ABO=60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=60°=∠ABO，BC=CA=AB=4，
∴AC∥y轴，故点C的纵坐标为4，
故点C的坐标为（-2，4）；
(2)
∵△ABC的面积和△ABM的面积相等，
故CM∥AB，
设直线CM的表达式为y=x+t，
将点C的坐标为代入上式得：4=-×2+t，解得t=6，
故直线CM的表达式为y=x+6，
将点M的坐标代入上式得：1=m+6，解得m=-5，
故点M的坐标为（-5，1）；
(3)
设点P的坐标为（p，p+2），
由点A、C′、P的坐标得：PC′2=（p-2）2+（p+2）2，PA2=（p+2）2+（p+2）2，AC2=（2+2）2，
当PC′=PA时，则（p-2）2+（p+2）2=（p+2）2+（p+2）2，
解得p=1-；
当PC=AC′时，则（p-2）2+（p+2）2=（2+2）2，
解得p=3+；
当PA=AC′时，则（p+2）2+（p+2）2=（2+2）2，
解得p=3-或-3-3；
故点P的坐标为或或或．
【点睛】
本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与y轴，x轴分别交于点A、B，动点P在线段AB上移动（点P不与点A、点B重合），以点P为顶点作∠OPQ＝45°交x轴于点Q．
（1）点A的坐标为 　 　，点B的坐标为 　 　；
（2）求证：∠AOP＝∠BPQ；
（3）是否存在点P，使得△OPQ是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）若点O到直线PQ的距离是 ，请直接写出线段AP的长．

【答案】（1）A（0，2），B（2，0）；（2）见解析；（3）存在，点P的坐标为（1，1）或；（4） 或
【解析】
【分析】
（1）分别令x=0，y=0，即可求得A、B的坐标；
（2）过P点PE⊥OA交OA于点E，根据OA=OB，求得△AOB是等腰直角三角形，得出∠OAB=∠OBA=45°，即可求得∠APE=45°，根据平角的定义即可求得∠OPE+∠BPQ=90°，再根据直角三角形两锐角互余，即可求得∠AOP=∠BPQ；
（3）假设存在等腰三角形，分三种情况讨论：OP=OQ， QP=OQ； PO=PQ，即可求解；
（4）如图，过点O作ON⊥PQ，交PQ于点N，过点P作PF⊥OA于点F，则 ，AM=MP，可得△PON是等腰直角三角形，由勾股定理可得，然后设 ，则 ，在中，由勾股定理可解得 ，即可求解．
【详解】
解：（1）直线y=-x+2与x轴，y轴分别交于B、A两点，
令x=0，则y=0+2=2，
∴A（0，2），
令y=0，则0=-x+2，解得：x=2，
∴B（2，0）；
（2）证明：过P点作PE⊥OA交OA于点E，


∵A (0，2), B (2，0)，
∴ OA=OB=2，
∴ ∠OAB= ∠OBA= 45°，
∵PE⊥OA，
∴∠APE=45°，
∵∠OPQ＝45°，
∴∠OPE+∠BPQ=90°，
∵∠OPE+∠AOP=90°，
∴∠AOP=∠BPQ；
（3）△OPQ可以是等腰三角形，理由如下：
如图，过点P作PE⊥OA于点E，


若OP=OQ，则∠OPQ=∠OQP=45°，
∴∠POQ=90°，
∴点P与点A重合，
∵点P不与点A、点B重合，
∴此种情况不成立；
若PQ=OQ，则∠OPQ=∠QOP=45°，
∴PQ⊥QO，
可设P（x，x）代入y=-x+2，解得：x=1，
∴点P坐标为（1，1）；
若PO=PQ，过P点PM⊥OA交OB于点M，
由（2）知：∠AOP=∠BPQ，
又∵∠3=∠4=45°，
∴△AOP≌△BPQ（AAS），
∴PB=OA=2，
∵∠OBA=45°，
∴△PMB以是等腰直角三角形，PB=2，
∵ ，
∴ ，
∴点 ，
综上所述，点P的坐标为（1，1）或；
（4）如图，过点O作ON⊥PQ，交PQ于点N，过点P作PF⊥OA于点F，则 ，AM=MP，


∵∠OPQ=45°，
∴△PON是等腰直角三角形，
∴ON=PN，
∵ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
在中， ，
即 ，
解得： ，
∴ 或．
【点睛】
本题是一次函数综合题目，考查了一次函数的应用、坐标由图形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、分类讨论等知识；熟练掌握一次函数的应用，证明三角形全等是解题的关键．
3．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB与y轴、x轴分别相交于点A，点B，A点坐标为，B点坐标为，点C在直线AB上，过点C作轴，垂足为点D，连接OC，
（1）求直线AB的解析式．
（2）如图，点C在线段AB上，当时．

①求DC的长度．
②直接写出此时的面积．
（3）当面积是4时，直接写出此时点C的横坐标．

【答案】（1）；（2）①；②（3）或
【解析】
【分析】
（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）①，即为等腰直角三角形，点C在直线AB上，得出点C的横纵坐标相等，求解即可；
②直接运用三角形面积公式计算即可；
（3）设点C的坐标为：
【详解】
解：（1）设直线AB的解析式为：，
则，解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（2）①设点C的坐标为：，
∵，
∴，
解得：，
∴；
②；
（3）设点C的坐标为：，
当点C在第一象限时：，
此方程无解，所以第一象限不存在点C；
当点C在第二象限时：，
解得：(舍)，，
∴点C的横坐标为：；
当点C在第四象限时：，
解得：，(舍)，
∴点C的横坐标为：，
综上：当面积是4时，直接写出此时点C的横坐标为：或．
【点睛】
本题考查了一次函数的综合问题，待定系数法求一次函数解析式，一次函数上点的坐标特征，根据题意设出点的坐标，列出方程是解本题的关键．
4．如图1，在平面直角坐标系中，直线：（）与轴，轴，交于、两点，点是的中点且．

（1）求直线的解析式；
（2）如图2，若点是直线的一动点，当时，求点的坐标．
（3）若点为直线上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，请选择一个点坐标写出详细的推理过程，其余的点的坐标请直接写出；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）直线的解析式为；（2）或；（3）点的坐标为或或或．
【解析】
【分析】
（1）根据题意先求出B点的坐标，且C是BO的中点可求点C的坐标，根据BO=2AO求点A的坐标，然后利用待定系数法可求解；
（2）设出点M的坐标，以BC为边，表示△BCM的面积，寻求△ABM，△ABC，△BCM的面积关系，分类讨论即可求解；
（3）分AC是菱形的边和AC是菱形的对角线两种情况，利用图象的平移和中点坐标公式分别求解即可．
【详解】
解：（1）∵直线：（）与轴，轴，交于、两点，
∴，即，
∵，
∴，即，
∵点是的中点，
∴，
设直线的解析式为，把点A、C的坐标代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为；
（2）由（1）可知：，
∵点是的中点，，
∴，，
设，
①当点M在点C的右侧时，如图所示：

∵，
∴，解得：，
∴；
②当点M在点C的左侧时，如图所示：

∵，
∴，解得：，
∴；
综上所述：当时，或；
（3）存在，理由如下：点A、C、B的坐标分别为，
∴把点A的坐标代入直线：得：，解得：，
∴直线：，
设点E的坐标为，点，
①当AC是菱形的边时，如图所示：

则点A向右平移2个单位向上平移2个单位得到点C，同样点E（F）向右平移2个单位向上平2个单位得到点F（E），
即，且或且，
即或，
解得：或或（此时点E和点A重合，故舍去），
∴点F的坐标为或或；
②当AC是菱形的对角线时，如图所示：

由中点坐标公式得：，且EC=CF，
∴由EC=CF得：，
联立并解得，
∴点F的坐标为；
综上所述：当以点、、、为顶点的四边形为菱形，则点F的坐标为或或或．
【点睛】
本题主要考查一次函数的综合运用、菱形的性质、图形的平移及面积的计算，熟练掌握分类讨论思想及一次函数与几何的综合是解题的关键．
5．如图1．直线l1：y＝与x轴、y轴分别交于C、D两点，直线l2与x轴、y轴分别交于A（3，0）、B两点，与直线l1交于点Q（6，a），点P为线段DQ上一动点．
（1）求直线l2的解析式；
（2）已知在y轴上有一动点E，直线l2上有一动点F，连接PE，PF，EF，当△PBD面积为6时，求△PEF周长的最小值；
（3）如图2，在（2）的条件下，将直线l2沿CD方向平移，使其平移后的直线l3恰好经过点P，平移后点B的对应点为B′，点M为y轴上一动点，点N为平面内任意一个动点，是否存在点M和对应的点N，使得以点P，B′，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）l2：；（2）；（3）存在，M1，M2，
【解析】
【分析】
（1）设直线l2的解析式为：，将点Q的坐标代入直线l1：y＝并解得a的值，再将Q点坐标代入即可求解；
（2）根据△PBD面积为6可以计算得出P点的坐标P（3，），此时作P关于y轴的对称点，关于直线l2的对称点,连接交y轴、直线l2于E、F两点，△PEF周长取得最小值，求得线段的长度即可；
（3）先根据平移后经过点P得出直线l3的解析式为：，计算出的长度，再根据菱形的性质得出M点的坐标，最后根据菱形四条边相等列方程即可得出N点的坐标（注意考虑到所有可能的情况）．
【详解】
解：（1）设直线l2的解析式为：，
将点Q（6，a）的坐标代入直线l1：y＝得：

∴Q（6，），
将A（3，0）、Q（6，）代入直线得，

解得：
故直线l2的解析式为：；
（2）由题意可得：,
∵△PBD面积为6，
∴，
∴，
则P（3，），
此时作P关于y轴的对称点，关于直线l2的对称点,如下图所示，
可得（-3，），
设 而 由

解得： （不合题意的根舍去）
∴（6，），
连接交y轴、直线l2于E、F两点，△PEF周长取得最小值，
,
即为线段的长度，

故△PEF周长的最小值为；

（3）存在，理由如下；
设直线l3的解析式为：，
将点P（3，）的坐标代入直线l3：得：

解得：，
∴直线l3的解析式为：，
直线l2与直线l1交于点Q（6，），直线l3与直线l1交于点P（3，），
通过坐标变化规律可知变化后（-3，0）
∴（-3，0）
,
∵点M为y轴上一动点且菱形四条边边长相等，设
∴以为边时，则


∴M1，M2，
由平移可得：
当为对角线时，则


不合题意，舍去
综上所述，存在点M和对应的点N，使得以点P，B′，M，N为顶点的四边形是菱形，
M1，M2，
【点睛】
本题考查一次函数的图象及性质、几何最值问题以及菱形的性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，利用轴对称构造等腰三角形，将所求线段和的最小进行转化，灵活运用菱形的性质解题是关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，直线与x轴、y轴分别交于点C，D，与相交于点E，线段，的长是一元二次方程的两根，，．

（1）求点A，C的坐标；
（2）M为直线上任一点，当的面积为40时，求点M的坐标；
（3）若点P在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q，使以点C，E，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出位于第二象限的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）（-7，）或（13，）；（3）（-6，12），（-9，），（-3，）
【解析】
【分析】
（1）先求出一元二次方程的两根就可以求出，的值，进而求出点，的坐标；
（2）求出点B坐标，求出AB的解析式，得到点E坐标，再求出CE的解析式，得到点D坐标，利用面积法求出点D到直线AB的距离，设设点M坐标为（m，m+16），表示出ME，利用△DME的面积列出方程，求出m值即可；
（3）根据矩形的性质，画出图形，结合勾股定理，全等三角形以及坐标与图形性质求出第二象限的点Q坐标．
【详解】
解：（1），
，．
，
，．
，；
（2）∵，OA=12，
∴OB=16，即B（0，16），
设AB的解析式为y=kx+16，将A代入，
则，则y=x+16，
设E（x，x+16），∵BE=5，
∴，
解得：x=3或-3（舍），则E（3，12），
同理可得：CE的解析式为y=x+8，令x=0，则y=8，
∴D（0，8），
∴△BDE的面积==12，
∴点D到直线AB的距离为=，
设点M坐标为（m，m+16），
则ME=，
∵△DEM的面积为40，
∴，
解得：m=-7或m=13，
，，
∴点M的坐标为（-7，），（13，）；
（3）如图，满足条件的点Q的个数是6，
其中Q1，Q2，Q5在第二象限，

Q2的坐标为（-6，12）；
过点E作EF⊥y轴，垂足为F，过点Q2作Q2G⊥x轴，垂足为G，

可得EF∥OC，
∴∠DEF=∠DCO，
∵∠DEF+∠P2EF=∠DCO+∠Q2CG，
∴∠P2EF=∠Q2CG，又P2E=Q2C，∠P2FE=∠Q2GC，
∴△P2EF≌△Q2CG（AAS），
∴P2F=Q2G，EF=CG=3，
设P2（0，a），在△BDE中，
，即，
解得：a=，即P2（0，），
∴Q2（-9，），即：（-9，）；
设P5（0，n），连接P5Q5，与CE交于点H，在△P5CE中，
，即，
解得：n=或（舍），
∴P5（0，），
∵H（，），即（，6），
∴点Q5的坐标为（-3，），

综上：位于第二象限的点Q的坐标为（-6，12），（-9，），（-3，）．
【点睛】
本题考查了一次函数综合问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，解一元二次方程，面积法，涉及的知识点较多，难度较大，解题的关键是掌握基本知识和方法，结合图形解决问题．
7．在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，直线y=x+3交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴正半轴上，的面积为15．

（1）求直线BC的解析式；
（2）横坐标为t的点P在直线AB上，设d=OP2，求d与t之间的函数关系式．（不必写出自变量取值范围）
（3）在（2）的条件下，当∠BPO=∠BCA时，求t的值．
【答案】（1）y=x+3；（2）d=t2+3t+9；（3）6或
【解析】
【分析】
（1）先求出点A，B坐标，用△ABC的面积为15，求出点C的坐标，用待定系数法求出直线BC解析式；
（2）在Rt△OPD中，有OP2=OD2+PD2，代入化简 得d=t2+3t+9；
（3）过点A作BC的垂线，点E为垂足，先判断出∠EBA=∠OBA，再分两种情况，①点P在第一象限，用PD=OD建立方程求出t，②当点P位于如图2所示P1位置时，用P1O=PO，建立方程求解即可．
【详解】
解：（1）直线y=x+3交x轴于点A，交y轴于点B，
当x=0时y=3，当y=0时，x=﹣6，
∴A（﹣6，0）B（0，3），
∴OA=6，OB=3，
∴S△ABC=AC×OB=（OA+OC）×OB．
∴15=（6+OC）×3
∴OC=4，
∴C（4，0），
设直线BC的解析式为 y=kx+b，
则：
∴k=
∴直线BC的解析式为y=x+3．
（2）横坐标为t的点P在直线AB上，
∴P（t， t+3）
过点P作x轴的垂线，点D为垂足，如图1，

∴D（t，0）
在Rt△OPD中，有OP2=OD2+PD2
∴d=t2+（t+3）2=t2+3t+9，
（3）在Rt△OBC中有BC2=OB2+OC2
∴BC==5
过点A作BC的垂线，点E为垂足，如图2

S△ABC=BC•AE=15，
∴AE=6
∴AO=AE，
∵∠AEB=∠AOB=90°
∴∠EBA=∠OBA        
当点P位于第一象限时，
∠BOP=∠ABO﹣∠APO=∠EBO﹣∠BCO=（∠EBO﹣∠BCO）=∠BOC=45°   
∴∠POD=∠OPD=45°，
∴PD=OD，
∴t+3=t，
∴t=6 ，
当点P位于如图2所示P1位置时，
∠BP1O=∠BCA=∠BPO，
∴P1O=PO，
∴P1O2=PO2，
∴t2+3t+9=×62+3×6+9，
解得：t=或t=6（舍去）
综上所述：当∠BPO=∠BCA时t的值为6或．
【点睛】
此题是一次函数综合题，主要考查了三角形的面积公式、待定系数法、等腰三角形的性质、勾股定理、解一元二次方程，解本题的关键是判断出∠EBA=∠OBA，用方程的思想解决问题是解本题的难点．
类型二 解二次方程与反比例函数结合
8．在反比例函数中，已知正方形与正方形，求A的坐标．

【答案】（0，）
【解析】
【分析】
由正方形的性质得到AB=BD=CD=AC，BE=EF=FG=BG，设E（m，m），代入反比例函数解析式，求出m值，再设AB=BD=CD=AC=a，得到AG=a+，AC=a，即C（a，a+），代入函数解析式，求出a值，从而可得点A坐标．
【详解】
解：∵四边形ABDC和四边形BEFG是正方形，
∴AB=BD=CD=AC，BE=EF=FG=BG，
∵点E在上，设E（m，m），
∴m2=2，
∴m=，即BE=EF=FG=BG=，
设AB=BD=CD=AC=a，
则AG=a+，AC=a，即C（a，a+），
∵点C在上，
则，
解得：a=或（舍），
∴AG=+=，
∴A（0，）．
【点睛】
本题考查了反比例函数综合，正方形的性质，解一元二次方程，有一定难度，解题的关键是抓住点C和点E在函数图像上．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点B的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（，2），对角线AC∥x轴，边BC所在直线与反比例函数的图象交于C，E两点．
（1）求和的函数解析式；
（2）点P是x轴上一动点，当△PAC是以AC为斜边的直角三角形时，请求出点P的坐标．

【答案】（1）；；（2）点P的坐标为或．
【解析】
【分析】
（1）由图形的对称性知，点A、C关于BD对称，则点C的坐标为（4,2），进而求解；
（2）由，即，即可求解．
【详解】
解：（1）如图，连接BD，

∵四边形ABCD为菱形，AC∥x轴，
由图形的对称性知，点A、C关于BD对称，
则点C的坐标为，
将点C、B的坐标代入直线的表达式得，
解得，
；
将点C的坐标代入反比例函数表达式得：，解得，
∴
（2）设点P的坐标为，
由点P、A、C的坐标得：
，，，
由题意知：，
即，
解得，
∴点P的坐标为或．
【点睛】
本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数的性质、菱形的性质、勾股定理的运用等，有一定的综合性，但难度不大．
10．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，直线与轴交于点，与反比例函数图象交于点和点，，．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）点为线段上的一个动点，过点作轴的平行线，当被这条平行线分成面积相等的两部分时，求点的坐标．
【答案】（1）；；（2）
【解析】
【分析】
（1）首先根据勾股定理求出AB的长度，然后将点B的坐标代入一次函数中即可得出一次函数的解析式，然后利用菱形的性质求出点D的坐标，再将点D的坐标代入反比例函数的解析式中即可得出反比例函数的解析式；
（2）首先将一次函数与反比例函数联立，求出点E的坐标，进而求出直线CE的解析式，然后设，则，通过建立一个关于m的方程，解方程即可求解．
【详解】
解：（1），．
，，
把代入得，，
，
一次函数的解析式为；
四边形是菱形，
，
轴，
，
将点代入反比例函数中，
，
反比例函数的解析式为；
（2）解，得，或
．
设作轴的平行线交于，
，

设直线的解析式为，
解得
直线的解析式为，
设，则，
被这条平行线分成面积相等的两部分，
，
，
解得：．
当（不合题意），



【点睛】
本题主要考查反比例函数，一次函数与几何综合，掌握待定系数法和一元二次方程的解法是解题的关键．
11．如图，点P1、P2、……Pn是反比例函数y=在第一象限图像上，点A1、A2……An在X轴上，若△P1OA1、△P2A1A2……△PnAN-1AN均为等腰直角三角形，则：

（1）P1点的坐标为
（2）求点A2与点P2的坐标；
（3）直接写出点An与点Pn的坐标.
【答案】详见解析
【解析】
【详解】
试题分析：（1）首先根据等腰直角三角形的性质，知点P1的横、纵坐标相等，再结合双曲线的解析式得到点P1的坐标是（4，4），则根据等腰三角形的三线合一求得点A1的坐标；
（2）同样根据等腰直角三角形的性质、点A1的坐标和双曲线的解析式求得A2点的坐标和点P2的坐标；
（3）根据A1、A2点的坐标特征和P1、P2点的坐标特征即可推而广之．
试题解析：

解：（1）可设点P1（x，y），根据等腰直角三角形的性质可得：x＝y，
又∵，则x2＝16，∴x＝±4（负值舍去），∴P1点的坐标为（4，4）；
（2）再根据等腰三角形的三线合一，得A1的坐标是（8，0），设点P2的坐标是（8+y，y），又∵，则y（8+y）＝16，即y2+8y-16＝0解得， ，∵y＞0，∴ ，∴P2的坐标为
再根据等腰三角形的三线合一，得A2的坐标是；
（2）可以再进一步求得点A3的坐标为，推而广之An的坐标是，可以再进一步求得点P3的坐标为，推而广之．
考点：反比例函数综合题．
12．在平面直角坐标原xOy中，已知四边形OABC是菱形，B（-8，4），若反比例函数的图象经过菱形对角线AC，OB的交点F，设直线BC的解析式为．

(1)求反比例数解析式；
(2)求直线BC的解析式；
(3)请结合图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【解析】
【分析】
（1）根据点的坐标，以及菱形的性质可求得的坐标，进而求得反比例函数的解析式；
（2）根据菱形的性质求得边长，进而求得点的坐标，根据待定系数法求解析式即可
（3）联立直线解析式与抛物线解析式求得交点坐标，进而结合函数图象求得不等式的解集即可
(1)
，四边形OABC是菱形，是对角线交点

将代入，解得

(2)


过点作轴于点，
则






将代入得，

解得


(3)
联立
解得
交点的横坐标分别为
不等式的解集即：或
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数结合，反比例函数与几何图形结合，根据图像求不等式的解集，待定系数法求解析式，数形结合是解题的关键．
13．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于B，D两点，且AC=BC．


（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知是轴正半轴上一点，作轴交直线于点，交双曲线于点，当，，，为顶点的四边形为平行四边形时，请写出点的坐标．
【答案】（1）反比例函数的解析式为y=；（2）P点坐标为（2，0）或（-2+2，0）．
【解析】
【分析】
（1）首先求出一次函数与坐标轴的交点，进而利用相似三角形的判定与性质得出B点坐标，进而求出反比例函数解析式；
（2）利用平行四边形的性质，进而表示出MN的长，再解方程得出a的值，即可得出P点坐标．
【详解】
解：（1）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，


∵一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴当x=0时，y=1；当y=0时，x=-2，
故A（-2，0），C（0，1），
∵CO⊥x轴于点O，BE⊥x轴于点E，
∴CO∥BE，
∴△AOC∽△AEB，
∵AC=BC，
∴AO=OE=2，
即B点横坐标为：2，
则y=×2+1=2，
∴B（2，2），
∴把B点代入y=（k≠0），
解得：xy=4，
∴反比例函数的解析式为y=；
（2）如图，由题意可得：CO∥MN，只有CO=MN时，O，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形，
∵点P在x轴正半轴上，分两种情况：
当P点在B点右侧时，设P（a，0），（a＞0）则N（a，），M（a，a+1），
故MN=a+1-=CO=1，
解得：a=±2，
经检验，a=±2是分式方程的解，但a=-2＜0舍去；


当P点在B点左侧时，设P（a，0），则N（a，），M（a，a+1），
故MN=-（a+1）=CO=1，
解得：a=-2+2或a=-2-2，


经检验，a=-2+2或a=-2-2都是分式方程的解，但a= -2-2＜0舍去；
综上所述，P点坐标为（2，0）或（-2+2，0）．
【点睛】
本题是反比例函数的综合题，主要考查了反比例函数性质、相似三角形的判定与性质以及分式方程和解一元二次方程，正确表示MN的长是解题关键．
14．如图，已知直线与双曲线交于两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D．

（1）双曲线解析式为_______________，A点的坐标为______________，B点的坐标为________．
（2）若点P在直线上，是否存在点Р使，若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，直接写出M点坐标．
【答案】（1），，；（2）或（3）或或或
【解析】
【分析】
（1）将点代入直线解析式即可得出点的坐标，将点的坐标代入双曲线解析式即可得出解析式；
（2）分两种情况进行讨论：①当点在点下方时；②当点在点上方时，分别计算即可；
（3）分三种情况进行讨论：①当时；②当时，③当时，分别计算即可．
【详解】
解：（1）∵直线经过两点，
∴，，
解得，，
∴,
∵直线与双曲线交于两点，
∴，
∴双曲线解析式为：，
故答案为：，，；
（2）设与轴交于点，

当时，，解得，
∴点，
∵点，
∴，
∴，
∵，
∴当点在点下方时，与点重合，
∴；
当点在点上方时，
，
即，
∴，
∴，解得，
∴点，
综上：点得坐标为或；
（3）画出图形可知，四边形为对角线长度为的正方形，
①当时，设
则

解得：
；
②当时，同理可得：；
③当时，设，设得中点，

∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
综上：满足条件的点的坐标为或或或．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数综合，矩形的性质，勾股定理等知识点，根据数形结合的思想解题是关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+5与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（3，a）和点B（b，3），点D，C分别是x轴和y轴的正半轴上的动点，且满足CD∥AB．

(1)求a，b的值及反比例函数的解析式；
(2)若OD＝1，求点C的坐标，判断四边形ABCD的形状并说明理由；
(3)若点M是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，当△AMD是以AM为直角边的等腰直角三角形时，求点M的坐标．
【答案】(1)a＝2，b＝3，
(2)平行四边形ABCD是矩形，见解析
(3)（5，1.2），
【解析】
【分析】
（1）把A和B分别代入y＝﹣x+5，得：a＝2，b＝3，再把A（3，2）代入，得：k＝6，故反比例函数解析式为；
（2）由于CD∥AB，可设CD的解析式为y＝﹣x+m，由OD＝1得D的坐标为（1，0），将D代入直接CD解析式得：y＝﹣x+1，得C的坐标为（0，1），由A，B，C，D可算出，由AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形，过点B作BE⊥y轴于点E得E，由△BEC和△COD都等腰直角三角形证出∠BCD＝90°，即可得平行四边形ABCD是矩形；
（3）分∠MAD＝90°或∠AMD＝90°两种情况计算，当∠MAD＝90°时，通过作辅助线构造△MAQ≌△ADP得PD＝AQ＝2，QM＝AP，设M的坐标为（5，n），由M在反比例函数得5n＝6，得n＝1.2，得M（5，1.2）；当∠AMD＝90°时，同理可求．
(1)
把A（3，a）和B（2，b）分别代入y＝﹣x+5，
得：a＝2，b＝3，
把A（3，2）代入，得：k＝6，
∴反比例函数解析式为；
(2)
∵CD∥AB，
∴设CD的解析式为y＝﹣x+m，
∵OD＝1，D在x轴的正半轴上，
∴D的坐标为（1，0），
∴-1+m=0，得m=1，
∴直线CD的解析式是y=-x+1，
当x=0时，y＝﹣x+1=1，
∴C的坐标为（0，1），
以点A、B、C、D构成的四边形是矩形，理由如下：
∵A（3，2），B（2，3），C（0，1），D（1，0），
∴，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
如图，过点B作BE⊥y轴于点E，则E（0，3），

∴BE＝CE＝2，
∴△BEC和△COD都等腰直角三角形，
∴∠ECB＝∠OCD＝45°，
∴∠BCD＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
(3)
①当∠MAD＝90°时，
过点A作直线l∥x轴，过点M作MQ⊥直线l于点Q，过点D作DP⊥直线l于点P，

∵∠MAD＝90°，
∴∠MAQ+∠PAD＝90°，
∵DP⊥直线l于点P，
∴∠PAD+∠PDA＝90°，
∴∠AQM＝∠PDA，
在△MAQ与△ADP中，
，
∴△MAQ≌△ADP（AAS），
∴PD＝AQ＝2，QM＝AP，
设M的坐标为（5，n），
∴5n＝6，则n＝1.2，
∴M（5，1.2）；
②当∠AMD＝90°时，同理，过点M作直线l∥y轴，过点A作AP⊥直线l于点P，过点D作DQ⊥直线l于点Q，
可得：△MAP≌△DMQ，
∴PM＝DQ，QM＝AP，
设M的坐标为（3+n，n），
∴n（3+n）＝6，
解得：，（舍去），
∴，
综上所述：M的坐标为（5，1.2），．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何图形综合，矩形的判定，全等三角形的性质与判定，掌握反比例函数的性质是解题的关键．