苏科版数学九年级上册期末专区-专题18 圆与一次函数反比例函数结合

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专题18 圆与一次函数反比例函数结合
1．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P（m， m＋2），过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（       ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可知点P在直线上，再结合题意，画出图形．设该直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，并作于点H．根据坐标轴上点的坐标特点，由一次函数解析式，求得B、C两点的坐标，即得出OB、OC、BC的长．再根据面积法即可求出OH的长．根据切线的性质可知，即由勾股定理可推出．由OA为圆O半径，是定值，故可知当OP最小时，PA最小，此时OP最小值即为OH的长，由此即可求出PA的最小值．
【详解】解：根据题意可知点P在直线上，设该直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，并作于点H，如图．

令，则，
解得：；
令，则．
故B点坐标为(0，)，C点坐标为(-2，0)．
∴，，．
∵，
∴，即．
∵为圆O的切线，
∴，
∴在中，．
∵OA为圆O半径，是定值，
∴当OP最小时，PA最小．
∵OP最小时即为OH的长，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，切线的性质，勾股定理．根据题意作出图形，并理解当OP最小时，PA最小，且OP最小值为OH的长是解答本题的关键．
2．已知直线y＝﹣x和抛物线y＝x2+3x+3的图象交于P、Q两点，点A在x轴的负半轴上移动，当∠PAQ取最大值时，A的横坐标为（　　）
A． B．﹣2 C．﹣2 D．
【答案】D
【分析】利用平面几何中的圆外角小于圆周角，设过PQ且与x轴相切的圆D与x轴的切点为A，则A为所求，根据两点的距离可得结论．
【详解】解：由题意得：﹣x＝x2+3x+3，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3，
∴P（﹣3，3），Q（﹣1，1）
设过PQ且与x轴相切的圆的圆心为D（x，y），连接PD、DQ、AD，则AD⊥x轴，此时∠PAQ最大，
设A（x，0），
∵PD＝DQ＝AD，
∴（x+3）2+（y﹣3）2＝（x+1）2+（y﹣1）2＝y2，
解得：，，
∵点A在x轴的负半轴上移动，
∴A（，0），
故选：D．

【点睛】本题主要考查了两点的距离公式、圆的切线的性质、圆的性质：圆外角小于圆周角在求解角的最值的应用，有难度，注意数形结合的思想．
3．如图，一次函数y=-2x与反比例函数y=(k<0)的图象交于A，B两点，点P在以C(2，0)为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最小值为，则k的值为(     )

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作辅助线，先确定OQ长的最小时，点P的位置，当BP延长线过圆心C时，BP最短，设B（t，−2t），则CD＝2−t，BD＝2t，根据勾股定理计算t的值，可得k的值．
【详解】连接BP，
由对称性得：OA＝OB，
∵Q是AP的中点，
∴OQ＝BP，
∵OQ长的最小值为，
∴BP长的最小值为×2＝1，
如图，当BP的延长线过圆心C时，BP最短，过B作BD⊥x轴于D，
∵CP＝1，
∴BC＝2，
∵B在直线y＝−2x上，
设B（t，−2t），则CD＝2−t，BD＝2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2＋BD2，
∴22＝（2−t）2＋（2t）2，
t＝0（舍）或t=，
∴B（，−），
∵点B在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，
∴k＝×(−)＝
故选C．

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、圆的性质，勾股定理的应用，有难度，解题的关键是利用勾股定理建立方程解决问题．
4．如图，以原点为圆心的圆与反比例函数y=的图像交于A、B、C、D四点，已知点A的横坐标为1，则点C的横坐标（ ）

A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【答案】B
【详解】把x=1代入y=，得y=3，故A点坐标为（1，3）；
∵A、B关于y=x对称，则B点坐标为（3，1）；
又∵B和C关于原点对称，
∴C点坐标为（﹣3，﹣1），
∴点C的横坐标为﹣3．
故选B．
5．如图，点P为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，P半径为2，，，点Q是P上的动点，点C是QB的中点，则AC的最大值是__________．

【答案】2+1
【分析】易求点P(4，4)，连接OP交P于点Q'，连接BQ'，因为OA=AB，CB=CQ，所以
AC=OQ，所以当OQ最大时，AC最大，Q运动到Q'时，OQ最大，由此即可解决问题.
【详解】点P为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，
∴可设P(x，x)( x>0)，则x=解得x=±4(负值舍去），
点P(4, 4)如图，连接OP交P于点Q'，连接BQ'，取BQ'的中点C'，连接AC'，此时A C'最大，
∵，，点C是QB的中点，
∴OA=AB，CB=CQ，AC=OQ，
当Q动到Q'时，OQ最大，此时AC的最大值AC'=OQ'= (OP+P Q') =2+1，
故答案为：2+1.

【点睛】本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最小值问题等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.
6．圆O的半径为，点M的坐标为（m，3），若在圆O上存在一点N, 以M、N为正方形的两个顶点，且正方形的边均与两条坐标轴垂直，则m的最小值为_________
【答案】-5
【分析】根据M、N为正方形的两个顶点，分MN为边或MN为对角线两种情况讨论：当 MN为边时，根据点N在圆上可得m的取值范围；当MN为对角线时，根据正方形的性质，直线MN与x轴的夹角为45°，由点N在圆O上，所以该直线MN与圆O一定要有交点，由此可以求出m的范围．
【详解】当MN为正方形的边时：
∵正方形各边与坐标轴垂直，
∴点N的横坐标为m，
又∵点N在圆O上，圆O半径为，
∴；
当MN为正方形对角线时：
设直线MN的解析式为y=kx+b，
∵MN为正方形对角线，且正方形的边与坐标轴垂直，
∴直线MN与x轴的夹角为45°，
∴k=±1，
∵点N在O上，
∴直线MN与圆O必有交点，
当k=1时，作圆O的切线AD和BC，且与直线MN平行，其中A、C为圆O的切点，直线AD与y轴交于点D，直线BC与y轴交于点B，连接OA，OC，
把M(m，3)代入y=x+b，得b=3−m，
∴直线MN的解析式为：y=x+3−m，
∵∠ADO=45°，∠OAD=90°，
∴OD=OA=2，
∴D(0，2)，
同理可得：B(0，－2)，
∴令x=0代入y=x+3−m，
∴y=3−m，
∴−2≤3−m≤2，
∴1≤m≤5，
当k=－1时，把M(m，3)代入y=－x+b，得b=3+m，
∴直线MN的解析式为：y=－x+3+m，
同理可得：−2≤3+m≤2，
∴−5≤m≤−1；
综上所述，m可以取的最小值为－5.

【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握正方形的性质及圆的相关知识是解题的关键.
7．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的半径为5，圆心P坐标是（5，a）（a＞5），函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4，则a的值是__________．

【答案】5＋．
【详解】试题分析：连接PA，作PC⊥AB于C，作PD⊥x轴于D，交OB于E，则由题意得△OED和△PCE都是等腰直角三角形，ED=OD=5，由垂径定理得：AC=AB=2，因为PA=5，由勾股定理得：PC=1，所以CE=PC=1，PE=，则PD=PE+ED=5+．即a=5＋．
考点：1．等腰直角三角形性质；2．垂径定理；3．勾股定理．
8．如图，点P在双曲线y=（x＞0）上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，点E为y轴负半轴上的一点，过点P作PF⊥PE交x轴于点F，若OF﹣OE=8，则k的值是_____．

【答案】16
【详解】解：过P点作PAx轴，PBy轴，垂足为A、B，

∵⊙P与两坐标轴都相切，∴PA=PB，四边形OAPB为正方形，
∵∠APB=∠EPF=90°，∴∠BPE=∠APF，
∴Rt△BPE≌Rt△APF，∴BE=AF，
∵OF-OE=8，
∴（OA+AF）-（BE-OB）=8，
即2OA=8，解得OA=4，
所以点P的坐标是（4，4）代入得∶k= 16．
故答案为：16

三、解答题(共0分)
9．如图，在平面直角坐标系中，⊙A的半径为1，圆心A点的坐标为（1，﹣2）．直线OM是一次函数y=x的图像．让⊙A沿y轴正方向以每秒1个单位长度移动，移动时间为t．
（1）填空：
①直线OM与x轴所夹的锐角度数为 °；
②当t= 时，⊙A与坐标轴有两个公共点；
（2）求出运动过程中⊙A与直线OM相切时的t的值．

【答案】（1）①45；②1秒或2秒或3秒；（2） 或．
【分析】（1）①利用直线y=x上点的坐标特征易得直线y=x为第一、三象限的角平分线，则直线OM与x轴所夹的锐角度数为45°；
②根据直线与圆的位置关系得到⊙A沿y轴正方向运动时，⊙A始终与y轴相切，所以当⊙A与x轴相切或点A在x轴上时，⊙A与坐标轴有两个公共点，易得t=1或t=2或t=3；
（2）分两种情况画出图形，解答即可．
【详解】（1）①∵直线y=x上点到x轴和y轴的距离相等，∴直线y=x为第一、三象限的角平分线，∴直线OM与x轴所夹的锐角度数为45°；
②∵⊙A的半径为1，圆心A点的坐标为（1，﹣2），∴⊙A沿y轴正方向运动时，⊙A始终与y轴相切，当⊙A与x轴相切或点A在x轴上时，⊙A与坐标轴有两个公共点．
当⊙A与x轴相切时，则点A与x轴的距离为1，得到t=1或3；
当点A在x轴上，则t=2；
所以t=1或t=2或t=3．
故答案为45，1秒或2秒或3秒；
（2）分两种情况讨论：
①如图1，作AB⊥y轴于B，AC⊥直线OM于C，AH⊥x轴于H，交直线OM于P，则OB=t﹣2，AB=AC=1，OH=1．
∵直线OM与x轴所夹的锐角度数为45°，∴∠POH=45°，∴∠OPH=45°，∴∠APC=45°，∴△OPH和△APC都是等腰直角三角形，∴PH=OH=1，APAC，∴AH=AP+PH1，而AH=OB，∴t﹣2，∴t=；
②如图2，作AB⊥y轴于B，AC⊥直线OM于C，CD⊥x轴于D，CD交BA与F，则OB=DF=2﹣t，AB=AC=1．
∵OB、OC都是⊙A的切线，∴OB=OC=2﹣t．
∵直线OM与x轴所夹的锐角度数为45°，∴∠COD=45°，∴△ODC是等腰直角三角形，∠OCD=45°，∴OD=CD==．
∵∠OCA=90°，∠OCD=45°，∴∠ACF=45°，∴△ACF是等腰直角三角形，∴ACAF．
∵AF=BA-BF=，∴=1，解得：∴2﹣t=，∴t=．
综上所述：或．

【点睛】本同考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质、等腰直角三角形的判定与性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题；学会解决动点问题．
10．如图，已知直线l的函数表达式为y＝x+3，它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点．
（1）若⊙O的半径为2，说明直线AB与⊙O的位置关系；
（2）若△ABO的内切圆圆心是点M，外接圆圆心是点N，则MN的长度是　 ；（直接填空）
（3）设F是x轴上一动点，⊙P的半径为2，⊙P经过点B且与x轴相切于点F，求圆心P的坐标．

【答案】（1）直线AB与⊙O的位置关系是相离；（2）；（3）（，2）．
【分析】（1）由直线解析式求出A，B的坐标，得出OB，OA的长度，由勾股定理得出AB的长，过点O作OC⊥AB于C，由三角函数定义求出OC2，即可得出结论；
（2）设⊙M分别与OA、OB、AB相切于C、D、E，连接MC、MD、ME、BM，则四边形OCMD是正方形，DE⊥AB，BE=BD，得出MC=MD=ME=OD（OA+OB﹣AB）=1，求出BE=BD=OB﹣OD=2，由直角三角形的性质得出△ABO外接圆圆心N在AB上，得出AN=BNAB，NE=BN﹣BE．在Rt△MEN中，由勾股定理即可得出答案；
（3）连接PB、PF，作PC⊥OB于C，则四边形OCPF是矩形，得出OC=PF=BP=2，设P（x，2），由BP=2，根据两点间的距离公式列方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）∵直线l的函数表达式为yx+3，它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，∴当x=0时，y=3；当y=0时，x=4；
∴A（﹣4，0），B（0，3），
∴OB=3，OA=4，
AB5，
过点O作OC⊥AB于C，如图1所示：
∵sin∠BAO，∴，∴OC2，∴直线AB与⊙O的位置关系是相离；
（2）设⊙M分别与OA、OB、AB相切于C、D、E，
连接MC、MD、ME、BM，如图2所示：
则四边形OCMD是正方形，DE⊥AB，BE=BD，∴MC=MD=ME=OD（OA+OB﹣AB）（4+3﹣5）=1，∴BE=BD=OB﹣OD=3﹣1=2．
∵∠AOB=90°，∴△ABO外接圆圆心N在AB上，∴AN=BNAB，∴NE=BN﹣BE2．
在Rt△MEN中，MN．
故答案为：；
（3）连接PB、PF，作PC⊥OB于C，如图3所示：
则四边形OCPF是矩形，∴OC=PF=BP=2．
设P（x，2），由BP=2，得到：，解得：x=，
∴圆心P的坐标为：（，2）．

【点睛】本题是圆的综合题目，考查了直线与圆的位置关系、直角三角形的内切圆与外接圆、勾股定理、切线长定理、正方形的性质、矩形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握直线与圆的位置关系，根据题意画出图形是解题的关键．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=kx+1(k>0)与x轴、y轴分别相交于点A、B，tan∠ABO=．
（1）求k的值；
（2）若直线l：y=kx+1与双曲线y= ()的一个交点Q在一象限内，以BQ为直径的⊙I与x轴相明于点T，求m的值．

【详解】解：
(1)在中，令，则，
∴
在中，，
∴，.
把点代入中得：，
解得：
(2)，∴，
连接，∵⊙与轴相切于点，∴，，
在中，，，
∴，
在中，，设，则，
，∴，解得：，，
作轴于点,
在中，，,
，
∴，
∴，
把点代入得：.

【点睛】此题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟知一次函数、反比例函数的性质，含30°的直角三角形的性质.
12．在平面直角坐标系中，的半径为，对于和外的点，给出如下的定义：若在上存在一点，使、两点间的距离小于或等于，则称为的近距点．
（1）在点，，中，的近距点是 ；
（2）若直线：上存在的近距点，求的取值范围；
（3）若点在直线上，且点是的近距点，求点横坐标的取值范围．

【答案】（1）P1；（2）-2≤b≤2；（3）0＜xP≤或-≤xP＜-1
【分析】（1）按照新定义，利用勾股定理，逐个验证即可求解；
（2）如图1，平移直线l至图示与半径为2的圆相切的位置，即l和l′的位置，当直线l位于图示l和l′之间的位置时，直线l：y=x+b上存在⊙O的近距点，进而求解；
（3）作半径为2的同心圆O，与直线y=x+1交于点B、C，直线y=x+1与半径为1的圆交于点E、F，则点P点在BE和CF之间的位置时，符合题意，进而求解．
【详解】解：（1）由题意得：OQ=1，
∵P1(1，1)，P2(-，)，P3(0，-)，
∴OP1==＞1，
则OP1-OQ≤P1Q≤OP1+OQ，即-1≤P1Q≤+1，
故存在P1Q≤1，故点P1符合题意；
OP2=，该点在圆上，故点P2不符合题意；
OP3=＜1，该点在圆内，故点P3不符合题意；
故答案为P1；
（2）如图1，平移直线l至图示与半径为2的圆相切的位置，即l和l′的位置，
当直线l位于图示l和l′之间的位置时，直线l：y=x+b上存在⊙O的近距点，

将x=0代入y=x+b中，解得y=b；将y=0代入y=x+b中，解得x=-b
∴点B的坐标为（0，b），点C的坐标为（-b，0）
∴OB=OC
∴△OBC为等腰直角三角形
设直线l与圆切于点A，则△OAB为等腰直角三角形，则OB=OA=2=b，
同理当直线l处于l′的位置时，b=-2，
故b的取值范围为-2≤b≤2；
（3）如图2，作半径为2的同心圆O，与直线y=x+1交于点B、C，

设直线y=x+1与半径为1的圆交于点E、F，则点P点在BE和CF之间的位置时，符合题意，
设点B的坐标为（x，x+1），
过点B作BH⊥y轴于点H，连接OB、OC，
在Rt△OBH中，OB2=BH2+OH2，即（x+1）2+x2=22，
解得x=（舍去负值），
故=xB，
同理可得，xC=-，
故0＜xP≤或-≤xP＜-1．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了一次函数的性质、新定义、勾股定理的运用以及一元二次方程的解法等知识，以及数形结合、分类讨论的数学思想，正确理解新定义是解答本题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线y= x与双曲线交于A，B两点，其中A的坐标为（1，a），P是以点C（ - 2，2）为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，Q为AP的中点.

(1)求双曲线的解析式：
(2)将直线y = x向上平移m（m > 0）个单位长度，若平移后的直线与⊙C相切，求m的值
(3)求线段OQ长度的最大值.
【答案】(1)
(2)或
(3)

【分析】（1）先求出点A的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）由题意得平移后的直线解析式为，如图所示，设直线与圆C的切点为D，与y轴的交点为H，连接OC，过点C作CE⊥x轴于E，先证明O、C、D三点共线，求出OD=DH，OH的长即为m的值，据此求解即可；
（2）如图所示，连接PB，PC，BC，证明OQ是△PAB的中位线，把求OQ的最大值转化成求PB的最大值，即转化成求圆外一点到圆上一点距离的最大值，由此求解即可．
（1）
解：∵点A（1，a）在直线y=x上，
∴a=1，
∴点A的坐标为（1，1），
∴把点A坐标代入到反比例函数解析式得，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）
解：由题意得平移后的直线解析式为，
如图所示，设直线与圆C的切点为D，与y轴的交点为H，连接OC，过点C作CE⊥x轴于E，
∴点H的坐标为（0，m）
∴OH=m，
∵点C（-2，2），
∴CE=OE=2，
∴∠COE=45°，
∴∠DOH=45°，
同理可证∠BOE=45°，
∴∠BOC=90° ，即OC⊥AB，
∵直线与直线AB平行，
∴OC与直线垂直，
又∵直线与圆C相切于点C，
∴CD与直线垂直，
∴C、O、D三点共线，
∵圆C的半径为1，
∴，
∵∠ODH=90°，∠DOH=45°，
∴∠DHO=45°，
∴，
∴，
∴
同理当切点D在圆O上方时可以求得，
综上所述，若平移后的直线与⊙C相切，或；

（3）
解：如图所示，连接PB，PC，BC，
由对称性可知A、B关于原点对称，即O是AB的中点，
∴点B的坐标为（-1，-1），
∵Q是AP的中点，
∴OQ是△APB的中位线，
∴，
∴要想OQ最大，则PB最大，
∵，
∴当P、B、C三点共线，且P在C点上方时，PB有最大值，即PB=PC+BC=1+BC，
∵点C（-2，2），点B（-1，-1），
∴，
∴，
∴


【点睛】本题主要考查了圆与函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理，三角形中位线定理，熟知相关知识，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
14．平面上两点间距离公式是解析几何中重要的公式之一，如图所示，，，则．请用所学知识解决问题：



已知道半径为3，
（1）如图1，为圆上任意一点，请探究x，y的关系式；
（2）如图2，已知，QA为切线，，且，求b关于a的函数关系式；
（3）如图3，M点坐标，在x轴上是否存在点N（不同于点M），满足对于上任意一点P，都有为一常数，若存在求出N点坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在点对于圆C上任一点P，都有为常数
【分析】（1）根据两点间距离公式可得答案；
（2）连OA、OQ，根据切线的性质得方程，求解即可得到答案；
（3）假设存在这样的点，当P为圆O与x轴左交点时，；当P为圆O与x轴右交点时，，通过解方程得N的坐标，设，则，然后根据比值即可确定问题的答案．
【详解】解：（1）由题可得，
即；
（2）连OA、OQ，




是的切线，
，
，，
又，
，
，
整理得：．
（3）假设存在这样的点，当P为圆O与x轴左交点时，；
当P为圆O与x轴右交点时，，依题意，，
解得，（舍去），或，
下面证明点对于圆O上任一点P，都有为一常数．
设，则，
，
从而为常数．
【点睛】本题为圆的综合题目，能够根据圆的性质、切线的性质及勾股定理得到方程，从而求解可得问题的答案，是中考压轴题目．
15．如图，直线l和直线l外一点P，过点P作于点H任取直线l上点Q，点H关于直线的对称点为点，标点为点P关于直线l的垂对点．在平面直角坐标系中，

（1）已知点，则点中是点P关于x轴的垂对点的是_______；
（2）已知点，且，直线上存在点M关于x轴的垂对点，求m的取值范围；
（3）已知点，若直线上存在两个点N关于x轴的垂对点，直接写出n的取值范围，

【答案】（1）O和A；（2）；（3）且n≠2
【分析】（1）根据垂对点的定义即可得出答案；
（2）先得出点M关于x轴的垂对点在以M为圆心MO即m为半径的圆上，点除外，再根据当直线与⊙M相切时，m的值最小，利用相似三角形的判定和性质得出m的值即可；
（3）先得出点N关于x轴的垂对点在以N为圆心2为半径的圆上，点除外，再分n=0、n＜0 、n＞0三种情况进行分类讨论即可．
【详解】解：（1）∵点，∴根据垂对点的定义可得点P关于x轴的垂对点为；
（2）∵点，且，
∴由垂对点的定义可知，点M关于x轴的垂对点在以M为圆心MO即m为半径的圆上，点除外，则OM=m；
设直线与x轴和y轴的交点分别为G、H，
∴G（3，0），H（0，4），
∴ ，
∵直线上存在点M关于x轴的垂对点，
∴当直线与⊙M相切时，m的值最小，此时切点为N,
连接MN，则∠HOG=∠MNH=90°，
∵∠OHG=∠NHM
∴△OHG∽△NHM
∴
∴
∴
∴m的取值范围是：；

（3）∵，点N关于x轴的垂对点在以N为圆心2为半径的圆上，点除外，
当n=0时，⊙N与y=x有两个交点，则直线上存在两个点N关于x轴的垂对点，
当n＞0时，相当于⊙N向右平移，y=x向上平移，当y=x+n与⊙N相切于⊙N左侧时是临界点，设切点为E，连接NE，∠DEN=90°，
过点E作EF⊥x轴于F，直线y=x+n与x轴y轴的交点分别为W、K，则W （-n，0），K（0，n），
∴OK=OW，∴△OWK为等腰直角三角形，
设过点且平行于x轴的直线与直线y=x+n相交于点D，
则△DEN为等腰直角三角形，，
设EF交DN于点I，在直角三角形ENI中，NE=2，∠END=45°，
∴NI=EI=，
∴E（，），
∵点E在y=x+n上，
∴
∴
当n=2时，直线与圆交于点（0，2）、（2，4），此时只有一个垂对点，故n≠2．

当n＜0时，相当于⊙N向左平移，y=x向下平移，同理得出，

∴且n≠2 ．
【点睛】本题属于新定义题型，涉及到了三角形的判定和性质、切线的性质，解题的关键在于读懂题目信息，并注意数形结合思想的应用．
16．在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的两个顶点，分别在轴、轴的正半轴上，点是原点．现在将正方形绕原点顺时针旋转，当点第一次落在直线上时停止．旋转过程中，边交直线于点，边交轴于点．
       
（1）若点，求此时点的坐标及的值；
（2）若的周长是，在旋转过程中，值是否会发生变化？若不变，请求出这个定值，若有变化，请说明理由；
（3）设，当为何值时的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时内切圆半径．
【答案】(1) b=,C（，-）;(2) p值无变化, 2;(3) 3-2.
【分析】（1）根据，正方形的边长为1，利用勾股定理求出b，过AD⊥x轴，CF⊥x轴，证明△ADO≌△OFC，得到OF=AD=，FC=DO=故可求解；
（2）延长BA交y轴于E点，可以证明：△OAE≌△OCN，△OME≌△OMN证得：OE＝ON，AE＝CN，MN＝ME＝AM＋AE＝AM＋CN．从而求得：P＝MN＋BN＋BM＝AM＋CN＋BN＋BM＝AB＋BC＝2．即可求解．
（3）Rt△BMN中，BM2＋BN2＝MN2，所以（1−n）2＋（1−m＋n）2＝m2⇒m2−mn＋2−m＝0．把这个方程看作关于n的方程，根据一元二次方程有解的条件，即可求得．
【详解】（1）∵，正方形的边长为1
∴
解得b=（负值舍去），
∴
过AD⊥x轴，CF⊥x轴，
∵∠AOC＝90°
∴∠AOD+∠COF＝90°
又∠AOD+∠OAD＝90°
∴∠OAD=∠COF
又∠ADO=∠OFC＝90°，AO=OC
∴△ADO≌△OFC
∴OF=AD=，FC=DO=
∴C（，-）；

（2）p值无变化
证明：延长BA交y轴于E点，
∵，
∴
在△OAE与△OCN中，

∴△OAE≌△OCN（AAS）
∴OE＝ON，AE＝CN
在△OME与△OMN中，

∴△OME≌△OMN（SAS）
∴MN＝ME＝AM＋AE＝AM＋CN
∴P＝MN＋BN＋BM＝AM＋CN＋BN＋BM＝AB＋BC＝2；

（3）设AM＝n，则BM＝1−n，CN＝m−n，BN＝1−m＋n，
∵△OME≌△OMN，
∴S△MON＝S△MOE＝OA×EM＝m
在Rt△BMN中，BM2＋BN2＝MN2
∴（1−n）2＋（1−m＋n）2＝m2
故n2−mn＋1−m＝0，把方程看作关于n的一元二次方程，方程有解,
∴△＝m2−4（1−m）≥0，解得m≥2−2或m≤−2−2，
∴当m＝2−2时，△OMN的面积最小，为−1．
把m＝2−2代入n2−mn＋1−m＝0
解得n＝−1，
则BM＝1−n＝2−，BN＝1−m＋n＝2−，
∴Rt△BMN的内切圆半径为＝3−2．

【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知全等三角形的判定，三角形的面积公式、直角三角形内切圆半径公式以及勾股定理的综合应用，难度较大．
17．在△ABM中，∠ABM＝90°，以AB为一边向△ABM的异侧作正方形ABCD，以A为圆心，AM为半径作⊙A，我们称正方形ABCD为⊙A的“关于△ABM的友好正方形”，如果正方形ABCD恰好落在⊙A的内部（或圆上），我们称正方形ABCD为⊙A的“关于△ABM的绝对友好正方形”，例如，图1中正方形ABCD是⊙A的“关于△ABM的友好正方形”．
（1）图2中，△ABM中，BA＝BM，∠ABM＝90°，在图中画出⊙A的“关于△ABM的友好正方形ABCD”．
（2）若点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）上，它的横坐标是2，过点A作AB⊥y轴于B，若正方形ABCD为⊙A的“关于△ABO的绝对友好正方形”，求k的取值范围．
（3）若点A是直线y＝﹣x+2上的一个动点，过点A作AB⊥y轴于B，若正方形ABCD为⊙A的“关于△ABO的绝对友好正方形”，求出点A的横坐标m的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）k≥4；（3）0＜m≤1或m＜0．
【分析】（1）BA＝BM，∠ABM＝90°，则圆的半径AM＝AB＝AC，故点C在圆上，即可求解；
（2）分a＝2、a＞2、a＜2三种情况，分别探究即可求解；
（3）分m＝1、0＜m＜1、m＝0、m＜0、m＞1五种情况，通过画图探究即可求解．
【详解】（1）∵BA＝BM，∠ABM＝90°，
∴圆的半径AM＝AB＝AC，故点C在圆上，补全图形如图1，

（2）设A（2，a），
当a＝2时，正方形ABCD 的顶点C恰好落在⊙A上（如图2）；
当a＞2时，正方形ABCD 的顶点均落在⊙A内部（如图3）；
当a＜2时，正方形ABCD 的顶点C落在⊙A外部（如图4）；
∵反比例函数过点，
∴当a≥2时，则k≥4，
∴k的取值范围为：k≥4；

（3）当m＝1时，正方形ABCD 的顶点C恰好落在⊙A上（如图5）；
当0＜m＜1时，正方形ABCD 均落在⊙A内部（如图6）；
当m＝0时，△ABO 不存在；
当m＜0时，正方形ABCD 均落在⊙A内部（如图7）；
当m＞1时，正方形ABCD 的顶点C落在⊙A外部（如图8），（当m＝2时△ABO不存在）；


综上分析，点A的横坐标m的取值范围为：0＜m≤1或m＜0．
【点睛】本题考查的是反比例函数、一次函数、圆的基本知识，本题的关键是弄懂题意、正确画图，题目的综合强较强，难度较大．