《高考总复习》数学 第二章 第13讲 抽象函数[配套课件]

这是一份《高考总复习》数学 第二章 第13讲 抽象函数[配套课件]，共32页。PPT课件主要包含了题组一，走出误区，式的是，答案ACD，题组二，走进教材，B偶函数D不确定，题组三，真题展现，则f99＝等内容，欢迎下载使用。

1.(多选题)给出下列三个等式：f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝
f(x)＋f(y)f(x)f(y)，f(x＋y)＝1－f(x)f(y)
.下列函数中，满足其中任何一个等
A.f(x)＝3xC.f(x)＝lg2x
B.f(x)＝sin xD.f(x)＝tan x
解析：选项 A，函数满足 f(x＋y)＝f(x)f(y)；选项 B 不满足其中任何一个等式；选项 C，函数满足 f(xy)＝f(x)＋f(y)；
选项 D，函数满足 f(x＋y)＝
f(x)＋f(y)1－f(x)f(y)
2.(选修 1－2P46 第 3 题改编)下列四类函数中，有性质“对
任意的 x>0，y>0，函数 f(x)满足 f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是(
A.幂函数C.指数函数
B.对数函数D.余弦函数
解析：假设 f(x)＝ax，f(x)f(y)＝axay＝ax＋y＝f(x＋y).答案：C
3. 已知 f(x ＋y) ＋f(x －y) ＝2f(x)·f(y) ，且 f(x)≠0 ，则 f(x) 是
A.奇函数C.非奇非偶函数
解析：令 x＝y＝0，则 2f(0)＝2[f(0)]2，因为 f(x)≠0，所以f(0)＝1.令 x＝0，则 f(y)＋f(－y)＝2f(y)，f(y)＝f(－y)，f(x)为偶函数.故选 B.答案：B
4.(2008 年四川)函数 f(x)满足 f(x)·f(x＋2)＝13，若 f(1)＝2，
5.(2014 年陕西)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的
单调递增函数是(A.f(x)＝x3
解析：由 f(x＋y)＝(x＋y)3，f(x)f(y)＝x3·y3＝(xy)3，得 f(x＋y)≠f(x)f(y)，所以 A 错误；又函数 f(x)＝3x 是定义在 R 上的增函数.故选 B.答案：B
由 f(x＋y)＝3x＋y，f(x)f(y)＝3x·3y＝3x＋y，得 f(x＋y)＝f(x)f(y).
1.已知定义在 R 上的函数 f(x)对任意实数 x，y，恒有 f(x)(1)求证：f(x)为奇函数；(2)求证：f(x)在 R 上是减函数；(3)求 f(x)在[－3，6]上的最大值与最小值.
(1)证明：令 x＝y＝0，可得 f(0)＋f(0)＝f(0＋0)＝f(0)，从而
令 y＝－x，可得 f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝0，即 f(－x)＝－f(x)，故 f(x)为奇函数.
(2)证明：对任意 x1，x2∈R，不妨设 x1>x2，则 x1－x2>0，于是 f(x1－x2)<0，
从而 f(x1)－f(x2)＝f[(x1 －x2)＋x2]－f(x2)＝f(x1 －x2)＋f(x2)－
f(x2)＝f(x1－x2)<0，
所以 f(x)在 R 上是减函数.
(3)解：由(2)知，所求函数在[－3，6]上的最大值为 f(－3)，
因为 f(－3)＝－f(3)＝－[f(2)＋f(1)]＝－[2f(1)＋f(1)]＝
f(6)＝－f(－6)＝－[f(－3)＋f(－3)]＝－4.
所以 f(x)在[－3，6]上的最大值为 2，最小值为－4.
【题后反思】(1)利用赋值法解决抽象函数问题时需把握如下三点：一是注意函数的定义域，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“f ”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“f ”.
(2)解决正比例函数型抽象函数的一般步骤为：f(0)＝0⇒f(x)
是奇函数⇒f(x－y)＝f(x)－f(y)⇒单调性.
(3)判断单调性小技巧：设 x10⇒f(x2－x1)<0⇒f(x2)＝f(x2 －x1 ＋x1)＝f(x2 －x1)＋f(x1)2.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则下
解析：∵f(0)＝f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.f(x)f(－x)＝－[f(x)]2≤0.故选D. .
[例 1]已知函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且满足条件：①f(x·y)＝f(x)＋f(y)；②f(2)＝1；③当 x>1 时，f(x)>0.(1)求 f(1)，f(－1)；(2)求证：函数 f(x)为偶函数；
(5)判断函数 f(x)的单调性；
(6)求不等式 f(x)＋f(x－3)≤2 的解集.
(1)解：在①中令 x＝y＝1，得 f(1)＝ f(1)＋ f(1)⇒f(1)＝0，令 x＝y＝－1，得 f(1)＝ f(－1)＋ f(－1)⇒f(－1)＝0.
(2)证明：再令 y＝－1，得 f(－x)＝ f(x)＋ f(－1)＝ f(x)，
∵偶函数图象关于 y 轴对称，∴f(x)在(－∞，0)上是减函数.方法二，任取 x1，x2，设 x2>x1>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数.∵偶函数图象关于 y 轴对称，∴f(x)在(－∞，0)上是减函数.
(6)解：∵f(x(x－3))＝f(x)＋f(x－3)≤2，由①②得 2＝1＋1＝f(2)＋f(2)＝f(4)＝f(－4)，ⅰ.若 x(x－3)>0，∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
ⅱ.若 x(x－3)<0，∵f(x)在(－∞，0)上为减函数；由 f(x(x－3)) ≤f(－4)
∴原不等式的解集为：{x| －1≤x<0} ∪{x|0【考法全练】对于函数 f(x)定义域中任意 x1，x2(x1≠x2)有如下结论：①f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；
当 f(x)＝lg x 时，上述结论中正确的序号是________.答案：②③
[例 2]定义在 R 上的函数 y＝f(x)，f(0)≠0，当 x＞0 时，f(x)>1，且对任意的 a，b∈R，有 f(a＋b)＝f(a)·f(b).(1)求证：f(0)＝1；(2)求证：对任意的 x∈R，恒有 f(x)＞0；
(3)求证：f(－x)＝
(4)求证：f(x－y)＝
(5)求证：f(x)是 R 上的增函数；(6)若 f(x)·f(2x－x2)＞1，求实数 x 的取值范围.
∴f(0)＝f(x)·f(－x)＝1.∴f(x)＝
(1)证明：令 a＝b＝0，则 f(0)＝[f(0)]2.∵f(0)≠0，∴f(0)＝1.(2)证明：∵当 x＜0 时，－x＞0，
又∵当 x≥0 时，f(x)≥1＞0，∴x∈R 时，恒有 f(x)＞0.(3)证明：f(0)＝f(x－x)＝f(x)·f(－x)＝1，
>1.∴f(x1)>f(x2).
(4)证明：f(x－y)＝f(x)·f(－y)＝
(5)证明：方法一，设 x1>x2，∴x1－x2>0.则 f(x1－x2)>1.
即 f(x1－x2)＝
∴f(x)是 R 上的增函数.方法二，设 x1＜x2，则 x2－x1＞0.∴f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)·f(x1).∵x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＞1.又 f(x1)＞0，∴f(x2－x1)·f(x1)＞f(x1).∴f(x2)＞f(x1).∴f(x)是 R 上的增函数.
f(0)＝1⇒f(－x)＝
(6)解：由 f(x)·f(2x－x2)＞1，f(0)＝1，得 f(3x－x2)＞f(0).∵f(x)是 R 上的增函数，∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.∴实数 x 的取值范围是{x|0(2)判断单调性小技巧：设 x1>x2，x1－x2>0，则 f(x1－x2)>1，f(x1)＝f(x2＋x1－x2)＝f(x2)f(x1－x2)>f(x2)，得到函数f(x)是增函数.
已知定义在 R 上的函数 f(x)，对任意实数 x，y 满足：f(x＋y)＝f(x)f(y)，若 x∈(0，＋∞)时，0满足 f(x＋y)＝f(x)f(y)，且 x∈(0，＋∞)时，0由函数 f(x)为 R 上的减函数，故 x2－4>0，解得 x<－2 或 x>2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
⊙利用转化与化归思想解答抽象函数[例 3](2020 年天津南开区校级模拟)已知定义在 R 上的函数f(x)，若函数 y＝f(x＋2)为偶函数，且 f(x)对任意 x1，x2 ∈[2，
解析：根据题意，函数 y＝f(x＋2)为偶函数，则函数 f(x)的图象关于 x＝2 对称，
f(x)对任意x1，x2∈[2，＋∞)(x1≠x2)，都有
f(x2)－f(x1)x2－x1
则函数 f(x)在[2，＋∞)上为减函数，则f(a)≤f(3a＋1)⇔|a－2|≥|3a＋1－2|，即|a－2|≥|3a－1|，
【高分训练】(多选题)已知函数 y＝f(x)是 R 上的偶函数，对于任意 x∈R，都有 f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，当 x1，x2∈[0，3]，且 x1≠x2 时，
f(x1)－f(x2)x1－x2
>0，给出下列命题：其中所有正确命题为(
A.f(3)＝0B.直线 x＝－6 是函数 y＝f(x)的图象的一条对称轴C.函数 y＝f(x)在[－9，－6]上为增函数D.函数 y＝f(x)在[－9，9]上有四个零点
解析：A 选项：令 x＝3，则由 f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，函数 y＝f(x)是定义在 R 上的偶函数，可得：f(3)＝f(－3)＋f(3)＝2f(3)，故 f(3)＝0，故 A 正确；B 选项：由 f(3)＝0 可得：f(x＋6)＝f(x)，故函数 f(x)是周期等于 6 的周期函数，∵f(x)是偶函数，y 轴是对称轴，故直线 x＝－6 是函数 y＝f(x)的图象的一条对称轴，故 B 正确；
f(x1)－f(x2)C 选项：∵当 x1，x2∈[0，3]，且 x1≠x2 时，x1－x2故 f(x)在[0，3]上为增函数，
∵f(x)是偶函数，故 f(x)在[－3，0]上为减函数，
∵函数 f(x)是周期等于 6 的周期函数，故 f(x)在[－9，－6]
上为减函数，故 C 错误；
D 选项：∵函数 f(x)是周期等于 6 的周期函数，∴f(－9)＝f(－3)＝f(3)＝f(9)＝0，
故函数 y＝f(x)在[－9，9]上有四个零点，故 D 正确.故选 ABD.答案：ABD