2021-2022学年湖南省岳阳市岳阳楼区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

绝密★启用前

2021-2022学年湖南省岳阳市岳阳楼区八年级（上）期末数学试卷

副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列分式中，是最简分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 尺规作图：作角等于已知角示意图如图所示，则说明的依据是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 在，，，，，每两个之间的依次增加个这六个数中，无理数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

7. 在数轴上表示某不等式组的解集，如图所示，则这个不等式组可能是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在中，为的平分线，，垂足为，且，，，则与的关系为(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

9. 的算术平方根是________．
10. 生物学家发现一种病毒的长度约为毫米，用科学记数法表示为______毫米．
11. 不等式的最小整数解是______．
12. 如图，在中，，，线段的垂直平分线与交于点，与交于点，连接，则______度．

13. 当，时，则的值为______．
14. 关于的方程有增根，则的值为______．
15. 用海伦公式求面积的计算方法是：，其中表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长的一半，即我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦秦九韶公式”请你利用公式解答下列问题．在中，已知三边之长，，，则的面积为______．
16. 如图，在中，，，射线是的平分线，交于点，过点作的垂线与射线交于点，连结，是的中点，连结并延长与的延长线交于点则下列结论正确的是______．
    ；垂直平分；；；．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：．
18. 本小题分
    解不等式组．
19. 本小题分
    先化简，再从的范围内选取一个合适的整数代入求值．
20. 本小题分
    如图，中，，、分别是、上的点，且，连接、交于点，求证：是等腰三角形．

21. 本小题分
    已知：如图，点，在线段上，，，．
    求证：．

22. 本小题分
    今年月日是第个世界读书日．八班举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园”主题活动．准备订购一批新的图书鲁迅文集套和四大名著套．
    采购员从市场上了解到四大名著套的单价比鲁迅文集套的单价的贵元．花费元购买鲁迅文集套的数量与花费元购买四大名著套的数量相同．求鲁迅文集套和四大名著套的单价各是多少元？
    若购买鲁迅文集和四大名著共套两类图书都要买，总费用不超过元，问该班有哪几种购买方案？
23. 本小题分
    王老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是王老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题．
    小青编的题，观察下列等式：
    ；
    ；
    直接写出以下算式的结果：
    ______；为正整数______；
    小明编的题，由二次根式的乘法可知：
    ，，；
    再根据平方根的定义可得：
    ，，；
    直接写出以下算式的结果：
    ______，______，______；
    王老师编的题，根据你的发现，完成以下计算：
    ．
24. 本小题分
    直线经过点，在直线上方，．
    如图，，过点，作直线的垂线，垂足分别为、求证：；
    如图，，，三点在直线上，若为任意锐角或钝角，猜想线段、、有何数量关系？并给出证明；
    如图，过点作直线上的垂线，垂足为，点是延长线上的一个动点，连结，作，使得，连结，，直线与交于点求证：是的中点．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
，
故选：．
根据二次根式进行计算即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，正确；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用同底数幂的乘除运算法则化简进而得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算，正确应用相关运算法则是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：该分式的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，不符合题意；
B.该分式符合最简分式的定义，符合题意；
C.该分式的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，不符合题意；
D.该分式的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，不符合题意；
故选：．
利用最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式，判断即可．
此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，符合题意；
C、原式不能合并，不符合题意；
D、原式，不符合题意．
故选：．
A、原式利用乘方的意义计算得到结果，即可作出判断；
B、原式利用二次根式的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；
C、原式不是同类二次根式，判断即可；
D、原式利用二次根式的除法法则计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：在和中，

，
，
故选：．
根据证明三角形全等，可得结论．
本题考查作图基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：是有限小数，属于有理数；是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；
无理数有：，，每两个之间的依次增加个，共有个．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像每两个之间的依次增加个，等有这样规律的数．
 

7.【答案】 

【解析】解：、，
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，不符合题意；
B、，
由得：，
由得：，
则不等式组无解，不符合题意；
C、，
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，不符合题意；
D、，
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，符合题意．
故选：．
分别求出各不等式组的解集，判断即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】分析
延长，交于，由易证得出，，，求出，，则，得出是等腰三角形，那，由三角形内角和定理及平角可得，即可得出结果．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形、角平分线的定义等知识，熟练掌握全等三角形的判定与等腰三角形的定义是解题的关键．
详解
解：









如图所示，延长，交于，
平分，，
，，
在和中，

，
，，，
，，
，
，
是等腰三角形，
，
．
又．
．
，
．
故选：．
 

9.【答案】 

【解析】解：的算术平方根是：．
故答案为：．
直接利用算术平方根的定义得出答案．
此题主要考查了算术平方根的定义，正确把握算术平方根的定义是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

11.【答案】 

【解析】解：解不等式，
移项得：，
则，
，
则最小的整数是，
故答案为：．
首先解不等式，求得解集，即可确定不等式的最小整数解．
本题主要考查了不等式的解法，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
 

12.【答案】 

【解析】解：垂直平分，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由垂直平分线的性质可得，结合三角形外角的性质可求得，再利用直角三角形的性质可求解．
本题主要考查线段的垂直平分线，直角三角形的性质．
 

13.【答案】 

【解析】解：当，时，
，
故答案为：．
将，的值代入，然后先化简二次根式，再合并同类二次根式进行计算即可．
本题考查二次根式的化简求值，理解二次根式的性质，掌握二次根式加法运算法则是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：方程两边都乘，得
方程有增根，
增根使最简公分母，即增根是，
把代入整式方程，得．
故答案为：．
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根．有增根，那么最简公分母，所以增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
本题考查分式方程的增根，正确理解增根的含义和出现的条件是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，分别表示三边之长，表示周长的一半，
即，
，
的面积为：


．
故答案为：．
直接利用已知计算公式得出的值，进而利用面积公式计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的应用，正确运用运算公式是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，
，
平分，
，
，
，
，，
，，
，
，
是的中点，
垂直平分，，故正确；
，
，
，
在和中，

，故正确；
，
，故正确；
，
，
，
，故错误；
若，则，
，
，
又，
，与题意相矛盾，
故BE与不垂直，故错误，
故答案为：．
由余角的性质可证，可得，由等腰三角形的性质性质可证垂直平分故正确；由“”可证，故正确；由全等三角形的性质可得，可证，故正确；分别求出，，可得，故错误；利用反证法可证与不垂直，故错误，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

17.【答案】解：

． 

【解析】先化简各数，然后再进行计算即可．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地化简各数是解题的关键．
 

18.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：原式

，
因为且是整数，或，
所以，
当时，原式． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

20.【答案】证明：在与中，

，
，
，
，
即，
在与中，
，
，
，
是等腰三角形． 

【解析】由“”可证，可得，由“”可证，可得，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

21.【答案】证明：，
，
，
，
即，
在与中，
，
≌，
，
． 

【解析】由证明≌得出，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：设鲁迅文集套的单价为元，则四大名著套的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是方程的解，且符合题意，
，
答：鲁迅文集套的单价是元，四大名著套的单价是元；
设购买鲁迅文集套，
由题意得：，
解得：，
且为正整数，
或，
则该班有两种购买方案，鲁迅文集套，四大名著套；鲁迅文集套，四大名著套． 

【解析】设鲁迅文集套的单价为元，则四大名著套的单价是元，由题意：花费元购买鲁迅文集套的数量与花费元购买四大名著套的数量相同，列出分式方程，解方程即可；
设购买鲁迅文集套，由题意：购买鲁迅文集和四大名著共套两类图书都要买，总费用不超过元，列出一元一次不等式，求出正整数解，即可得出答案．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】 为正整数
   
原式



 

【解析】解：


；




；
故答案为：，为正整数；



；



；



；
故答案为：，，；

根据分母有理化化简即可得出答案；
将被开方数化成完全平方公式，根据化简即可；
将第一个多项式的每项分母有理化，裂项相消，将第二个式子根据化简，根据平方差公式即可得出答案．
本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，探索二次根式计算中的规律，将第一个多项式的每项分母有理化，裂项相消是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，，
，
，
，
，
，
在与中，
，
；
解：猜想：，
，
，，
，
在与中，
，
，
，，
；
证明：分别过点、作于，于，

由可知≌，≌，
，，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
为的中点． 

【解析】由直角三角形的性质证出，可证明；
证明，由全等三角形的性质得出，，则可得出结论；
分别过点、作，，由可知，，得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．