2022年冬季甘肃省普通高中学业水平合格性考试数学考前模拟卷03（新教材）（含解析）

2022年冬季甘肃省普通高中学业水平合格性考试

数学考前模拟卷03

考试试卷为90分钟，卷面满分100分

一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．“”是“函数的图象与x轴只有一个公共点”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

3．复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

4．函数的零点是（    ）

A． B． C． D．9

5．圆心在原点，半径为10的圆上的两个动点M，N同时从点出发，沿圆周运动，点M按逆时针方向旋转，速度为弧度/秒，点N按顺时针方向旋转，速度为弧度/秒，则它们第三次相遇时点M转过的弧度数为（    ）

A． B． C． D．

6．已知为定义在上的函数，，且为奇函数，则（    ）

A． B． C．0 D．2

7．已知函数的最小正周期为，则（    ）

A． B．

C． D．

8．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则C等于（    ）

A． B． C． D．

9．已知向量，，则（    ）

A． B．5 C． D．

10．已知，，则等于（    ）

A． B．7 C． D．－7

11．在一个实验中，某种豚鼠被感染病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：

192  907  966  925  271  932  812  458  569  683

257  393  127  556  488  730  113  537  989  431

据此估计三只豚鼠中恰有两只被感染的概率为（    ）

A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5

12．下列命题正确的是（    ）

A．若一个平面中有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

B．若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行

C．两相交直线确定一个平面

D．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分

13．已知，则______．

14．现有1件正品和2件次品，从中不放回的依次抽取2件产品，则事件“第二次抽到的是次品”的概率为____________.

15．函数的图象为C，以下结论中正确的是____写出所有正确结论的编号）.

①图象C关于直线对称；

②图象C关于点对称；

③函数在区间内是增函数；

④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.

16．当时，的最小值为______．

17．设a＞0，b＞0，已知，则ab＝_______.

三、解答题：本大题共3小题，共32分，解答时，应写成必要的文字说明、证明过程或验算步骤

18．（本题满分10分）

杭州市某高中从学生中招收志愿者参加迎亚运专题活动，现已有高一540人、高二360人，高三180人报名参加志愿活动.根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取120名.对抽出的120名同学某天参加运动的时间进行了统计，运动时间均在至分钟之间，其频率分布直方图如下：

(1)需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人?

(2)（i）请补全频率分布直方图;

（ii）求这120名学生运动时间的第80百分位数是多少?

19．（本题满分10分）

已知函数是定义在R上的偶函数，已知时，

(1)画出偶函数的图像；

(2)根据图像，写出的单调区间；同时写出函数的值域．

20．（本题满分12分）

如图，在直三棱柱中，E、F分别是、的中点，所有棱长均为2，

(1)求证：平面ABC；

(2)求三棱锥的体积.

参考答案：

1．B

【分析】求得集合，再根据集合的交运算求解即可.

【详解】因为，，故可得.

故选：B.

2．B

【分析】考虑和两种情况，计算得到，根据范围大小得到答案.

【详解】当时，函数的图象与x轴只有一个公共点，满足；

当时，函数的图象与x轴只有一个公共点，则，解得，

综上所述：或.

故选：B

3．A

【分析】利用复数的除法法则计算得到，从而得到虚部.

【详解】，所以虚部是．

故选：A

4．B

【分析】分和分别解方程，由零点定义可得出答案.

【详解】当时，，解得

当时，，解得

所以函数的零点为：

故选：B

5．C

【分析】根据两点相遇一次转过弧度之和为即可求解.

【详解】由题意，动点第三次相遇，则两个动点转过的弧度之和为：，

设从点出发秒后点第三次相遇，则，解得秒，

此时点转过的弧度数为弧度

故选：C

6．A

【分析】根据奇函数的性质，进行赋值求解即可.

【详解】因为是奇函数，

所以有

即.

故选：A

7．D

【分析】由周期性得，再由对称性与单调性判断，

【详解】因为的最小正周期为，所以，

令得，

即在上单调递增，同理得在上单调递减，

而，，，

由三角函数性质得

故选：D

8．B

【分析】由正弦定理边角关系有，结合已知、余弦定理求，即可确定角的大小.

【详解】由正弦定理边角关系：化为，

由余弦定理得：，

而，故.

故选：B

9．C

【分析】先计算的坐标，然后计算其模长即可

【详解】因为，

所以，得.

故选：C

10．D

【分析】先根据同角三角函数的关系求出角的余弦值，进而求出该角的正切值，然后再利用两角和的正切公式求值即可.

【详解】因为，且，所以，

所以，

故，

故选：D.

11．B

【分析】从20组数据中找到表示两支豚鼠被感染的组数，利用古典概型求概率公式进行求解.

【详解】20组随机数中，表示有两支被感染的有192，271，932，812，393，127，共有6组，

故估计三只豚鼠中恰有两只被感染的概率为.

故选：B

12．C

【分析】ABD选项均可举出反例，C选项，根据不在同一条直线上的三点确定一个平面进行证明即可.

【详解】A选项，若一个平面中的无数条直线均平行，则不能得到这两个平面平行，A错误；

B选项，如图，，，但与不平行，B错误；

C选项，两相交直线的交点设为A点，再分别在两直线取两个点（除A点），则三个点不共线，由不在同一条直线的三点确定一个平面，C正确；

D选项，如图所示，该几何体由两个三棱锥拼接而成，不是棱锥，D错误.

故选：C

13．

【分析】结合已知条件，利用诱导公式和二倍角公式即可求解.

【详解】由诱导公式可知，，

因为，

所以.

故答案为：.

14．

【分析】根据给定条件，将3件产品编号，利用列举法结合古典概率计算作答.

【详解】记1件正品为A，2件次品为b，c，

从3件产品中依次抽取2件产品的结果有，共6个，它们等可能，

“第二次抽到的是次品”的事件含有的结果有，共4个，

所以事件“第二次抽到的是次品”的概率为.

故答案为：

15．①②③

【分析】对于①，通过计算可得答案；

对于②，通过计算可得答案；

对于③，通过的范围，求出的范围，通过单调性可判断；

对于④，直接通过平移的规则可得答案；

【详解】对于①，，故图象C关于直线对称，①正确；

对于②，，故图象C关于点对称，②正确；

对于③，，则，在上单调递增，故函数在区间内是增函数，③正确；

对于④，由的图象向右平移个单位长度得，不为，④错误；

故答案为：①②③.

16．5

【分析】将所求代数式变形为，利用基本不等式即可求解.

【详解】解：因为，所以，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为.

故答案为：.

17．8

【分析】根据对数的运算性质，化简即可得到结果.

【详解】因为，则.

则，

所以，.

故答案为：8.

18．(1)高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人

(2)（i）直方图见解析；（ii）

【分析】（1）由分层抽样的比例公式求解即可；

（2）计算频率并补全频率分布直方图；由百分位数的定义结合频率分布直方图求解即可

【详解】（1）报名的学生共有1080人，抽取的比例为

所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人

（2）（i）第三组的频率为

故第三组的小矩形的高度为，

补全频率分布直方图得

（ii）各组的频率分别为，

前四组的频率之和为，

前五组的频率之和为，

所以第80百分位数为

所以第80百分位数是

19．(1)作图见解析

(2)递减区间是，，的递增区间是，，值域为

【分析】（1）根据题意作出轴右侧的函数的图像，再结合偶函数的性质作出轴左侧的函数的图像即可；

（2）结合函数图像即可求出结果.

【详解】（1）因为时，，

根据题意，画出图象，如图所示：

（2）由图得函数的递减区间是，，

的递增区间是，，值域为

20．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由线面平行的判定定理证明，

（2）由棱锥的体积公式求解，

【详解】（1）由E、F分别是、的中点，故，

而平面，平面，平面，

（2）由题意得