2022年冬季甘肃省普通高中学业水平合格性考试数学考前模拟卷02（新教材）（含解析）

2022年冬季甘肃省普通高中学业水平合格性考试

数学考前模拟卷02

考试试卷为90分钟，卷面满分100分

一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，那么（    ）

A． B． C． D．

2．若（    ）

A． B． C． D．

3．若，且，则下列不等式中一定成立的是（　　）

A． B． C． D．

4．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

5．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

6．下列区间中，是函数单调递减的区间是（    ）

A． B． C． D．

7．为评估某种新型水稻的种植效果，选择了n块面积相等的试验稻田.这n块稻田的亩产量（单位：kg）分别为a1，a2，…an，下列统计量中，能用来评估这种新型水稻亩产量稳定程度的是（    ）

A．样本a1，a2，…an的标准差 B．样本a1，a2，…an的中位数

C．样本a1，a2，…an的众数 D．样本a1，a2，…an的平均数

8．已知空间向量满足 ， ， ， ，则=（    ）

A． B． C． D．

9．已知，都为锐角，，，则等于（    ）

A． B． C． D．

10．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积等于（    ）

A． B． C． D．

11．从甲袋中摸出1个白球的概率为，从乙袋内摸出1个白球的概率是，从两个袋内各摸1个球，那么概率为的事件是（    ）

A．2个球都是白球 B．2个球都不是白球

C．2个球不都是白球 D．2个球恰好有1个白球

12．若“”是“”的一个必要不充分条件，则实数m的范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分

13．2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，要求各地区各部门结合实际认真贯彻落实.为了解某地区对“双减”政策的落实情况，现采用分层随机抽样的方法从该地区24所小学，18所初中，12所校外培训机构中抽取9所进行调查，则应抽取初中__________所.

14．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则__________.

15．函数的最小正周期是_____________．

16．平面四边形ABCD中，，AB=2，则AD长度的取值范围________.

17．若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是_______________．

三、解答题：本大题共3小题，共32分，解答时，应写成必要的文字说明、证明过程或验算步骤

18．（本题满分10分）

在中，角，，所对的边分别为，，，且，.

(1)若，且的值；

(2)若，求的值.

19．（本题满分10分）

如图，四面体中，，，，为的中点．

(1)证明：平面平面；

(2)设，，点在上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．

20．（本题满分12分）

为落实中央“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2020年在其扶贫基地投入300万元研发资金用于蔬菜的开发与种植，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金数比上一年增长.

（1）以2021年为第1年，分别计算该企业第1年、第2年投入的研发资金数，并写出第年该企业投入的研发资金数（万元）与的函数关系式以及函数的定义域；

（2）该企业从哪年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元？

参考答案：

1．C

【分析】利用整数集的意义化简集合，从而利用集合的交集运算即可求得所求.

【详解】因为，，

所以.

故选：C.

2．C

【分析】按照复数的乘法运算即可.

【详解】解：.

故选：C.

3．A

【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可.

【详解】解：因为，所以，所以，故A选项一定成立；

取，，可判断B选项不一定成立；

取，，可判断C选项不一定成立；

取，则，可判断D选项不一定成立；

故选：A.

4．D

【分析】探讨给定函数的奇偶性，结合的值正负即可判断作答.

【详解】函数定义域为R，，

因此函数是R上的奇函数，其图象关于原点对称，选项A，B不满足；

又，选项C不满足，D符合题意.

故选：D

5．D

【分析】分别判断出的范围即可.

【详解】因为，，，所以．

故选：D

6．B

【分析】由，求出函数的单调减区间，从而可求得答案.

【详解】由，得，

则的减区间为，

因为，

所以是函数的一个单调减区间，

故选：B.

7．A

【分析】根据标准差的含义判断即可.

【详解】标准差刻画了数据的离散程度，故A正确.

故选：A.

8．D

【分析】根据得到，两边平方，利用向量数量积公式求出.

【详解】因为，所以，则，

即，从而，

解得：.

故选：D

9．A

【分析】由同角三角函数的基本关系可得和，代入，计算可得．

【详解】解：，都是锐角，，，

，，

故选：A．

10．C

【分析】由已知可得，是直角三角形，，在中解出即可得到体积.

【详解】

由已知，是直角三角形，且即为与平面所成的角，

即，，

则，则.

长方体的体积.

故选：C.

11．C

【分析】根据相互独立事件概率乘法公式逐项计算判断即可．

【详解】解：设2个球都是白球为事件A，2个球都不是白球为事件B，

2个球不都是白球为事件C，2个球恰好有1个白球为事件D，

∵ 从甲袋中摸球与乙袋中摸球是相互独立事件，

∴，，

∵ 事件C与事件A是对立事件，

∴，

∵ 事件D可划分为从甲袋中摸出白球或乙袋中摸出白球这两个互斥事件，

∴．

故选：C．

12．B

【分析】分别不等式，根据“”是“”的一个必要不充分条件，列不等式即可得出．

【详解】解：不等式整理得，解得

则“”是“”一个必要不充分条件，所以.

故选：B.

13．

【分析】根据分层抽样的知识求得正确答案.

【详解】抽取初中所.

故答案为：

14．

【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案.

【详解】函数是定义在上的奇函数，

.

故答案为：

15．3

【分析】利用周期公式求解即可.

【详解】函数的最小正周期.

故答案为：3.

16．

【分析】平行移动CD，当C与D重合于E点时，最长；当A与D重合时(即图中AF位置），最短.

【详解】

如图所示，延长，交于E，

平行移动CD，当C与D重合于E点时，最长，

在中，，，AB=2，由正弦定理可得，

即，

解得；

平行移动CD，到图中AF位置，即当A与D重合时，最短，为0.

综上可得，AD长度的取值范围为

故答案为：.

17．

【分析】根据题意可得三棱锥的三条侧棱两两垂直，因此以三条侧棱为长、宽、高构造正方体如图所示，该正方体的外接球就是三棱锥的外接球，利用长方体的对角线长公式算出球的直径，再根据球的表面积公式加以计算，可得答案．

【详解】解：设三棱锥中，面、面、面两两互相垂直，，

则、、两两互相垂直，以、、为长、宽、高，构造正方体如图所示，

可得该正方体的外接球就是三棱锥的外接球，

设球半径为，可得正方体的对角线长等于球直径，

即，解得，

外接球的表面积是．

故答案为：．

18．(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理求解，

（2）由余弦定理求解，

【详解】（1）由正弦定理，

得.

（2）因为，，

由余弦定理得，

得，即

解得或（舍去）

19．(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得平面，然后根据面面垂直的判定定理可得平面平面；

（2）首先判断出三角形的面积最小时点的位置，然后求得到平面的距离，从而求得三棱锥的体积或利用等积法及锥体的体积公式即得.

【详解】（1），，，

，

，

又为的中点．

，

，为的中点．

，又，平面，平面，

平面，又平面，

平面平面；

（2）方法一：

依题意，，三角形是等边三角形，

所以，

由于，

所以三角形是等腰直角三角形，所以，

所以，即，

由于，平面，

所以平面，

由于，所以，

由于，所以，

所以，所以，

由于，所以当最短时，三角形的面积最小，

过作，垂足为，

在中，，解得，

所以，

所以，

过作，垂足为，则，又平面，

所以平面，且，

所以，

所以；

方法二：

，，

是边长为2的等边三角形，

，

连接，由于，所以，

由于，所以，

所以，所以，

由于，所以当最短时，三角形的面积最小，

即时，的面积最小，

，为的中点，

∴，，

，

在中，，解得，

∴，

，

.

20．（1），；（2）从年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元.

【分析】（1）由题设，应用指数函数模型，写出前2年的研发资金，进而确定函数解析式及定义域；

（2）由（1）得，利用指数的性质、对数运算求解集，进而判断从哪年开始研发资金数将超过600万元即可.

【详解】（1）由题设，第1年研发资金为：万元；第2年研发资金为：万元；

∴第年研发资金：且定义域为；

（2）由（1）知：，即，

∴，故从第8年即年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元.