2021-2022学年甘肃省天水市第一中学高二下学期学业水平模拟考试（二）数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年甘肃省天水市第一中学高二下学期学业水平模拟考试（二）数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知集合，则A∩B=（ ）
A．{0，1，2，3}B．{0，1，2}C．{1，2，3}D．{2，3}
【答案】D
【分析】应用集合的交运算求即可.
【详解】由题设，.
故选：D
2．下列既是奇函数，在上又是单调递增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先分析函数的奇偶性，满足奇函数再分析函数在上是否为增函数，由此判断出选项.
【详解】A．是奇函数，且在上有增有减，故不满足.
B．定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，故不满足.
C．是奇函数，且在上只有单调增区间，但不是一直单调递增，故不满足.
D．是奇函数，且在上单调递增，故满足.
故选：D.
3．若，满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．B．1C．3D．
【答案】D
【分析】根据题意，作出满足条件的可行域，根据目标函数几何意义求解.
【详解】作出满足条件不等式组的线性可行域，如下图所示：
因为，所以，当目标函数经过点时，取得最大值，
所以联立，解得，所以，所以.
故选：D
4．已知扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】根据扇形面积公式，求出扇形的半径，再由弧长公式，即可求出结论.
【详解】因为扇形的弧长为4，面积为2，
设扇形的半径为，则，
解得，则扇形的圆心角的弧度数为.
故选:C.
【点睛】本题考查扇形面积和弧长公式应用，属于基础题.
5．已知向量，若，则（ ）
A．B．20C．D．
【答案】A
【分析】先根据向量的平行求得的值，再求模即可.
【详解】，
.
故选：A．
6．某程序框图如图所示，运行后输出S的值为
A．10B．11C．14D．16
【答案】D
【解析】分析程序框图，依次写出每次循环得到的、的值，当时，满足条件，输出的值即可.
【详解】执行程序框图，
由，
第一次循环：，不满足条件；
第二次循环：，不满足条件；
第三次循环：，不满足条件；
第四次循环：，不满足条件；
第五次循环：，满足条件；
故选：D
【点睛】本题考查了程序框图中的循环结构、写出每次循环运行的结果是解决此类问题的基本方法，属于基础题.
7．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（ ）
A．45°B．60°C．90°D．120°
【答案】B
【分析】利用异面直线夹角的定义，将平移至为中点），通过为正三角形求解．
【详解】取中点连接，，则，与所成的角等于与所成的角．容易知道为正三角形，
与所成的角等于.
故选：B
8．已知圆内一点P(2，1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设圆心，由圆的对称性可知过点与垂直的直线被圆所截的弦长最短
【详解】由题意可知，当过圆心且过点时所得弦为直径，
当与这条直径垂直时所得弦长最短，
圆心为，，
则由两点间斜率公式可得，
所以与垂直的直线斜率为，
则由点斜式可得过点的直线方程为，
化简可得，
故选：B
9．将函数向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据左加右减原则，即可得到答案；
【详解】函数向右平移个单位长度，
，
故选：A
10．如图，阴影部分是等边三角形内切圆所围成的区域，若在此三角形内部随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意求出三角形的面积以及三角形内切圆的面积，然后求出内切圆的面积与三角形的面积比即可.
【详解】设三角形的边长为，内切圆的半径为，则三角形的面积，根据等面积法可列式得，得，所以内切圆的面积，所以该点取自阴影部分的概率是.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了的几何概型的计算，一般的求解步骤为：
（1）首先判断该事件是一维问题还是二维、三维问题；
（2）接着，如果是一维问题，利用事件A构成的区域长度（角度、弧长）与试验的全部结果相比，可得概率；如果是二维、三维问题，先设出二维或者三维变量，一般二维与面积相关，三维与体积相关，再列出事件A满足的面积或者体积与试验的全部结果，计算出两个区域的面积或体积相比即可.
二、填空题
11．已知函数，则函数的零点个数为______________.
【答案】3
【解析】根据函数零点定义，在分段函数的每一段求得零点，加起来就是零点的个数.
【详解】解：当时，，
令得或（舍掉），
当时，，
令得或，
所以函数的零点个数为3个.
故答案为：3.
【点睛】函数零点个数的判定有下列几种方法：
（1）直接求零点：令，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点；
（2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在上是连续的曲线，且，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点；
（3）画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
12．若，则________________.
【答案】
【分析】由诱导公式求得，再由二倍角公式计算．
【详解】由，得，所以．
故答案为：．
13．函数y=2x+lg2x在区间[1，4]上的最大值是______．
【答案】18
【详解】解：∵y=2x和y=lg2x在区间[1，4]上都是增函数，
∴y=2x+lg2x在区间[1，4]上为增函数，
即当x=4时，函数y=2x+lg2x在区间[1，4]上取得最大值y=y=24+lg24=16+2=18，
故答案为18
【点评】本题主要考查函数最值的计算，利用指数函数和对数的函数的单调性是解决本题的关键．
14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 _______（结果用含π的式子表示）.
【答案】
【分析】根据题意，还原几何体，将几何体放置与长方体求解即可.
【详解】根据三视图得该几何体的直观图为如图所示的三棱锥，
其中，，
所以该几何体的外接球是以为长宽高的长方体的外接球，
所以该几何体的外接球的半径为
所以该几何体的外接球的表面积为.
故答案为：
15．已知，，，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】由，得，则，展开后利用基本不等式可求得结果
【详解】解：由，得，
所以
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
故答案为：
三、解答题
16．如图，在△ABC中，∠A=30°，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3
（1）求△CBD的面积；
（2）求边AC的长.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由余弦定理求得，即可得出，再由面积公式即可求解；
（2）由正弦定理即可求解.
【详解】（1）在中，由余弦定理可得，
则，
；
（2）在中，由正弦定理得，
即，解得.
17．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，E，F分别是PB，AC的中点．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用中位线定理即可证明，从而得出平面；
（2）计算到平面的距离和三角形的面积，代入棱锥的体积公式计算．
【详解】(1)证明： 四边形是正方形，是的中点，
，，三点共线，且是的中点，
又是的中点，
，
又平面，平面，
平面．
(2)解：平面，是的中点，
到平面的距离为，
四边形是正方形，，，
三棱锥的体积为：．
18．等比数列中，已知．
（1）求数列的通项．
（2）若等差数列，求数列前项和的最大值
【答案】（1）;（2）.
【解析】（1）根据等比数列的通项公式可得，，即可得答案；
（2）等差数列前项和，再利用二次函数的性质，即可得答案；
【详解】（1）由，得，解得，
从而；
（2）由已知得等差数列，，，
设公差为，则有，
即 ，解得.
故数列前项和，
由于二次函数的对称轴为，且对应的图象开口向下，
当或时，有最大值为.
【点睛】本题考查等比数列通项公式及等差数列前项和的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用二次函数的性质进行求解.
19．由于往届高三年级数学学科的学习方式大都是“别题-讲题-再刷题”的模式效果不理想，某中学的数学课堂教改采用了“记题型-刷题-检测效果”的模式，并记录了学生的记题型时间（单位：h）与检测效果y的数据如表所示：
（1）据统计表明，y与t之间具有线性相关关系，请用相关系数r加以说明（若，则认为y与t有很强的线性相关关系，否则认为没有很强的线性相关关系）；
（2）建立y关于t的回归方程，并预测该学生记题型的检测效果；
参考公式：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计分别为，；相关系数；参考数据：，，，.
【答案】（1）与之间具有较强的线性相关关系；（2），学生记题型时间为的检测效果为.
【分析】（1）先计算出，然后根据相关系数的公式求解出的值，根据的值进行判断即可；
（2）根据条件先计算出回归直线方程中的，利用求解出的值，由此可求回归直线方程，将代入回归直线方程可求检测效果.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
所以与之间具有较强的线性相关关系；
（2）由题意可设，
所以，
又因为，
所以回归直线方程为，
当时，，
即学生记题型时间为的检测效果为.
20．已知圆C经过三点，，.
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点作直线交圆C于P、Q两点，点为圆C内一点，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）假设圆的一般方程，代值计算，可得结果.
（2）假设直线方程，利用弦长公式，计算，然后计算到直线的距离，根据面积公式，可得，最后根据直线斜率的范围，结合换元法，可得结果.
【详解】（1）设圆
由圆C经过三点，，
所以
所以圆的方程为：
（2）设直线方程
圆心到直线的距离为
且，解得
所以
点到直线的距离为
所以
令
所以
则，
当时，有
【点睛】本题考查圆的方程以及直线与圆的几何关系，难点在于的表示以及计算，重点在于对点到直线的距离，圆中弦长公式的记忆，属中档题.
记题型时间
1
2
3
4
5
6
7
检测效果y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9