扬州市梅岭中学教育集团2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份扬州市梅岭中学教育集团2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
扬州市梅岭中学教育集团2021-2022学年八年级上学期期末数学试题
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下面四个图形分别是不可回收垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾的标志，这四个标志中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在中，若，则（ ）
A. B. C. D. 不能确定
3. 如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）．

A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
4. 一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则点（k，b）在第（ ）象限内．

A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
5. 如图，△ABC≌△ADE，∠DAC＝90°，∠BAE＝140°，BC、DE相交于点F，则∠DAB的大小为（　　）

A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
6. 若平面直角坐标系中的两点A（a，3），B（1，b）关于y轴对称，则a＋b的值是（ ）
A. 2 B. -2 C. 4 D. -4
7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于点G，以下五个结论：①∠B＝∠C＝45°；②AP＝EF；③∠AFP和∠AEP互补；④△EPF是等腰直角三角形；⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的，其中正确的结论是（ ）

A. ①②③ B. ①②④⑤ C. ①③④⑤ D. ①③④
8. 笔直的海岸线上依次有A，B，C三个港口，甲船从A港口出发，沿海岸线匀速驶向C港口，1小时后乙船从B港口出发，沿海岸线匀速驶向A港口，两船同时到达目的地，甲船的速度是乙船的1.25倍，甲、乙两船与B港口的距离y（km）与甲船行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示给出下列说法：①A，B港口相距400km；②B，C港口相距300km；③甲船的速度为100km/h；④乙船出发4h时，两船相距220km，其中正确的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 16的算术平方根是___________．
10. 平面直角坐标系中，将点A（﹣2，1）向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点A′，则点A′的坐标为_____．
11. 一次函数y＝（k﹣1）x＋3中，函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是_____．
12. 如图，△ABC≌△DEC，过点A作AF⊥CD于点F，若∠BCE＝62°，则∠CAF＝_____．

13. 已知，则yx＝_____．
14. 如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______．

15. 由四舍五入得到的近似数10.07万，精确到_____位．
16. 已知一次函数y＝mx＋n中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
10
8
6
4
2
…
则不等式mx＋n＞0的解集是______.
17. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（7，0），B（7，24），点D在线段AB上，OD平分∠AOB，则AD＝_____．

18. 如图，已知点C（1，0），直线y＝﹣x＋8与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是AB、OA上的动点，则△CDE周长的最小值是_____．

三、解答题（本大题共有10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：＋（﹣1）2﹣；
（2）求x3＋2＝﹣6中x的值．
20. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣3，1），按下列要求作图．

（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1（点A、B、C分别对应A1、B1、C1）；
（2）△A1B1C1的面积＝　 　；
（3）若M（x，y）是△ABC内部任意一点，请直接写出这点在△A1B1C1内部的对应点M1的坐标　 　；
（4）请在y轴上找出一点P，满足线段AP＋B1P的值最小，并写出P点坐标　 　．
21. 如图，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高．

22. 已知y与3x﹣2成正比例，且当x＝2时，y＝8．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求当x＝﹣2时的函数值；
（3）如果y与x的函数图象与x轴相交于点A，图象与y轴相交于点B，求AOB的面积．
23. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF//AB交ED的延长线于点F．
（1）求证：△BDE≌△CDF．
（2）当AD⊥BC，AE＝2，CF＝4时，求AC的长．

24. 如图，已知直线l1：y＝﹣3x＋3与直线l2：y＝mx﹣4m的图象的交点C在第四象限，且点C到y轴的距离为2．

（1）求直线l2的解析式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在第一象限的角平分线上是否存在点P，使得△ADP的面积是△ADC的面积的2倍？如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
25. 如图，△ABC是等边三角形，E、F分别是边AB、AC上的点，且AE＝CF，且CE、BF交于点P，且EG⊥BF，垂足为G．
（1）求证：∠ACE＝∠CBF；
（2）若PG＝1，求EP的长度．

26. 某企业准备购买一批爱心物资捐赠给学校．经了解，若购买洗手液300瓶和口罩200包，则共需6000元；若购买洗手液500瓶和口罩300包，则共需9500元．
（1）问：每瓶洗手液和每包口罩的价格各是多少元？
（2）现计划购买洗手液和口罩，若购买这两种物资的总费用不超过11500元，洗手液瓶数和口罩的包数之和为1000，且洗手液的瓶数不大于口罩包数的3倍．设购买洗手液m瓶，购买这两种物资的总费用为W元，请写出W（元）与m（瓶）之间的函数关系式，并求出W的最小值．
27. 如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为双腰三角形．

（1）如图1，三角形内角分别为80°、25°、75°，请你画出这个三角形的双腰分割线，并标出每个等腰三角形各角的度数．
（2）如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D．求证：AD是△ABC的一条双腰分割线．
（3）如图3，已知△ABC中，∠B＝64°，AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB＝AD．
①求∠C的度数．
②若AB＝3，AC＝5，求BC的长．
28. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB为y＝﹣x＋b交y轴于点A（0，3），交x轴于点B，直线x＝1交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x＝1上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）．

（1）求点B的坐标及点O到直线AB的距离；
（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；
（3）当S△ABP＝时，在第一象限找点C，使△PBC为等腰直角三角形，直接写出点C的坐标．
答案与解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下面四个图形分别是不可回收垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾的标志，这四个标志中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】A、不是轴对称图形，故选项错误；
B、不是轴对称图形，故选项错误；
C、是轴对称图形，故选项正确；
D、不是轴对称图形，故选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，解题的关键是寻找对称轴，图形的两部分折叠后可重合．
2. 在中，若，则（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断为直角三角形，再根据大边对大角的性质可以判断．
【详解】解：，
，
为直角三角形，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是：根据三角形的三边满足勾股定理，得出三角形是直角三角形．
3. 如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）．

A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
【答案】B
【解析】
【分析】先确定 是在哪两个相邻的整数之间，然后确定对应的点即可解决问题．
【详解】解：∵
∴
∴表示实数的点可能是E，
故选：B．
【点睛】本题考查实数与数轴上的点的对应关系，正确判断无理数在哪两个相邻的整数之间是解题的关键．
4. 一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则点（k，b）在第（ ）象限内．

A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数图象的位置确定出k与b的正负，即可作出判断．
【详解】解：根据数轴上直线的位置得：k＜0，b＜0，
则以k、b为坐标的点（k，b）在第三象限内．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，弄清一次函数图象与系数的关系是解本题的关键
5. 如图，△ABC≌△ADE，∠DAC＝90°，∠BAE＝140°，BC、DE相交于点F，则∠DAB的大小为（　　）

A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
【答案】C
【解析】
【分析】先根据全等三角形的性质可得，再根据角的和差可得，由此即可得出答案．
【详解】解：，
，
，即，
又，
，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、角的和差，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．
6. 若平面直角坐标系中的两点A（a，3），B（1，b）关于y轴对称，则a＋b的值是（ ）
A. 2 B. -2 C. 4 D. -4
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质，横坐标互为相反数，纵坐标相同，进而得出答案．
【详解】解：依题意可得a=-1，b=3
∴a＋b=2
故选A．
【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于点G，以下五个结论：①∠B＝∠C＝45°；②AP＝EF；③∠AFP和∠AEP互补；④△EPF是等腰直角三角形；⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的，其中正确的结论是（ ）

A. ①②③ B. ①②④⑤ C. ①③④⑤ D. ①③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠B=∠C，即可判断①；根据四边形内角和是360°可判断③，根据等腰直角三角形求出AP⊥BC，AP=BC=PC，∠BAP=∠CAP=45°=∠C，求出∠FPC=∠EPA，根据ASA推出△APE≌△CPF，推出AE=CF，PE=PF，S△APE=S△CPF，再逐个判断②④⑤即可．
【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，
∴∠B=∠C=×（180°-90°）=45°，AP⊥BC，AP=BC=PC，∠BAP=∠CAP=45°=∠C，
∵∠APF+∠FPC=90°，∠APF+∠APE=90°，
∴∠FPC=∠EPA，
在△APE和△CPF中，
，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，EP=PF，
∴△EPF是等腰直角三角形，故①④正确；
根据等腰直角三角形的性质，EF=PE，
所以，EF随着点E、F的变化而变化，
只有当点E为AB的中点时，EF=PE=AP，在其它位置时EF≠AP，故②错误；
在四边形AEPF中，∠BAC=90°，∠EPF=90°，
∴∠AFP+∠AEP=360°-（∠BAC+∠EPF）=180°，
即∠AFP和∠AEP互补，故③正确；
∵△APE≌△CPF，
∴S△APE=S△CPF，
∵BP=CP，
∴S△APC=S△ABC，
∴四边形AEPF的面积=S△APE+S△APF
=S△CPF+S△APF
=S△APC
=S△ABC，故⑤错误，
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质的应用，能求出△APE≌△CPF是解此题的关键．
8. 笔直的海岸线上依次有A，B，C三个港口，甲船从A港口出发，沿海岸线匀速驶向C港口，1小时后乙船从B港口出发，沿海岸线匀速驶向A港口，两船同时到达目的地，甲船的速度是乙船的1.25倍，甲、乙两船与B港口的距离y（km）与甲船行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示给出下列说法：①A，B港口相距400km；②B，C港口相距300km；③甲船的速度为100km/h；④乙船出发4h时，两船相距220km，其中正确的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象可知A、B港口相距400km，从而可以判断①；根据甲船从A港口出发，沿海岸线匀速驶向C港，1小时后乙船从B港口出发，沿海岸线匀速驶向A港，两船同时到达目的地．甲船的速度是乙船的1.25倍，可以计算出B、C港口间的距离，从而可以判断②；根据图象可知甲船4个小时行驶了400km，可以求得甲船的速度，从而可以判断③；根据题意和图象可以计算出乙出发4h时两船相距的距离，从而可以判断④．
【详解】解：由题意和图象可知， A、B港口相距400km，故①正确；
∵甲船的速度是乙船的1.25倍，
∴乙船的速度为：100÷1.25=80（km/h），
∵乙船的速度为80km/h，
∴400÷80=（400+）÷100-1，
解得：=200km， 故②错误；
∵甲船4个小时行驶了400km，
∴甲船的速度为：400÷4=100（km/h）， 故③正确；
乙出发4h时两船相距的距离是：4×80+（4+1-4）×100=420（km）， 故④错误．
故选B
【点睛】本题考查从函数图象中获取信息，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 16的算术平方根是___________．
【答案】4
【解析】
【详解】解：∵
∴16的平方根为4和-4，
∴16的算术平方根为4，
故答案为：4
10. 平面直角坐标系中，将点A（﹣2，1）向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点A′，则点A′的坐标为_____．
【答案】（2，-2）
【解析】
【分析】利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加4，纵坐标减3即可得到点A′的坐标．
【详解】解：将点A（-2，1）向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点A'，
则点A′的坐标是（-2+4，1-3），即A′（2，-2）．
故答案为：（2，-2）．
【点睛】此题主要考查坐标与图形变化-平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
11. 一次函数y＝（k﹣1）x＋3中，函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是_____．
【答案】k＜1
【解析】
【分析】利用一次函数图象与系数的关系列出关于m的不等式k-1＜0，然后解不等式即可．
【详解】解：∵一次函数y=（k-1）x+3中，y随x的增大而减小，
∴k-1＜0，
解得k＜1；
故答案为：k＜1．
【点睛】本题主要考查一次函数图象与系数的关系．解答本题注意理解：k＞0时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k＜0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小．
12. 如图，△ABC≌△DEC，过点A作AF⊥CD于点F，若∠BCE＝62°，则∠CAF＝_____．

【答案】28°
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质得到∠DCE=∠ACB，进而求出∠ACD，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠DCE=∠ACB，
∴∠DCE-∠ACE=∠ACB-∠ACE，即∠ACD=∠BCE，
∵∠BCE=62°，
∴∠ACD=62°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC=90°，
∴∠CAF=90°-∠ACD=90°-62°=28°，
故答案为：28°．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
13. 已知，则yx＝_____．
【答案】16
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，分别求出x、y，根据有理数的乘方法则求出yx即可．
【详解】解：由题意得，x-2≥0，2-x≥0，
解得，x=2，
则y=-4，
∴yx=（-4）2=16，
故答案为：16．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
14. 如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______．

【答案】40 cm
【解析】
【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．
【详解】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠ACD＋∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝12cm，DC＝BE＝28cm，
∴DE＝DC＋CE＝40（cm），
答：两堵木墙之间的距离为40cm，
故答案为：40 cm．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，涉及到垂直的定义、直角三角形的性质和连个三角形全等的判定与性质等知识点，解题的关键是正确找出证明三角形全等的条件．
15. 由四舍五入得到的近似数10.07万，精确到_____位．
【答案】百
【解析】
【分析】近似数10.07万精确到0.01万位，也就是百位．
【详解】解：近似数10.07万精确到百位．
故答案为：百．
【点睛】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数称为近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完，所以这些数字都叫这个近似数的有效数字．
16. 已知一次函数y＝mx＋n中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
10
8
6
4
2
…
则不等式mx＋n＞0的解集是______.
【答案】x＜3
【解析】
【分析】根据表格中的的值，利用待定系数法，求得的值，进而求得不等式的解集
【详解】由表格知：，；，；
∴
解得：
∴不等式mx＋n＞0即为：
解得：x＜3
故答案为：x＜3
【点睛】本题考查了待定系数法确定函数解析式以及一元一次不等式的解法，待定系数法是求函数解析式常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用.
17. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（7，0），B（7，24），点D在线段AB上，OD平分∠AOB，则AD＝_____．

【答案】
【解析】
【分析】作DH⊥OB于H，Rt△ODH≌Rt△ODA，推出OH=OA=7，设DH=AD=x，在Rt△OAB中，求出OB=25，推出BH=OB-OH=25-7=18，在Rt△BHD中，根据BH2+DH2=BD2，推出182+x2=（24-x）2，解方程即可解决问题．
【详解】解：如图，作DH⊥OB于H，

∵OD平分∠AOB，DH⊥OB，DA⊥OA，
∴DH=DA，
在Rt△ODH和Rt△ODA中，
，
Rt△ODH≌Rt△ODA，
∴OH=OA=7，设DH=AD=x，
在Rt△OAB中，OB==25，
∴BH=OB-OH=25-7=18，
在Rt△BHD中，∵BH2+DH2=BD2，
∴182+x2=（24-x）2，
∴x=，
即AD=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
18. 如图，已知点C（1，0），直线y＝﹣x＋8与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是AB、OA上的动点，则△CDE周长的最小值是_____．

【答案】
【解析】
【分析】点C关于OA的对称点C′（-1，0），点C关于直线AB的对称点C″（8，7），连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，可以证明这个最小值就是线段C′C″．
【详解】解：如图，点C关于OA的对称点C′（-1，0），点C关于直线AB的对称点C″，

∵直线AB的解析式为y=-x+8，
设直线CC″的解析式为y=x+b，将C（1，0）代入，
得：b=-1，
∴直线CC″的解析式为y=x-1，
由y=−x+8y=x−1，解得：，
∴直线AB与直线CC″的交点坐标为K（，），
∵K是CC″中点，
∴可得C″（8，7）．
连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，
△DEC的周长=DE+EC+CD=EC′+ED+DC″=C′C″==，
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题、两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性在找到点D、点E位置，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：＋（﹣1）2﹣；
（2）求x3＋2＝﹣6中x的值．
【答案】（1）-4；（2）-2
【解析】
【分析】（1）先分别计算开方和乘方，再算加减法；
（2）先移项，再开立方可得结果．
【详解】解：（1）原式=
=-4；
（2），
∴，
开方得：．
【点睛】本题考查实数的混合运算，立方根的应用，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握立方根等考点的运算．
20. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣3，1），按下列要求作图．

（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1（点A、B、C分别对应A1、B1、C1）；
（2）△A1B1C1的面积＝　 　；
（3）若M（x，y）是△ABC内部任意一点，请直接写出这点在△A1B1C1内部的对应点M1的坐标　 　；
（4）请在y轴上找出一点P，满足线段AP＋B1P的值最小，并写出P点坐标　 　．
【答案】（1）见解析 （2）2
（3）（x，-y） （4）点P见解析，（0，2）
【解析】
【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）利用割补法进行计算，即可得到△A1B1C1的面积；
（3）根据点M和M1关于x轴对称可得结果；
（4）直接利用轴对称求最短路线的方法得出答案．
【20题详解】
解：如图所示：△A1B1C1点即为所求；
【21题详解】
△A1B1C1的面积==2；
【22题详解】
由题意可得：M1的坐标为（x，-y）；
【23题详解】
如图所示：点P即为所求，点P的坐标为（0，2）．
【点睛】此题主要考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
21. 如图，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高．

【答案】门高7.5尺；竹竿高8.5尺．
【解析】
【分析】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高．
【详解】设门高为x尺，则竹竿长为（x+1）尺，
根据勾股定理可得：，
解得，
∴门高7.5尺，竹竿高尺．
【点睛】本题考查的是勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
22. 已知y与3x﹣2成正比例，且当x＝2时，y＝8．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求当x＝﹣2时的函数值；
（3）如果y与x的函数图象与x轴相交于点A，图象与y轴相交于点B，求AOB的面积．
【答案】（1）y=6x-4；（2）﹣16；（3）
【解析】
【分析】（1）设y=k（3x-2），然后把已知的对应值代入求出k，从而得到y与x的函数关系式；
（2）利用（1）中y与x的函数关系式，计算自变量为﹣2所对应的函数值即可；
（3）利用坐标轴上点的坐标特征求出A、B的坐标，然后根据三角形面积公式计算．
【详解】解：（1）设y=k（3x-2），
把x=2，y=8代入得8=k×（6-2），
解得k=2，
所以y=2（3x-2），
所以y与x的函数解析式为y=6x-4；
（2）当x=-2时，y=-2×6-4=-16；
（3）当y=0时，6x-4=0，解得x=，则A（，0），
当y=0时，y=6x-4=-4，则B（0，-4），
所以△AOB的面积=××4=．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求正比例函数，只要一对x，y的值就可以．也考查了一次函数的性质．
23. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF//AB交ED的延长线于点F．
（1）求证：△BDE≌△CDF．
（2）当AD⊥BC，AE＝2，CF＝4时，求AC的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）6．
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，于是得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到BE＝CF＝4，求得AB＝AE+BE＝6，于是得到结论．
【详解】（1）证明：∵CF//AB，
∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDF中，，
∴△BDE≌△CDF（AAS）；
（2）解：∵△BDE≌△CDF，
∴BE＝CF＝4，
∴AB＝AE+BE＝2+4＝6，
∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AC＝AB＝6．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行线的性质及全等三角形的判定定理.
24. 如图，已知直线l1：y＝﹣3x＋3与直线l2：y＝mx﹣4m的图象的交点C在第四象限，且点C到y轴的距离为2．

（1）求直线l2的解析式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在第一象限的角平分线上是否存在点P，使得△ADP的面积是△ADC的面积的2倍？如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）（6，6）
【解析】
【分析】（1）由点C到y轴距离为2，可知C的横坐标为2，代入直线l1的解析式即可求得C的坐标；把C的坐标代入y=mx-4m，即可求得l2的解析式．
（2）根据直线的解析式求得A、D的坐标即可根据三角形的面积公式求得△ADC的面积；
（3）根据已知设点P为（x，x），根据△ADP的面积是△ADC的面积的2倍列出方程式，解方程即可求得P的坐标．
【小问1详解】
∵点C到y轴距离为2，点C在直线l1上，
∴y=-3×2+3=-3．
∴点C（2，-3），
∵点C在直线l2上，把C的坐标代入y=mx-4m，得
∴l2的解析式为；
【小问2详解】
∵直线l1：y=-3x+3，
∴点D为（1，0），
∵直线l2为
∴点A为（4，0），
∴△ADC的面积为
【小问3详解】
∵点P在第一象限的角平分线上，
∴设点P为（x，x），
∵△ADP的面积是△ADC的面积的2倍等于9，AD=3
∴，解得x=6，
∴点P的坐标为（6，6）．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，角的平分线上点的坐标特征，三角形的面积等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
25. 如图，△ABC是等边三角形，E、F分别是边AB、AC上的点，且AE＝CF，且CE、BF交于点P，且EG⊥BF，垂足为G．
（1）求证：∠ACE＝∠CBF；
（2）若PG＝1，求EP的长度．

【答案】（1）见解析；（2）PE＝2
【解析】
【分析】（1）证明△ACE≌△CBF（SAS），即可得到∠ACE＝∠CBF；
（2）利用由（1）知∠ACE＝∠CBF，求出∠BPE＝60°，又EG⊥BF，即∠PGE＝90°，得到∠GEP＝30°，根据在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，可求出EP 的长．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠A＝∠BCF＝60°，AB＝AC，
在△ACE与△BCF中，
AC＝BC，∠A＝∠BCF，AE＝CF，
∴△ACE≌△CBF（SAS），
∴∠ACE＝∠CBF；
（2）解：∵由（1）知，∠ACE＝∠CBF，
又∠ACE＋∠PCB＝∠ACB＝60°，
∴∠PBC＋∠PCB＝60°，
∴∠BPE＝60°，
∵EG⊥BF，即∠PGE＝90°，
∴∠GEP＝30°，
∴在Rt△PGE中，PE＝2PG，
∵PG＝1，
∴PE＝2．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理、等边三角形的性质，含30度的直角三角形的性质，解决本题的关键是证明△ACE≌△CBF．
26. 某企业准备购买一批爱心物资捐赠给学校．经了解，若购买洗手液300瓶和口罩200包，则共需6000元；若购买洗手液500瓶和口罩300包，则共需9500元．
（1）问：每瓶洗手液和每包口罩的价格各是多少元？
（2）现计划购买洗手液和口罩，若购买这两种物资的总费用不超过11500元，洗手液瓶数和口罩的包数之和为1000，且洗手液的瓶数不大于口罩包数的3倍．设购买洗手液m瓶，购买这两种物资的总费用为W元，请写出W（元）与m（瓶）之间的函数关系式，并求出W的最小值．
【答案】（1）每瓶洗手液和每包口罩的价格分别为10元、15元；（2）W＝﹣5m+15000，W的最小值是11250．
【解析】
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得每瓶洗手液和每包口罩的价格各是多少元；
（2）根据题意可以写出W（元）与m（瓶）之间的函数关系式，并求出W的最小值．
【详解】解：（1）设每瓶洗手液和每包口罩的价格分别为a元、b元，
，
解得，
答：每瓶洗手液和每包口罩的价格分别为10元、15元；
（2）由题意可得，
W＝10m+15（1000﹣m）＝﹣5m+15000，
∴W随m的增大而减小，
∵购买这两种物资的总费用不超过11500元，洗手液瓶数和口罩的包数之和为1000，且洗手液的瓶数不大于口罩包数的3倍，
∴，
解得700≤m≤750，
∴当m＝750时，W取得最小值，此时W＝11250，
答：W（元）与m（瓶）之间的函数关系式是W＝﹣5m+15000，W的最小值是11250．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
27. 如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为双腰三角形．

（1）如图1，三角形内角分别为80°、25°、75°，请你画出这个三角形的双腰分割线，并标出每个等腰三角形各角的度数．
（2）如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D．求证：AD是△ABC的一条双腰分割线．
（3）如图3，已知△ABC中，∠B＝64°，AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB＝AD．
①求∠C的度数．
②若AB＝3，AC＝5，求BC的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）①∠C=23°；②BC=
【解析】
【分析】（1）从 三个顶点出发各作一条线段，根据等边对等角，求出角度，看是否符合另一个三角形也是等腰三角形；
（2）根据等腰三角形的判定和性质求解可得．
（3）①由AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB=AD．得AB=AD=CD，∠B=∠ADB=64°，从而求得∠C=∠CAD=∠ADB=32°；
②过点A作AE⊥BC于点E，Rt△ABE中，AE2=AB2-BE2=32-x2，Rt△ACE中，AE2=52-（3+x）2，得32-x2=52-（3+x）2，解方程即可．
【小问1详解】
解：线段AD是△ABC的双腰分割线，每个等腰三角形各角的度数；
【小问2详解】
证明：∵线段AC的垂直平分线交AC于点E，
∴AD=CD，
∴△ADC是等腰三角形，
∴∠C=∠DAC，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=2∠C，
∵∠B=2∠C，
∴∠B=∠ADB，
∴AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形，
∴AD是△ABC的一条双腰分割线．
【小问3详解】
①∵AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB=AD．
∴AB=AD=CD，
∴∠B=∠ADB=64°，
∵AD=CD，
∴∠C=∠CAD=∠ADB=32°；
②过点A作AE⊥BC于点E，

∵AB=AD=CD=3，
∴BE=DE，
设BE为x，
∵Rt△ABE中，AE2=AB2-BE2=32-x2，
Rt△ACE中，AE2=52-（3+x）2，
∴32-x2=52-（3+x）2，
解得，x=，
∴BC=×2+3=．
【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质．
28. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB为y＝﹣x＋b交y轴于点A（0，3），交x轴于点B，直线x＝1交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x＝1上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）．

（1）求点B的坐标及点O到直线AB的距离；
（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；
（3）当S△ABP＝时，在第一象限找点C，使△PBC为等腰直角三角形，直接写出点C的坐标．
【答案】（1）B（4，0），
（2）
（3）（5，7）或（8，3）或（，）
【解析】
【分析】（1）求出直线AB的解析式，可求点B坐标，由面积法可求解；
（2）求出点D坐标，由三角形的面积公式可求解；
（3）先计算当S△ABP=时，P的坐标，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，分三种情况讨论：分别以三个顶点为直角顶点画三角形，根据图形可得C的坐标．
【小问1详解】
解：∵直线AB为y=x+b交y轴于点A（0，3），
∴b=3，AO=3，
∴直线AB解析式为：y=x+3，
令y=0，则0=x+3，x=4，
∴B（4，0），
∴OB=4，
∴AB==5，
∴S△AOB=×OA×OB=×AB×点O到直线AB的距离，
∴点O到直线AB的距离==；
【小问2详解】
∵点D在直线AB上，
∴当x=1时，y=，即点D（1，），
∴PD=n-，
∵OB=4，
∴S△ABP＝＝；
【小问3详解】
当S△ABP=时，，解得n=4，
∴点P（1，4），
∵E（1，0），
∴PE=4，BE=3，
第1种情况，如图，当∠CPB=90°，BP=PC时，过点C作CN⊥直线x=1于点N．

∵∠CPB=90°，
∴∠CPN+∠BPE=90°，又∠CPN+∠PCN=90°，
∴∠BPE=∠PCN，
又∵∠CNP=∠PEB=90°，BP=PC，
∴△CNP≌△PEB（AAS），
∴PN=EB=3，PE=CN=4，
∴NE=NP+PE=3+4=7，
∴C（5，7）；
第2种情况，如图，当∠PBC=90°，BP=BC时，过点C作CF⊥x轴于点F．

同理可证：△CBF≌△BPE（AAS），
∴CF=BE=3，BF=PE=4，
∴OF=OB+BF=4+4=8，
∴C（8，3）；
第3种情况，如图3，当∠PCB=90°，CP=CB时，
过点C作CH⊥BE，垂足为H，过点P作PG⊥CH，垂足为G，

同理可证：△PCG≌△CBH（AAS），
∴CG=BH，PG=CH，
∵PE=4，BE=3，设CG=BH=x，PG=CH=y，
则PE=GH=x+y=4，BE=PG-BH=y-x=3，
解得：x=，y=，
∴C（，），
∴以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，点C的坐标是（5，7）或（3，8）或（，）．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形面积公式，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．