无锡市梁溪区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份无锡市梁溪区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（含解析），共31页。试卷主要包含了 答卷前，考生务必用0等内容，欢迎下载使用。
无锡市梁溪区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题
时间：100分钟 满分：120分
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、考试证号等信息填写在答题卡的相应位置上，并将考试证号下方对应的数字方框涂黑．
2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效．
3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡相应的选项标号涂黑）
1. 第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2. 在平面直角坐标系中，点(1,-2)所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A. B. 3、4、5 C. D. 9、12、15
4. 若等腰三角形两边长分别是3和6，则这个三角形的周长是（ ）
A. 12 B. 15 C. 9或15 D. 12 或15
5. 将一次函数y＝2x－4的图象向上平移3个单位长度，平移后函数经过点（ ）
A. （2，5） B. （2，4） C. （2，3） D. （2，0）
6. 如图，已知∠ABC＝∠BAD，再添加一个条件，仍不能判定△ABC≌△BAD的是（ ）

A. AC＝BD B. ∠C＝∠D C. AD＝BC D. ∠ABD＝∠BAC
7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E为AC的中点，连接DE，若△ABC的周长为20cm，则△CDE的周长为（ ）

A. 10 cm B. 12 cm C. 14 cm D. 16 cm
8. 已知正比例函数的函数值随x的增大而增大，则一次函数的图像经过（ ）
A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限
C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限
9. 如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1＋S2＋S3＝18，则S2的值是（ ）

A. B. 6 C. 5 D.
10. 如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°＋∠C；②若AB＝4，OD＝1，则S△ABO＝2；③当∠C＝60°时，AF＋BE＝AB；④若OD＝a，AB＋BC＋CA＝2b，则S△ABC＝2ab．其中正确结论的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11. 点（2，-3）关于x轴的对称点的坐标是______．
12. 已知点P（a，b）在一次函数y＝-2x＋1的图象上，则2a＋b＝______．
13. 地球上的海洋面积约为361 000 000km2，将361 000 000精确到10 000 000，并用科学记数法表示这个近似数为_______．
14. 若一个正数的两个不同的平方根为2m﹣6与m+3，则这个正数为_____．
15. 如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，BC⊥AB于点B，且BC=1，连接AC，在AC上截取CD=BC，以A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是_____．

16. 如图，函数y＝－3x和y＝kx＋b的图象相交于点A（m，4），则关于x的不等式kx＋b＋3x＞0的解集为___________．

17. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点E是AB中点，将△CAE沿着直线CE翻折，得到△CDE，连接BD，则线段BD的长等于______．

18. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为（a，b），点P的“变换点”P'的坐标定义如下：当a≥b时，P'点坐标为（a，－b）；当a＜b时，P'点坐标为（a＋4，b－2）．线段l：y=－0.5x＋3（－2≤x≤6）上所有点按上述“变换点”组成一个新的图形，若直线y=kx＋5与组成的新的图形有两个交点，则k的取值范围是______．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
（1）
（2）求中x的值．
20. 如图，在△ABC 中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE.
(1)求证: △ABD≌△ACE；
(2)若∠B=40°，AB=BE，求∠DAE的度数.

21. 如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2－DA2＝AC2．

（1）求证：∠A＝90°；
（2）若BC2＝56，AD∶BD＝3∶4，求AC的长．
22. 如图，平面直角坐标系中有两点 A(1，3)、B(3，－1)，完成下列问题：

（1）求出经过A、B两点的一次函数表达式；
（2）点E是y轴上一点，连接AE、BE，当AE＋BE取最小值时，点E的坐标为 ；
（3）若点C（1，－2），在线段AC上找一点F，使点F到AB、BC的距离相等（请在图中标注出点F的位置）．
23. 如图，一张长方形纸片ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AD＞AB．

（1）将矩形纸片ABCD折叠，使得点A与点C重合，折痕交AD于点M，交BC于点N，请在图①中尺规作出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落到BC边上的点P处，折痕AE交DC于点E．请用尺规在图②中作出点P和折痕AE（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）在（2）的条件下，若AD＝BC＝5，AB＝CD＝4，求ED的长．
24. 为了抗击新冠疫情，我市甲乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨，这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下：（单位：吨）

（1）求甲乙两厂各生产了这批防疫多少吨？
（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；
（3）当每吨运费降低m元，（且m为整数），按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元，求m的最小值．
25. 已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＞AC，点D是AB、中点，点P是直线BC上的一个动点，连接DP，过点D作DQ⊥DP交直线AC于点Q．

（1）如图①，当点P、Q分别在线段BC、AC上时（点Q与点A、C不重合），过点B作AC的平行线交QD的延长线于点G，连接PG、PQ．
①求证：PG＝PQ；
②若BC＝12，AC＝9，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数表达式；
（2）当点P在线段CB的延长线上时，依据题意补全图②，请写出线段BP、PQ、AQ之间的数量关系，并说明理由．
26. 如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣12分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A作x轴的垂线交直线y＝x于点C，D点是线段AB上一点，连接OD，以OD为直角边作等腰直角三角形ODE，使∠ODE＝90°，且E点在线段AC上，过D点作x轴的平行线交y轴于G，设D点的纵坐标为m．
（1）点C的坐标为　 　；
（2）用含m的代数式表示E点的坐标，并求出m的取值范围；
（3）如图2，连接BE交DG于点F，若EF＝DF﹣2m，求m的值．


答案与解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡相应的选项标号涂黑）
1. 第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握轴对称图形的概念．
2. 在平面直角坐标系中，点(1,-2)所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据第四象限内横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．
【详解】点(1,-2)所在的象限是第四象限，
故选D.
【点睛】考查点的坐标，掌握每个象限点的坐标特征是解题的关键.
3. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A. B. 3、4、5 C. D. 9、12、15
【答案】A
【解析】
【分析】的三边分别为 如果 那么是直角三角形，根据勾股定理的逆定理逐一分析判断即可.
【详解】解： 故A符合题意，
故B不符合题意，
故C不符合题意，
故D不符合题意，
故选A
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，掌握“利用勾股定理的逆定理判断直角三角形”是解本题的关键.
4. 若等腰三角形两边长分别是3和6，则这个三角形的周长是（ ）
A. 12 B. 15 C. 9或15 D. 12 或15
【答案】B
【解析】
【分析】分腰长为3和腰长为6两种情况考虑，先根据三角形的三边关系确定三角形是否存在，再根据三角形的周长公式求值即可．
【详解】当腰长为3时，三边长为3、3、6，
∵3+3=6，不符合三角形三边关系，
∴不能构成三角形，
当腰长为6时，三边长为3、6、6，
∵3+6=9＞6，符合三角形三边关系，
∴能构成三角形，
∴三角形的周长为3+6+6=15，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，由三角形三边关系确定三角形的三条边长为解题的关键．
5. 将一次函数y＝2x－4的图象向上平移3个单位长度，平移后函数经过点（ ）
A. （2，5） B. （2，4） C. （2，3） D. （2，0）
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数图象的平移规律：上加下减，先得到平移后的函数解析式，再把代入平移后的函数解析式求解 从而可得答案.
【详解】解：将一次函数y＝2x－4的图象向上平移3个单位长度，平移后函数解析式为：

当时，
所以平移后函数经过点
故选C
【点睛】本题考查的是一次函数图象的平移，一次函数的性质，掌握“一次函数平移的变化规律”是解本题的关键.
6. 如图，已知∠ABC＝∠BAD，再添加一个条件，仍不能判定△ABC≌△BAD的是（ ）

A. AC＝BD B. ∠C＝∠D C. AD＝BC D. ∠ABD＝∠BAC
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知可以得到∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，然后再分别判断各个选项中的条件能否使得△ABC≌△BAD即可．
【详解】解：∵∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，
∴若添加条件AC＝BD，无法判定△ABC≌△BAD，故选项A符合题意；
若添加∠C＝∠D，则△ABC≌△BAD（AAS），故选项B不符合题意；
若添加AD＝BC，则△ABC≌△BAD（SAS），故选项C不符合题意；
若添加∠ABD＝∠BAC，则△ABC≌△BAD（ASA），故选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E为AC的中点，连接DE，若△ABC的周长为20cm，则△CDE的周长为（ ）

A. 10 cm B. 12 cm C. 14 cm D. 16 cm
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵点E为AC的中点，
∴AE=CE，
∵BD＝CD，
∴DE=AB，
∵△ABC的周长为20，即AB+BC+AC=20cm，
∴△CDE的周长＝DE＋CD＋CE＝（AB+BC+AC）=10cm，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
8. 已知正比例函数的函数值随x的增大而增大，则一次函数的图像经过（ ）
A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限
C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限
【答案】C
【解析】
【分析】由正比例函数的函数值随x的增大而增大，可得 结合 可得的图象经过一，二，四象限，从而可得答案.
【详解】解： 正比例函数的函数值随x的增大而增大，

则一次函数的图像经过一，二，四象限，
故选C
【点睛】本题考查的是正比例函数图象的性质，一次函数的图象与性质，掌握“一次函数的图象与性质”是解本题的关键.
9. 如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1＋S2＋S3＝18，则S2的值是（ ）

A. B. 6 C. 5 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG=NG，CF=DG=NF，再根据S1=（CG+DG）2，S2=GF2，S3=（NG-NF）2，S1+S2+S3=24得出3GF2=18，求出GF2的值即可．
【详解】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，
∴CG=NG，CF=DG=NF，
∴S1=（CG+DG）2
=CG2+DG2+2CG•DG
=GF2+2CG•DG，
S2=GF2，
S3=（NG-NF）2=NG2+NF2-2NG•NF，
∴S1+S2+S3=GF2+2CG•DG+GF2+NG2+NF2-2NG•NF=3GF2=18，
∴GF2=6，
∴S2=6，
故选：B
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出3GF2=18是解决问题的关键．
10. 如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°＋∠C；②若AB＝4，OD＝1，则S△ABO＝2；③当∠C＝60°时，AF＋BE＝AB；④若OD＝a，AB＋BC＋CA＝2b，则S△ABC＝2ab．其中正确结论的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；作OG⊥AC于G，求得OG=OD=1，根据三角形的面积的计算可证得②正确；在AB上取一点H，使BH=BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH=∠BOE=60°，再证得△HAO≌△FAO，得到AF=AH，进而判定③正确；作作OG⊥AB于G，OM⊥AC于M，根据三角形的面积可证得④错误．
【详解】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA=∠CBA，∠OAB=∠CAB，
∴∠AOB=180°-∠OBA-∠OAB=180°-∠CBA-∠CAB
=180°-（180°-∠C）
=90°+∠C，①错误；
作OG⊥AB于G，

∵BO是∠ABC的平分线，OG⊥AC，OD⊥BC，OD=1，
∴OG= OD=1，
∵AB=4，
∴S△ABO=AB×OG=×4×1=2，②正确；
在AB上取一点H，使BH=BE，

∵∠C=60°，
由①知∠AOB=90°+∠C，
∴∠AOB=90°+30°=120°，
∴∠BOE=∠AOF=60°，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO=∠EBO，
在△HBO和△EBO中，
，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH=∠BOE=60°，
∴∠AOH=180°-60°-60°=60°，
∴∠AOH=∠AOF，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠HAO=∠FAO，
在△HAO和△FAO中，
，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF=AH，
∴AB=BH+AH=BE+AF，故③正确；
作OG⊥AB于G，OM⊥AC于M，

∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，OD=a，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OG=OM=OD=a，
∵AB+AC+BC=2b，
∴S△ABC=×AB×OG+×AC×OM+×BC×OD=（AB+AC+BC）•a=ab，④错误．
综上，②③正确，共2个；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11. 点（2，-3）关于x轴的对称点的坐标是______．
【答案】（2，3）
【解析】
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答．
【详解】解：点（2，−3）关于x轴的对称点的坐标是（2，3）．
故答案为：（2，3）．
【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12. 已知点P（a，b）在一次函数y＝-2x＋1的图象上，则2a＋b＝______．
【答案】1
【解析】
【分析】将点P坐标代入解析式可求b＝-2a＋1，即可求解．
【详解】解：∵点P（a，b）在一次函数y＝-2x＋1的图象上，
∴b＝-2a＋1，
∴2a+b＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是本题的关键．
13. 地球上的海洋面积约为361 000 000km2，将361 000 000精确到10 000 000，并用科学记数法表示这个近似数为_______．
【答案】3.6´108
【解析】
【分析】先按要求对361 000 000的百万位四舍五入，在用科学记数法表示即可
【详解】361 000 000（精确到10 000 000）为：360 000 000，用科学记数法表示为：3.6×108．
故填：3.6×108．
【点睛】本题考查用科学记数法表示一个数和近似数. 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，能正确确定a和n是关键.在取近似数时要注意精确到哪一位就是对哪一位后面的数字进行四舍五入.
14. 若一个正数的两个不同的平方根为2m﹣6与m+3，则这个正数为_____．
【答案】16
【解析】
【分析】根据题意得出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根为2m﹣6与m+3，
∴2m﹣6+m+3=0，
m=1，
∴2m﹣6=﹣4，
∴这个正数为：（﹣4）2=16，
故答案为：16
【点睛】考点：平方根．
15. 如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，BC⊥AB于点B，且BC=1，连接AC，在AC上截取CD=BC，以A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是_____．

【答案】
【解析】
【详解】∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，
∴AC= = ，
∵CD=CB=1，
∴AD=AC-CD= -1，
∴AE= -1，
∴点E表示的实数是 -1．
故答案为
16. 如图，函数y＝－3x和y＝kx＋b的图象相交于点A（m，4），则关于x的不等式kx＋b＋3x＞0的解集为___________．

【答案】
【解析】
【分析】先把点A的坐标代入y=-3x中求解m的值，然后根据一次函数与不等式的关系可进行求解．
【详解】解：由题意得：
把点A代入y=-3x可得，解得：，
∴点A的坐标为，
由图像可得当关于x的不等式kx＋b＋3x＞0时，则需满足在点A的右侧，即的图像在的图像上方，
∴不等式kx＋b＋3x＞0的解集为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数与一元一次不等式是解题的关键．
17. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点E是AB中点，将△CAE沿着直线CE翻折，得到△CDE，连接BD，则线段BD的长等于______．

【答案】
【解析】
【分析】延长CE交AD于F，过B作BG⊥CE于G，利用△BCE的面积，即可得到BG的长，再根据△AEF与△BEG全等，即可得到AF的长，进而得到AD的长，再证明 再利用勾股定理可得答案.
【详解】解：如图，延长CE交AD于F，过B作BG⊥CE于G，连接BD，

∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∵∠ACB=90°，点E是AB中点，
∴CE=AE=BE=5，S△BCE=S△ABC，
∴ CE×BG= AC×BC，即，
由折叠可得，
CF垂直平分AD，
∴∠AFE=90°=∠BGE，
又∵∠AEF=∠BEG，AE=BE，
∴△AEF≌△BEG（AAS），
∴AF=BG=， ∴AD=2AF=




故答案为
【点睛】本题考查了轴对称以及直角三角形斜边中线的性质，线段的垂直平分线的判定与性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
18. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为（a，b），点P的“变换点”P'的坐标定义如下：当a≥b时，P'点坐标为（a，－b）；当a＜b时，P'点坐标为（a＋4，b－2）．线段l：y=－0.5x＋3（－2≤x≤6）上所有点按上述“变换点”组成一个新的图形，若直线y=kx＋5与组成的新的图形有两个交点，则k的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】先求当a=b时，x=－0.5x＋3，求出分界点（2，2），然后确定分段函数为y=0.5x-3（2≤x≤6）和y=－0.5x＋3（2≤x＜6），根据直线y=kx＋5与组成的新的图形有两个交点，得出点（2，2）和点（6，0）在直角y=kx＋5上，得出k=-和k=，列出不等式即可．
【详解】解：当a=b时，x=－0.5x＋3，
解得x=2，
分界点为（2，2），
∴线段l：y=－0.5x＋3（2≤x≤6）上点变为y=0.5x-3（2≤x≤6），
线段l：y=－0.5x＋3（－2≤x＜2）上点用过平移变为y=－0.5x＋3（2≤x＜6），
∵若直线y=kx＋5与组成的新的图形有两个交点，
∴点（2，2）和点（6，0）在直角y=kx＋5上，
∴点（2，2）在y=kx＋5上，得2=2k+5，解得k=-，
点（6，0）在直角y=kx＋5上，得6k+5=0，解得k=，
直线y=kx＋5与组成的新的图形有两个交点，则k的取值范围是．
故答案为．

【点睛】本题考查新定义“变换点”，根据新定义确定分段函数，利用图像找出满足条件的点坐标，求函数值，列不等式，掌握新定义“变换点”，根据新定义确定分段函数，利用图像找出满足条件的点坐标，求函数值，列不等式是解题关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
（1）
（2）求中x的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求解算术平方根，计算零次幂与负整数指数幂，再合并即可；
（2）先把方程化为的形式，再利用立方根的含义解方程即可.
【小问1详解】
解：


【小问2详解】
解：


解得：
【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，零次幂与负整数指数幂的含义，利用立方根的含义解方程，掌握以上基础运算是解本题的关键.
20. 如图，在△ABC 中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE.
(1)求证: △ABD≌△ACE；
(2)若∠B=40°，AB=BE，求∠DAE的度数.

【答案】（1）见解析；（2）40°.
【解析】
【分析】（1）根据SAS即可证明．
（2）由AB=BE，推出∠BAE=∠BEA，由∠B=40°，推出∠BAE=∠BEA=70°，由△ABD≌△ACE，推出AD=AE，推出∠ADE=∠AED=70°，推出∠DAE=180°-70°-70°=40°．
【详解】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABD和△ACE中,
，
∴△ABD≌△ACE.
(2)∵AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA，
∵∠B=40°，
∴∠BAE=∠BEA=70°，
∵△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=70°，
∴∠DAE=180°−70°−70°=40°.
【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质.
21. 如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2－DA2＝AC2．

（1）求证：∠A＝90°；
（2）若BC2＝56，AD∶BD＝3∶4，求AC的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明CD＝BD，结合已知条件可得CD2－DA2＝AC2 ，从而可得结论；
（2）由AD∶BD＝3∶4，设AD＝3x，BD＝4x，则 再利用勾股定理列方程即可.
【小问1详解】
解：连接CD．∵ DE垂直平分BC ∴CD＝BD．

∵ BD2－DA2＝AC2 ，
∴ CD2－DA2＝AC2 ．
∴∠A＝90°．
【小问2详解】
解：∵ AD∶BD＝3∶4，
∴设AD＝3x，BD＝4x．

BD2－DA2＝AC2 ，
∵∠A＝90°，∴AC2＝7x2．
∴BC2＝AC2＋AB2＝56x2＝56，
∴x＝1． （负根舍去）
∴AC＝．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理的应用，勾股定理的应用，掌握“勾股定理与勾股定理的逆定理”是解本题的关键.
22. 如图，平面直角坐标系中有两点 A(1，3)、B(3，－1)，完成下列问题：

（1）求出经过A、B两点的一次函数表达式；
（2）点E是y轴上一点，连接AE、BE，当AE＋BE取最小值时，点E的坐标为 ；
（3）若点C（1，－2），在线段AC上找一点F，使点F到AB、BC的距离相等（请在图中标注出点F的位置）．
【答案】（1）y＝－2x＋5
（2）（0，2） （3）见解析
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解直线的解析式即可；
（2）如图，作关于轴的对称点，连接 交轴于 则 此时最短，再求解的解析式，求解直线与轴的交点坐标即可；
（3）如图，取格点 连接 则与的交点即为所求作的点再利用勾股定理的逆定理与等腰直角三角形的性质及角平分线的性质定理可得作法符合要求.
【小问1详解】
解：设直线为
将A(1,3),B(3,-1)代入解析式

解得：
所以直线为
【小问2详解】
解：如图，作关于轴的对称点，连接 交轴于
则 此时最短，

则
设为

解得：
所以为
令 则

【小问3详解】
解：如图，取格点 连接 则与的交点即为所求作的点

理由如下：



同理可得：

平分
到的距离相等.
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用轴对称的性质求解线段和的最小值，勾股定理的逆定理的应用，角平分线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练的运用勾股定理的逆定理与角平分线的性质是解本题的关键.
23. 如图，一张长方形纸片ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AD＞AB．

（1）将矩形纸片ABCD折叠，使得点A与点C重合，折痕交AD于点M，交BC于点N，请在图①中尺规作出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落到BC边上的点P处，折痕AE交DC于点E．请用尺规在图②中作出点P和折痕AE（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）在（2）的条件下，若AD＝BC＝5，AB＝CD＝4，求ED的长．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析； （3）2.5
【解析】
【分析】（1）根据折叠性质，折痕MN垂直平分AC，故连接AC，作AC的垂直平分线即可；
（2）根据折叠性质，AD=AP，∠DAE=∠PAE，故以A为圆心，AD为半径画弧交BC于点P，作∠DAP的角平分线交CD于E，直线AE即为所求；
（3）利用勾股定理求得PB，设ED=EP=x，在Rt△ECP中，利用勾股定理构建方程求解即可．
【小问1详解】
解：如图，折痕MN即为所求；
【小问2详解】
解：如图②，点P和直线AE即为所求；
【小问3详解】
解：在图②中，连接PE，
由折叠性质得：ED=EP，
由题意知：∠B=∠C=90°，
∵AD＝BC＝5，AB＝CD＝4，
∴在Rt△ABP中，AP=AD＝5，AB＝4，
由勾股定理得：，
∴PC=BC－BP=5－3=2，
设ED=EP=x，则CE=CD－DE=4－x，
在Rt△EPC中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴ED= ．
【点睛】本题考查折叠性质、尺规作图-作线段垂直平分线、尺规作图-作角平分线、尺规作图-作线段、勾股定理、解一元一次方程，熟练掌握折叠性质和勾股定理，正确作出对应图形是解答的关键．
24. 为了抗击新冠疫情，我市甲乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨，这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下：（单位：吨）

（1）求甲乙两厂各生产了这批防疫多少吨？
（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；
（3）当每吨运费降低m元，（且m为整数），按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元，求m的最小值．
【答案】（1）200吨，300吨；（2），甲厂200吨全部运往B地，乙厂运往A地240吨，运往B地60吨；（3）10．
【解析】
【分析】（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，根据题意列方程组解答即可；
（2）根据题意得出y与x之间的函数关系式以及x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可；
（3）根据题意以及（2）的结论可得y=-4x+11000-500m，再根据一次函数的性质以及列不等式解答即可．
【详解】解：（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨；
则
解得：
答：这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨；
（2）如图，甲、乙两厂调往两地的数量如下：





当x=240时运费最小
所以总运费的方案是：甲厂200吨全部运往B地；乙厂运往A地240吨，运往B地60吨．
(3)由（2）知：
当x=240时， ，


所以m的最小值为10．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式求解．
25. 已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＞AC，点D是AB的中点，点P是直线BC上的一个动点，连接DP，过点D作DQ⊥DP交直线AC于点Q．

（1）如图①，当点P、Q分别在线段BC、AC上时（点Q与点A、C不重合），过点B作AC的平行线交QD的延长线于点G，连接PG、PQ．
①求证：PG＝PQ；
②若BC＝12，AC＝9，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数表达式；
（2）当点P在线段CB的延长线上时，依据题意补全图②，请写出线段BP、PQ、AQ之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①证明见解析；②
（2）作图见解析，AQ2＋BP2＝PQ2，理由见解析
【解析】
【分析】（1）①证明，有，知DP垂直平分GQ，进而可证；②，由勾股定理知，有，计算整理即可；
（2）补充图形作图如图②，③，证明过程均同（1）．
【小问1详解】
解：①证明：由题意知
∵
∴
在和中

∴
∴
∵
∴DP垂直平分GQ
∴；
②∵
∴；
∴由勾股定理知
∴
∴
∴y关于x的函数表达式为．
【小问2详解】
解：AQ2＋BP2＝PQ2．
补全图形，如图②：

证明：作，交QD的延长线于点G，连接
同（1）可证
∴
∵
∴DP垂直平分GQ
∴
∴
∴由勾股定理知
∴；
补全图形，如图③：

证明：作，交QD的延长线于点G，连接
同（1）可证
∴
∵
∴DP垂直平分GQ
∴
∴
∴由勾股定理知
∴；
综上所述，．
【点睛】本题考查了三角形全等，垂直平分线的性质，勾股定理的应用．解题的关键在于对知识的灵活运用．
26. 如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣12分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A作x轴的垂线交直线y＝x于点C，D点是线段AB上一点，连接OD，以OD为直角边作等腰直角三角形ODE，使∠ODE＝90°，且E点在线段AC上，过D点作x轴的平行线交y轴于G，设D点的纵坐标为m．
（1）点C的坐标为　 　；
（2）用含m的代数式表示E点的坐标，并求出m的取值范围；
（3）如图2，连接BE交DG于点F，若EF＝DF﹣2m，求m的值．


【答案】（1）（12，9）；（2）E(12，2m+12)，﹣6≤m≤﹣；（3）m=﹣4
【解析】
【分析】（1）先由直线y＝x﹣12求得A、B的坐标，再将A的横坐标即为C的横坐标代入直线y＝x即可求得C的坐标；
（2）用m表示点D坐标为（m+12，m），根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定证明△OGD≌△DPE，则有EP=DG，再根据点E在线段AC上可求得点E坐标和m的取值范围；
（3）根据点B、E坐标求出直线BE的表达式，根据题意可求得点F的坐标为（6，m），根据EF=DF﹣2m和两点间距离公式即可求得m的值．
【详解】解：（1）∵直线y＝x﹣12分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴令x=0，则y=0﹣12=﹣12，∴B（0，﹣12），
令y=0，由0=x﹣12得：x=12，∴A(12，0)，
∵过点A作x轴的垂线交直线y＝x于点C，
∴将x=12代入y＝x中，得：y=9，
∴点C坐标为（12，9）,
故答案为：（12，9）；
（2）∵D点是线段AB上一点且D点的纵坐标为m，
∴D（m+12，m），
延长EA交直线GD于P，如图1，
由题意知， ∠EPD=∠DGO=90°，P(12，m)，
∵△ODE是等腰直角三角形且∠ODE=90°，
∴OD=DE， ∠ODG=∠DEP,
∴△OGD≌△DPE（AAS），
∴EP=GD=m+12，
∴EA=EP﹣AP=2m+12，
∵E点在线段AC上，
∴E(12，2m+12)，
由0≤2m+12≤9得：﹣6≤m≤﹣，
即点E坐标为（12，2m+12），m的取值范围为﹣6≤m≤﹣；

（3）设直线BE的表达式为y=kx+b，
将B(0，﹣12)、E（12，2m+12）代入，
得：，解得：，
∴设直线BE的表达式为y= x﹣12，
由题意，将y=m代入y= x﹣12中，解得：x=6，
∴F(6，m)，
∵EF=DF﹣2m，
∴=（m+12﹣6）﹣2m，
解得：m=﹣4．
【点睛】本题考查了一次函数的综合，涉及求直线与坐标轴的交点、求两直线的交点坐标、坐标与图形、待定系数法求直线表达式、两点间距离公式、全等三角形的判定与性质、解二元一次方程组、解一元一次方程等知识，解答的关键是仔细审题，寻找知识点的关联点，利用数形结合等思想方法进行探究、推理和计算．