连云港市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份连云港市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
连云港市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1. 下列图案中是轴对称图形的是（    ）A.  B.  C.  D. 2. 下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　）A. y＝5x﹣1 B. y＝x C. y＝x2 D. y＝3. 如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，若证得BD=CD，则所用的判定两三角形全等的依据是（   ）A. 角角角 B. 角边角 C. 边角边 D. 角角边4. 在平面直角坐标系中，第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，则点M的坐标是（　　）A.  B.  C.  D. 5. △ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（   ）①∠A=∠B-∠C；②a2=(b+c)(b-c)；③∠A：∠B：∠C=3：4：5 ；  ④a：b：c=5：12：13A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个6. 如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（    ）A. －4和－3之间 B. 3和4之间 C. －5和－4之间 D. 4和5之间7. 已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y＝kx﹣k的图象大致是（    ）A.  B.  C.  D. 8. 如图是甲、乙两个动点在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（　　）A. 乙点前4秒是匀速运动，4秒后速度不断增加B. 甲点比乙点早4秒将速度提升到32cm/sC. 在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度D. 甲、乙两点到第3秒时运动的路程相等二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9. 4是_____的算术平方根．10. 以直角三角形的三边为边长向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的面积为 __．11. 如图是跷跷板示意图，支柱OC与地面垂直，点O是横板AB的中点，AB可以绕着点O上下转动，当A端落地时，∠OAC＝20°，横板上下可转动的最大角度(即∠A′OA)是_____度.12. 如图，在、轴上分别截取、，使，再分别以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点．若的坐标为，则__．13. 如图，直线与相交于点，则关于的不等式的解集为______．14. 我们知道函数的图象由无数个点组成，函数图象的平移本质上就是图象上点的平移．比如把直线向下平移3个单位，则直线经过点．若将直线向左平移2个单位，所得的直线对应的函数表达式为 __．15. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，于，则的长为 __．16. 如图1，将一张直角三角形纸片（已知，）折叠，使得点落在点处，折痕为．将纸片展平后，再沿着将纸片按着如图2方式折叠，边交于点．若是等腰三角形，则的度数可能是 __．三、解答题（本题共10小题，共102分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算：（1）；（2）求的值：．18. 已知与成正比例，且当时，．（1）求与的函数表达式；（2）当时，求的取值范围．19. 如图，点，，，在同一直线上，点，在的异侧，，，．（1）求证：．（2）若，，求的度数．20. 如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面积为35．（1）求AB的长；（2）求△ACB的面积．21. 如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）若BC=10，求△ODE的周长．22. 已知直线经过点和点，直线经过点A且与轴相交于点．（1）求直线的函数表达式；（2）已知点在直线上，过点作//轴，交直线于点．若，请求出点的横坐标．23. 在如图的平面直角坐标系中，将平移后得到△，它们的三个顶点坐标如表所示：△ （1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：向右平移　　个单位长度，再向上平移 　　个单位长度可以得到△，　　，　　；（2）若点为线段上的一点，则代数式的值是　　．24. 为了改善学校办公环境，某校计划购买、两种型号的笔记本电脑共15台，已知型笔记本电脑每台5200元，型笔记本电脑每台6400元，设购买型笔记本电脑台，购买两种型号的笔记本电脑共需要费用元．（1）求出与之间的函数表达式；（2）若因为经费有限，学校预算不超过9万元，且购买型笔记本电脑的数量不得大于型笔记本电脑数量的2倍，请问学校共有几种购买方案？哪种方案费用最省，并求出该方案所需费用．25. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．线段的垂直平分线交轴于点．（1）点的坐标为　　，点的坐标为　　；（2）试求点的坐标；（3）如图2，作直线，小明认为，直线在第二象限的部分上存在一点使得，连接，求证：//．26. （1）【问题情境】八上《伴你学》第138页有这样一个问题：如图1，把一块三角板（）放入一个“”形槽中，使三角形的三个顶点、、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，你发现线段与有什么关系？试说明你的结论；（2）【变式探究】小明在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型；如图2，在中，点、、分别在边、、上，若，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中的一组，并加以说理；（3）【拓展应用】如图3，在中，，，点、分别是边、上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，，连接．①试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由；②如图4，已知，点是的中点，连接、，直接写出的最小值．
答案与解析一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1. 下列图案中是轴对称图形的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【详解】A.不是轴对称图形，找不到任何这样的一条直线使得对折后的部分可以重合，因此不符合题意．B.不是轴对称图形，找不到任何这样的一条直线使得对折后的部分可以重合，因此不符合题意．C.是轴对称图形，沿着中间的一条直线对折，上下部分正好重合，故满足题意．D.不是轴对称图形，找不到任何这样的一条直线使得对折后的部分可以重合，因此不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了对称轴图形的概念，掌握对称轴图形的概念，寻找对称轴，使得折叠后的两部分重合才是解题的关键．2. 下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　）A. y＝5x﹣1 B. y＝x C. y＝x2 D. y＝【答案】B【解析】【分析】一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y＝kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数，据此判断即可．【详解】解：A．y＝5x﹣1不属于正比例函数，不合题意；B．y＝x属于正比例函数，符合题意；C．y＝x2不属于正比例函数，不合题意；D．y＝不属于正比例函数，不合题意；故选：B．【点睛】本题考查了正比例函数的识别，熟知形如y＝kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数是解本题的关键．3. 如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，若证得BD=CD，则所用的判定两三角形全等的依据是（   ）A. 角角角 B. 角边角 C. 边角边 D. 角角边【答案】D【解析】【详解】：∵∠1=∠2，∠3=∠4，BD=CD，∴△ABD≌△ACD（AAS），故选D．4. 在平面直角坐标系中，第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，则点M的坐标是（　　）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值，得到点M的横纵坐标可能的值，进而根据所在象限可得点M的具体坐标．【详解】解：设点M的坐标是（x，y）． ∵点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4， ∴|y|=5，|x|=4． 又∵点M在第二象限内， ∴x=-4，y=5， ∴点M的坐标为（-4，5）， 故选：C．【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是了解平面直角坐标系内各个象限点的坐标特征.5. △ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（   ）①∠A=∠B-∠C；②a2=(b+c)(b-c)；③∠A：∠B：∠C=3：4：5 ；  ④a：b：c=5：12：13A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】C【解析】【分析】根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可．【详解】解：①∠A=∠B-∠C，可得：∠B=90°，是直角三角形；
②a2=（b+c）（b-c），可得：a2+c2=b2，是直角三角形；
③∠A：∠B：∠C=3：4：5，可得：∠C=75°，不是直角三角形；
④a：b：c=5：12：13，可得：a2+b2=c2，是直角三角形；
故选：C．【点睛】此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．6. 如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（    ）A. －4和－3之间 B. 3和4之间 C. －5和－4之间 D. 4和5之间【答案】A【解析】【分析】由勾股定理求出OP，从而得到OA的长度，问题可解．【详解】由点P坐标为(－2，3)，可知OP=,又因为OA=OP,所以A的横坐标为-，介于－4和－3之间，故选A．7. 已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y＝kx﹣k的图象大致是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由正比例函数的增减性，可得，，进而可判断一次函数的图象．【详解】解：由正比例函数的增减性，可得∴∴的图象经过第一、二、四象限故选C．【点睛】本题考查了正比例函数的增减性与系数的关系，一次函数图象与系数的关系．解题的关键在于对正比例函数、一次函数知识的熟练掌握．8. 如图是甲、乙两个动点在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（　　）A. 乙点前4秒是匀速运动，4秒后速度不断增加B. 甲点比乙点早4秒将速度提升到32cm/sC. 在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度D. 甲、乙两点到第3秒时运动的路程相等【答案】D【解析】【分析】前4秒内，乙的速度时间图像是一条平行与x轴的直线，即速度不变，速度时间=路程，甲是一条过原点的直线，则速度均匀增加，求出两图像的交点坐标，3秒是两速度大小相等，3秒前甲的图像在乙的下方，所以3秒前路程不相等，图像在上方的，说明速度大．【详解】．根据图象可得，乙前4秒的速度不变，为12米秒，故A正确，不合题意；B．从图象可知，甲8秒时速度是32厘米/秒，乙12秒时速度是32厘米/秒，故B正确，不符合题意；C．在4至8秒内甲的速度图象一直在乙的上方，所以甲的速度都大于乙的速度，故C正确，不合题意．D．甲每秒增加的速度为：（米秒），（米秒），甲前3秒的运动路程为（米，乙前4秒的速度不变，为12米秒，则行驶的路程为米，所以甲、乙两点到第3秒时运动的路程不相等，故D错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了从图像获取信息，弄清函数图像表示的意义是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9. 4是_____的算术平方根．【答案】16【解析】【分析】根据算术平方根定义进行解答即可．【详解】∵42=16，∴4是16的算术平方根．【点睛】此题考查了算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．10. 以直角三角形的三边为边长向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的面积为 __．【答案】6【解析】【分析】据正方形可以计算斜边和一条直角边，则另一条直角边根据勾股定理就可以计算出来．【详解】如图，由题意得：，，，，正方形的面积为6，故答案为：6．【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是本题解题关键．11. 如图是跷跷板示意图，支柱OC与地面垂直，点O是横板AB的中点，AB可以绕着点O上下转动，当A端落地时，∠OAC＝20°，横板上下可转动的最大角度(即∠A′OA)是_____度.【答案】40【解析】【分析】根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质解答．【详解】解：∵点O是横板AB的中点∴∴∠OAC＝20°，则∠OB′A＝20°，∴∠A′OA＝20°×2＝40°．故答案为：40．【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．12. 如图，在、轴上分别截取、，使，再分别以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点．若的坐标为，则__．【答案】2【解析】【分析】由题意知，点是角平分线上的一点，且，可知点横纵坐标相等，则有，计算求解即可．【详解】解：由题意知，点是角平分线上的一点∵∴解得故答案为：2．【点睛】本题考查了角平分线的性质．解题的关键在于明确点横纵坐标相等．13. 如图，直线与相交于点，则关于的不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】观察函数图象得到，当x＞﹣1，函数y＝x+b的图象都在函数y＝kx﹣1图象的上方，于是可得到关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集．【详解】解：由图象可知两直线的交点坐标为（－1，），且当x＞﹣1，函数y＝x+b的图象在函数y＝kx﹣1图象的上方，∴关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．故答案为：x＞﹣1．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．14. 我们知道函数的图象由无数个点组成，函数图象的平移本质上就是图象上点的平移．比如把直线向下平移3个单位，则直线经过点．若将直线向左平移2个单位，所得的直线对应的函数表达式为 __．【答案】【解析】【分析】函数向上移动用y加，向左移动用x加．【详解】将直线向左平移2个单位，所得的直线对应的函数表达式为，故答案为：．【点睛】本题考查函数图像移动后的的函数表达式，掌握移动的计算方法是本题关键．15. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，于，则的长为 __．【答案】4【解析】【分析】根据勾股定理计算BC的长，再利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．【详解】由勾股定理得：，，，，是直角三角形，，，，，，，，故答案为：4．【点睛】本题考查勾股定理和直角三角形斜边高的求法，掌握这些是本题关键．16. 如图1，将一张直角三角形纸片（已知，）折叠，使得点落在点处，折痕为．将纸片展平后，再沿着将纸片按着如图2方式折叠，边交于点．若是等腰三角形，则的度数可能是 __．【答案】＃＃【解析】【分析】由翻折可得AD=BD=B′D，∠BDC=∠B′DC，所以∠BDB′=4∠A，所以∠ADF=180°-4∠A，∠AFD=∠DCF+∠CDF=3∠A，若∠ADF是等腰三角形，有三种情况：①当AD=AF时，∠ADF=∠AFD，②当AD=DF时，∠AFD=∠A，③当DF=AF时，∠ADF=∠A，然后分别列式计算即可解决问题．【详解】由翻折可知：，，，，，，，，，若是等腰三角形，有三种情况：①当时，，，解得；②当时，，，（不符合题意舍去）；③当时，，，解得．综上所述：的度数可能是或．故答案为：或．【点睛】本题考查了翻折变换，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．三、解答题（本题共10小题，共102分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算：（1）；（2）求的值：．【答案】（1）3    （2）或【解析】【分析】（1）根据算术平方根和求一个数的立方根求解即可；（2）根据算术平方根的定义解方程即可．【小问1详解】原式；【小问2详解】根据题意得：，或．【点睛】本题考查了算术平方根和求一个数的立方根，掌握算术平方根和求一个数的立方根是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根．18. 已知与成正比例，且当时，．（1）求与的函数表达式；（2）当时，求的取值范围．【答案】（1）    （2）当时，的取值范围为【解析】【分析】（1）设，把，代入求解即可；（2）分别求出当和时的值，再根据一次函数的增减性确定的取值范围．【小问1详解】解：设，把，代入得，解得，所以，所以与的函数表达式为；【小问2详解】解：当时，；当时，，所以当时，的取值范围为．【点睛】此题考查了正比例函数的解析式、一次函数的增减性，解题的关键是掌握正比例函数的解析式以及一次函数的增减性．19. 如图，点，，，在同一直线上，点，在的异侧，，，．（1）求证：．（2）若，，求的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）证△ABE≌△DCF（SAS），得∠AEB=∠DFC，即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得∠A=∠D，∠B=∠C=30°，再求出∠A=72°，然后由三角形的外角性质求解即可．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴∴，∴；（2）解：∵，∴，，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握平行线的判定，证明三角形全等是解题的关键．20. 如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面积为35．（1）求AB的长；（2）求△ACB的面积．【答案】（1）AB=10    （2）24【解析】【分析】（1）根据三角形面积公式结合已知即可求出AB；（2）推出AC、BC的平方和等于AB的平方，求出∠C=90°，根据三角形面积公式求出即可．【小问1详解】解：∵△ABE的面积为35，DE=7，DE⊥AB，
∴AB×7=35，解得：AB=10；【小问2详解】解：在△ABC中，AB2=102=100，AC2+BC2=62+82=100，则AB2=AC2+BC2，∴∠C=90°，∴S△ABC=AC•BC=×6×8=24，答：△ACB的面积24．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理、三角形的面积计算，根据勾股定理的逆定理求出∠C=90°是解题的关键．21. 如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）若BC=10，求△ODE的周长．【答案】（1）△ODE是等边三角形；理由见解析；（2）△ODE的周长为10．【解析】【分析】(1)根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到△ODE是等边三角形；(2)根据角平分线的性质及平行线的性质可得到∠DBO=∠DOB，根据等角对等边可得到DB=DO，同理可证明EC=EO，问题得解.【详解】解：（1）△ODE是等边三角形；理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°；∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°，∴△ODE为等边三角形．（2）∵BO平分∠ABC，OD∥AB，∴∠ABO=∠DBO，∠ABO=∠DOB，∴∠DOB=∠DBO，∴BD=OD；同理可证CE=OE；∴△ODE的周长=BC=10．故答案为(1)△ODE是等边三角形；理由见解析；(2)10．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形的三条边相等，三个内角都是60°是解答此题的关键．22. 已知直线经过点和点，直线经过点A且与轴相交于点．（1）求直线的函数表达式；（2）已知点在直线上，过点作//轴，交直线于点．若，请求出点的横坐标．【答案】（1）直线的函数关系式为    （2）或【解析】【分析】（1）已知A，B两点的坐标，用待定系数法求出的解析式（2）由已知条件设出M，N两点的横坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标．【小问1详解】解：设直线的表达式为，则 解得： 直线的函数关系式为：；【小问2详解】解：直线的函数关系式为：，设，由轴，得，，解得或，或．【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数解析式，求得交点坐标是解题的关键．23. 在如图的平面直角坐标系中，将平移后得到△，它们的三个顶点坐标如表所示：△ （1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：向右平移　　个单位长度，再向上平移 　　个单位长度可以得到△，　　，　　；（2）若点为线段上的一点，则代数式的值是　　．【答案】（1）2，4，1，7    （2）6【解析】【分析】（1）根据点A和B的坐标和点和的坐标可得答案 ；（2）求出A、B所在直线的解析式，然后得到答案.【小问1详解】解：根据题意可画出图形，如图：，，向上平移4个单位后得到△，，，向右平移2个单位后得到△，，，故答案为：2，4，1，7；【小问2详解】解：设所在直线解析式为，，， ，解得：，所在直线解析式为，点为线段上的一点，，即：，，故答案为：6．【点睛】本题考查了坐标与图形的变化-平移，以及一次函数的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．24. 为了改善学校办公环境，某校计划购买、两种型号的笔记本电脑共15台，已知型笔记本电脑每台5200元，型笔记本电脑每台6400元，设购买型笔记本电脑台，购买两种型号的笔记本电脑共需要费用元．（1）求出与之间的函数表达式；（2）若因为经费有限，学校预算不超过9万元，且购买型笔记本电脑的数量不得大于型笔记本电脑数量的2倍，请问学校共有几种购买方案？哪种方案费用最省，并求出该方案所需费用．【答案】（1）与之间的函数表达式为；    （2）学校共有6种购买方案，购买型电脑10台，型电脑5台时费用最省，该方案所需费用为84000元．【解析】【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）由题意易得，然后可得x的范围，然后根据一次函数的性质可进行求解．【小问1详解】解：由题意，得：，与之间的函数表达式为；【小问2详解】解：学校预算不超过9万元，购买型笔记本电脑的数量不得大于型笔记本电脑数量的2倍，，解得：，而为整数，可取5、6、7、8、9、10，学校共有6种购买方案，由，，随的增大而减小，且为整数，当时，有最小值，，此时（台，答：学校共有6种购买方案，购买型电脑10台，型电脑5台时费用最省，该方案所需费用为84000元．【点睛】本题主要考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键．25. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．线段的垂直平分线交轴于点．（1）点的坐标为　　，点的坐标为　　；（2）试求点的坐标；（3）如图2，作直线，小明认为，直线在第二象限的部分上存在一点使得，连接，求证：//．【答案】（1），    （2）    （3）见解析【解析】【分析】（1）当y＝0时，可求得A的横坐标，当y＝0时，可求得B点纵坐标，进而求得结果．（2）设OC＝a，根据AC2＝BC2列出方程可求得OC，从而求得点C坐标．（3）可证得OB＝AP，根据AC＝BC证得OC＝CP，进而求得，从而命题得证．【小问1详解】解：当时，，，点，当时，，，故答案是：，；【小问2详解】解：设，则，在中，，的垂直平分线交于点，，，，；【小问3详解】证明：当时，即时，，理由如下：，，在和中，，，，即：，，，，，．【点睛】本题考了由一次函数的解析式求点的坐标，线段垂直平分线性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是根据数量关系列方程求解．26. （1）【问题情境】八上《伴你学》第138页有这样一个问题：如图1，把一块三角板（）放入一个“”形槽中，使三角形的三个顶点、、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，你发现线段与有什么关系？试说明你的结论；（2）【变式探究】小明在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型；如图2，在中，点、、分别在边、、上，若，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中的一组，并加以说理；（3）【拓展应用】如图3，在中，，，点、分别是边、上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，，连接．①试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由；②如图4，已知，点是的中点，连接、，直接写出的最小值．【答案】【小问1】，说明见解析【小问2】，；说理见解析【小问3】①，理由见解析；②的最小值为【解析】【分析】（1）【问题情境】证明，即可求解．（2）【变式探究】利用等量代换即可求解．（3）【拓展应用】①等量代换即可求解；②在上截取，连接，作点关于的对称点，连接，，先证明，得到EM＝CM，在求出，即可确定E点在射线CE上运动，当A、E、N三点共线时，EA＋EG的值最小，最小值为AN，在中求出AN即可．【详解】（1）【问题情境】，理由如下：，，，，，，；（2）【变式探究】，；理由如下：，，，；（3）【拓展应用】①，，，，；②在上截取，连接，作点关于的对称点，连接，，，，，，，，，，，，，，，，点在射线上运动，点与的关于对称，，，当、、三点共线时，的值最小，最小值为，，，，，由对称性可知，，，点是的中点，，，，在中，，的最小值为．【点睛】本题是三角形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键．