浙江省杭州市西湖区公益中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷

2022-2023学年浙江省杭州市西湖区公益中学九年级第一学期期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）

1．若＝，则的值等于（　　）

A． B． C． D．

2．若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象经过点（﹣2，﹣1），则必在该图象上的点还有（　　）

A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，1）

3．已知⊙O的半径为5，若OP＝5.5，则点P在（　　）

A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法判断

4．抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2的顶点坐标是（　　）

A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）

5．在⊙O中，弦AB等于圆的半径，则它所对应的圆心角的度数为（　　）

A．120° B．75° C．60° D．30°

6．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，若DE∥BC，，AE＝6cm，则AC的长为（　　）

A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm

7．已知抛物线y＝a（x﹣1）2+h（a＞0）上有两点P1（﹣1，y1），P2（t，y2），当t≥3时，y1与y2大小关系为（　　）

A．y1＜y2 B．y1≤y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2

8．已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（　　）

A． B．4 C． D．5

9．抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　）

A．﹣12＜t≤3 B．﹣12＜t＜4 C．﹣12＜t≤4 D．﹣12＜t＜3

10．如图，在▱ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA＝60°，则的值是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在题中的横线上）

11．若点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝2，则AP＝　   　．（保留根号）

12．二次函数y＝﹣2x2+3x+4的图象与y轴的交点坐标是 　   　．

13．在平面直角坐标系中，把点P（1，﹣2）绕原点O顺时针旋转90°，所得到的对应点Q的坐标为 　   　．

14．如图，AD、CE是△ABC的中线，若△CDG的面积是1，则△ABC的面积为 　   　．

15．设二次函数y1＝﹣mx2+nx﹣1，y2＝﹣x2﹣nx﹣m（m，n是实数，m≠0）的最大值分别是p，q，若p+q＝0，则p＝　   　，q＝　   　．

16．矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是AB边上一点，AE＝3，连接DE，点F是BC延长线上一点，连接AF，且∠F＝∠EDC，则BF＝　   　．

三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．已知线段a，b，c满足a：b：c＝2：3：4，且a+b﹣c＝3．

（1）求线段a，b，c的长．

（2）若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长．

18．已知抛物线y＝﹣x2+2x+2．

（1）写出它的对称轴和顶点坐标；

（2）若P（m，n）为该函数图象上的一点，若﹣1≤m≤2，求n的取值范围．

19．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE＝2，CD＝8．

（1）求⊙O的半径长；

（2）连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长．

20．某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出120箱，每箱盈利60元，为了扩大销售减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出20箱．设每箱水果降价x元．

（1）当x＝10时，求销售该水果的总利润；

（2）设每天销售该水果的总利润为w元．

①求w与x之间的函数解析式；

②试判断w能否达到8200元，如果能达到，求出此时x的值；如果不能达到，求出w的最大值．

21．如图，在△ABC中，CD是角平分线，DE平分∠CDB交BC于点E，且DE∥AC．

（1）求证：CD2＝CA•CE．

（2）若＝，且AC＝14，求AD的长．

22．在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝mx2﹣6mx+8m（m为常数）．

（1）若函数y1经过点（1，3），求函数y1的表达式；

（2）若m＜0，当x时，此二次函数y随x的增大而增大，求a的取值范围；

（3）已知一次函数y2＝x﹣2，当y1•y2＞0时，求x的取值范围．

23．如图1，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，E为AD上一点，CE与BD交于点F．

（1）若AE＝CD，BD⊥CE，①求∠DEC的度数．②如图2，连接AF，当BC＝3时，求AF的值．

（2）设，记△CBF的面积为S1，四边形ABFE的面积为S2，求的最大值．

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）

1．若＝，则的值等于（　　）

A． B． C． D．

【分析】利用已知条件可设b＝3x，则a＝2x，然后把a、b代入式子中进行计算即可．

解：设b＝3x，则a＝2x，

所以＝＝．

故选：C．

【点评】本题考查了比例的性质：灵活应用比例的性质进行计算．

2．若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象经过点（﹣2，﹣1），则必在该图象上的点还有（　　）

A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，1）

【分析】根据二次函数的对称性即可判断．

解：∵二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的对称轴为y轴，

∴点（﹣2，﹣1）关于对称轴的对称点为（2，﹣1），

∴点（2，﹣1）必在该图象上，

故选：A．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．

3．已知⊙O的半径为5，若OP＝5.5，则点P在（　　）

A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法判断

【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．

解：∵⊙O的半径为5，OP＝5.5，5.5＞5，

∴点P在圆外．

故选：C．

【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离是解答此题的关键．

4．抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2的顶点坐标是（　　）

A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）

【分析】由二次函数顶点式求解．

解：∵y＝﹣2（x+1）2﹣2，

∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣2），

故选：D．

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．

5．在⊙O中，弦AB等于圆的半径，则它所对应的圆心角的度数为（　　）

A．120° B．75° C．60° D．30°

【分析】连接OA、OB，如图，通过证明△OAB为等边三角形得到∠AOB＝60°．

解：连接OA、OB，如图，

∵OA＝OB＝AB，

∴△OAB为等边三角形，

∴∠AOB＝60°，

即弦AB所对应的圆心角的度数为60°．

故选：C．

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，利用半径相等构建等腰三角形是解决问题的关键．

6．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，若DE∥BC，，AE＝6cm，则AC的长为（　　）

A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm

【分析】由DE∥BC证明△ADE∽△ABC，根据“相似三角形的对应边成比例”得＝＝，而DE＝6cm，则BC＝DE＝15cm，于是得到问题的答案．

解：∵DE∥BC，＝，

∴△ADE∽△ABC，

∴＝＝，

∵AE＝6cm，

∴AC＝AE＝×6＝15（cm），

∴AC的长为15cm．

故选：C．

【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握三角形相似的性质是解题的关键．

7．已知抛物线y＝a（x﹣1）2+h（a＞0）上有两点P1（﹣1，y1），P2（t，y2），当t≥3时，y1与y2大小关系为（　　）

A．y1＜y2 B．y1≤y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2

【分析】首先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后利用二次函数的对称性和增减性即可判断．

解：∵抛物线y＝a（x﹣1）2+h（a＞0），

∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，

∴当x＞1时，y随x的增大而增大，

∵抛物线y＝a（x﹣1）2+h（a＞0）上有两点P1（﹣1，y1），P2（t，y2），

∴点P1（﹣1，y1）关于直线x＝1的对称点（3，y1）也在抛物线y＝a（x﹣1）2+h（a＞0）上，

∵t≥3，

∴y1≤y2，

故选：B．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

8．已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（　　）

A． B．4 C． D．5

【分析】过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，根据垂径定理可得AC＝BC＝5，所以PC＝PB﹣BC＝1，根据勾股定理即可解决问题．

解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，

则OB＝7，

∵PA＝4，PB＝6，

∴AB＝PA+PB＝10，

∵OC⊥AB，

∴AC＝BC＝5，

∴PC＝PB﹣BC＝1，

在Rt△OBC中，根据勾股定理得：

OC2＝OB2﹣BC2＝72﹣52＝24，

在Rt△OPC中，根据勾股定理得：

OP＝＝＝5，

故选：D．

【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握垂径定理．

9．抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　）

A．﹣12＜t≤3 B．﹣12＜t＜4 C．﹣12＜t≤4 D．﹣12＜t＜3

【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，将一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看作y＝﹣x2﹣2x+3与函数y＝t的图象有交点，再由﹣2＜x＜3的范围确定y的取值范围即可求解．

解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，

∴b＝﹣2，

∴y＝﹣x2﹣2x+3，

∴一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看作y＝﹣x2﹣2x+3与函数y＝t的图象有交点，

∵方程在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，

当x＝﹣2时，y＝3；

当x＝3时，y＝﹣12；

函数y＝﹣x2﹣2x+3在x＝﹣1时有最大值4；

∴﹣12＜t≤4．

故选：C．

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．

10．如图，在▱ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA＝60°，则的值是（　　）

A． B． C． D．

【分析】由平行四边形的性质可求∠ADB＝30°，由直角三角形的性质可求DE＝BH﹣BH，AE＝3BH﹣BH，即可求解．

解：如图，过点B作BH⊥AD于H，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ADC+∠DAB＝180°，

∵∠ADC＝105°，

∴∠DAB＝75°，

∵AD＝BD，

∴∠DAB＝∠DBA＝75°，

∴∠BDA＝30°，

∴BD＝2BH＝AD，DH＝BH，

∴AH＝2BH﹣BH，

∵∠EBA＝60°，

∴∠BEA＝180°﹣∠DAB﹣∠ABE＝45°，

∴∠EBH＝45°＝∠BEH，

∴BH＝EH，

∴DE＝BH﹣BH，AE＝3BH﹣BH，

∴＝，

故选：D．

【点评】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在题中的横线上）

11．若点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝2，则AP＝　﹣1　．（保留根号）

【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．

解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，

且AP是较长线段；

则AP＝AB＝×2＝﹣1．

故答案为﹣1．

【点评】本题考查了黄金分割的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的．

12．二次函数y＝﹣2x2+3x+4的图象与y轴的交点坐标是 　（0，4）　．

【分析】将x＝0代入解析式求解．

解：将x＝0代y＝﹣2x2+3x+4得y＝4，

∴抛物线与y轴交点坐标为（0，4），

故答案为：（0，4）．

【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知y轴上点的横坐标为0是解题的关键．

13．在平面直角坐标系中，把点P（1，﹣2）绕原点O顺时针旋转90°，所得到的对应点Q的坐标为 　（﹣2，﹣1）　．

【分析】作PQ⊥y轴于Q，如图，把点P（1，﹣2）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'看作把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，利用旋转的性质得到∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，从而可确定P′点的坐标．

解：作PQ⊥y轴于Q，如图，

∵P（1，﹣2），

∴PQ＝1，OQ＝2，

∵点P（1，﹣2）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'相当于把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，

∴∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝1，OQ′＝OQ＝2，

∴点P′的坐标为：（﹣2，﹣1）．

故答案为：（﹣2，﹣1）．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．

14．如图，AD、CE是△ABC的中线，若△CDG的面积是1，则△ABC的面积为 　6　．

【分析】根据三角形的中线得出S△ADC＝S△AEC，进而求出S△BCE＝S△BEG+S△BDG+S△CDG＝1+1+1＝3，由此解答即可．

解：连接BG，

∵AD、CE是△ABC的中线，△CDG的面积是1，

∴S△CDG＝S△BDG，S△AEG＝S△BEG，

∵，，

∴S△ADC＝S△AEC，

∴S△AEG＝S△CDG＝1，

∴S△ADC＝S△AEC，

∵S△BCE＝S△BEG+S△BDG+S△CDG＝1+1+1＝3，

∴S△ABC＝2S△BEC＝6．

【点评】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的中线的性质是解题的关键．

15．设二次函数y1＝﹣mx2+nx﹣1，y2＝﹣x2﹣nx﹣m（m，n是实数，m≠0）的最大值分别是p，q，若p+q＝0，则p＝　0　，q＝　0　．

【分析】根据对称轴公式求出y1和y2的对称轴，再依据二次函数的图象和性质得出a＞0，存在最小值，进而得出，，，结合条件得出p+q＝0，列出方程求解即可．

解：由两函数表达式可知，

函数y1的对称轴 为x＝﹣，

函数y2的对称轴为x＝﹣，且两函数图象均开口向上，

即a＞0，否则不存在最小值，两函数均在对称轴上取到最小值，

则有，，，

若p+q＝0，则有，

解得：n2＝4m或m＝﹣1（舍去），

将n2＝4m代入p，q得：p＝q＝0，

故答案为：0，0．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴及二次函数最大（小）值的求法．

16．矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是AB边上一点，AE＝3，连接DE，点F是BC延长线上一点，连接AF，且∠F＝∠EDC，则BF＝　10　．

【分析】连接EC，过点D作DH⊥EC于H．证明CE∥AF，利用平行线分线段成比例定理，解决问题即可．

解：如图，连接EC，过点D作DH⊥EC于H．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝5，

∵AE＝3，

∴DE＝＝＝5，

∴DE＝DC，

∵DH⊥EC，

∴∠CDH＝∠EDH，

∵∠F＝∠EDC，∠CDH＝∠EDC，

∴∠CDH＝∠F，

∵∠BCE+∠DCH＝90°，∠DCH+∠CDH＝90°，

∴∠BCE＝∠CDH，

∴∠BCE＝∠F，

∴EC∥AF，

∴＝，

∴＝，

∴CF＝6，

∴BF＝CF+BC＝10．

故答案为：10．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是证明EC∥AF．

三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．已知线段a，b，c满足a：b：c＝2：3：4，且a+b﹣c＝3．

（1）求线段a，b，c的长．

（2）若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长．

【分析】（1）利用a：b：c＝2：3：4，可设a＝2k，b＝3k，c＝4k，由a+b﹣c＝3得2k+3k﹣4k＝3，然后解出k的值即可得到a、b、c的值；

（2）根据比例中项的定义得到m2＝ab，即m2＝6×9，然后根据算术平方根的定义求解．

解：（1）∵a：b：c＝2：3：4，

∴a＝2k，b＝3k，c＝4k，

∵a+b﹣c＝3，

∴2k+3k﹣4k＝3，

解得k＝3，

∴a＝6，b＝9，c＝12；

（2）∵m是a、b的比例中项，

∴m2＝ab，

∴m2＝6×9，

∴x＝3或x＝﹣3（舍去），

即线段m的长为3．

【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便．

18．已知抛物线y＝﹣x2+2x+2．

（1）写出它的对称轴和顶点坐标；

（2）若P（m，n）为该函数图象上的一点，若﹣1≤m≤2，求n的取值范围．

【分析】（1）把解析式配成顶点式，于是可得到抛物线的顶点坐标；

（3）求得x＝﹣1时的函数值，x＝1时的函数值，根据二次函数的性质即可得到n的取值范围．

解：（1）∵y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，

所以抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，3）；

（2）∵a＜0，

∴抛物线开口向下，

∵顶点坐标为（1，3），

∴x＝1时，y有最大值3，

当x＝﹣1时，y＝﹣x2+2x+2＝﹣1，

∵P（m，n）为该函数图象上的一点，﹣1≤m≤2，

∴﹣1≤n≤3．

【点评】本题考查抛物线的三种形式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质．

19．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE＝2，CD＝8．

（1）求⊙O的半径长；

（2）连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长．

【分析】（1）连接OD，如图，设⊙O的半径长为r，先根据垂径定理得到DE＝CE＝4，再利用勾股定理得到（r﹣2）2+42＝r2，然后解方程即可；

（2）先利用勾股定理计算出BC＝4，再根据垂径定理得到BF＝CF＝2，然后利用勾股定理可计算出OF的长．

解：（1）连接OD，如图，设⊙O的半径长为r，

∵AB⊥CD，

∴∠OED＝90°，DE＝CE＝CD＝×8＝4，

在Rt△ODE中，∵OE＝r﹣3，OD＝r，DE＝4，

∴（r﹣2）2+42＝r2，

解得r＝5，

即⊙O的半径长为5；

（2）在Rt△BCE中，∵CE＝4，BE＝AB﹣AE＝8，

∴BC＝＝4，

∵OF⊥BC，

∴BF＝CF＝BC＝2，∠OFB＝90°，

在Rt△OBF中，OF＝＝＝，

即OF的长为．

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．

20．某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出120箱，每箱盈利60元，为了扩大销售减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出20箱．设每箱水果降价x元．

（1）当x＝10时，求销售该水果的总利润；

（2）设每天销售该水果的总利润为w元．

①求w与x之间的函数解析式；

②试判断w能否达到8200元，如果能达到，求出此时x的值；如果不能达到，求出w的最大值．

【分析】（1）利用每箱利润＝60﹣每箱降低的价格，平均每天的销售量＝120+20×，即可求出结论；

（2）①根据“每箱利润×平均每天的销售量”，即可得到w与x之间的函数解析式；

②根据二次函数的性质求出w的最大值，与8200比较即可得到结论．

解：（1）根据题意，可知：当每箱水果降价10元时，每箱利润为60﹣10＝50（元），平均每天可售出120+20×＝160（箱）．

总利润为：50×160＝8000（元）；

（2）①由题意得w与x之间的函数解析式为w＝（60﹣x）（120+×20）＝﹣4x2+120x+7200；

②w不能达到8200元．

w＝﹣4x2+120x+7200＝﹣4（x﹣15）2+8100．

∵﹣4＜0，

∴当x＝15时，w取到最大值，

∵w最大值＝8100＜8200，

∴w不能达到8200元，

w的最大值是8100元．

【点评】本题考查了二次函数的应用，找准等量关系，正确列出函数解析式是解题的关键．

21．如图，在△ABC中，CD是角平分线，DE平分∠CDB交BC于点E，且DE∥AC．

（1）求证：CD2＝CA•CE．

（2）若＝，且AC＝14，求AD的长．

【分析】（1）由DE平分∠CDB交BC于点E，得∠EDC＝∠BDE，由DE∥AC，得∠EDC＝∠DCA，∠BDE＝∠A，则∠EDC＝∠A，而∠ECD＝∠DCA，即可证明△ECD∽△DCA，得＝，所以CD2＝CA•CE；

（2）由＝，得＝，由DE∥AC，得△BDE∽△BAC，所以＝＝，而AC＝14，则DE＝AC＝6，再证明CE＝DE，则CE＝6，即可由CD2＝AC•CE，得CD＝2，再证明AD＝CD，则AD＝2．

【解答】（1）证明：∵DE平分∠CDB交BC于点E，

∴∠EDC＝∠BDE，

∵DE∥AC，

∴∠EDC＝∠DCA，∠BDE＝∠A，

∴∠EDC＝∠DCA＝∠A，

∵CD是△ABC的角平分线，

∴∠ECD＝∠DCA，

∴△ECD∽△DCA，

∴＝，

∴CD2＝CA•CE．

（2）解：∵＝，AC＝14，

∴＝，

∴DE∥AC，

∴△BDE∽△BAC，

∴＝＝，

∴DE＝AC＝×14＝6，

∵∠ECD＝∠EDC＝∠DCA，

∴CE＝DE＝6，

∵CD2＝AC•CE，

∴CD＝＝＝2，

∵∠DCA＝∠A，

∴AD＝CD＝2，

∴AD的长为2．

【点评】此题重点考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，证明△ECD∽△DCA是解题的关键．

22．在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝mx2﹣6mx+8m（m为常数）．

（1）若函数y1经过点（1，3），求函数y1的表达式；

（2）若m＜0，当x时，此二次函数y随x的增大而增大，求a的取值范围；

（3）已知一次函数y2＝x﹣2，当y1•y2＞0时，求x的取值范围．

【分析】（1）把已知点坐标代入即可确定出所求；

（2）求出抛物线的对称轴，根据m小于0得到抛物线开口向下，利用二次函数增减性确定出a的范围即可；

（3）把各自的解析式代入已知不等式，分类讨论m的范围即可确定出x的范围．

解：（1）把（1，3）代入y1＝mx2﹣6mx+8m，得：m＝1，

则y1＝x2﹣6x+8；

（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝＝3，m＜0，

∴抛物线开口向下，当x≤3时，二次函数y随x的增大而增大，

由x＜时，此二次函数y随x的增大而增大，得到≤3，即a≤6；

（3）由题意得：y1•y2＝（mx2﹣6mx+8m）（x﹣2）＝m（x2﹣6x+8）（x﹣2）＝m（x﹣2）2（x﹣4）＞0，

当x≠2时，（x﹣2）2＞0，

∴当m＞0时，x＞4；当m＜0时，x＜4且x≠2．

【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数的性质，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

23．如图1，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，E为AD上一点，CE与BD交于点F．

（1）若AE＝CD，BD⊥CE，①求∠DEC的度数．②如图2，连接AF，当BC＝3时，求AF的值．

（2）设，记△CBF的面积为S1，四边形ABFE的面积为S2，求的最大值．

【分析】（1）①由等腰三角形的性质及平行线的性质证出∠DEC＝∠ECB＝60°，则可得出答案；

②过点F作FH⊥AD于点H，由直角三角形的性质求出FH＝DF＝，HD＝HF＝，由勾股定理可得出答案；

（2）设S△DEF＝x，证明△DEF∽△CFB，由相似三角形的性质得出，则S1＝，证明△FDH∽△BDA，由相似三角形的性质得出，求出S2＝S△DAB﹣S△DEF＝，则可得出关于k的函数表达式，由二次函数的性质可求出答案．

解：（1）①∵AE＝CE，

∴∠EAC＝∠ECA，

∵AD∥BC，

∴∠EAC＝∠ACB，

∵OB＝OC，

∴∠ACB＝∠DBC，

即∠ACB＝∠DBC＝∠ECA，

∵BD⊥CE，

∴∠BFC＝90°，

∴∠ECA+∠ACB+∠DBC＝90°，

∴∠ECA＝∠ACB＝∠DBC＝30°，

∴∠DEC＝∠ECB＝60°，

②过点F作FH⊥AD于点H，

在Rt△BCD中，∠DBC＝30°，BC＝3，

∴BD＝2，

在Rt△BFC中，∠FBC＝30°，BC＝3，

∴BF＝，

∴DF＝BD﹣BF＝，

在Rt△DHF中，∠FDH＝∠DBC＝30°，

∴FH＝DF＝，

∴HD＝HF＝，

∴AH＝AD﹣DH＝3﹣＝，

∴AF＝＝＝；

（2）设S△DEF＝x，

∵AD∥BC，

∴△DEF∽△CFB，

∴，

∴S1＝，

∵＝k，

∴，

∵FH⊥AD，

∴∠FHD＝90°，

∴∠FHD＝∠BAD，

又∵∠FDH＝∠BDA，

∴△FDH∽△BDA，

∴，

∴＝＝，

∴S△DAB＝，

∴S2＝S△DAB﹣S△DEF＝，

∴＝﹣，

∴当k＝时，的最大值为．

【点评】本题考查了矩形的性质，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．