2022-2023学年浙江省杭州市西湖区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2022-2023学年浙江省杭州市西湖区九年级上学期数学期中试题及答案，共24页。试卷主要包含了仔细选一选，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下面四组线段中，成比例的是（ ）
A a＝1，b＝2，c＝2，d＝4B. a＝2，b＝3，c＝4，d＝5
C. a＝4，b＝6，c＝8，d＝10D.
【答案】A
【解析】
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A、1×4＝2×2，故选项符合题意；
B、2×5≠3×4，故选项不符合题意；
C、4×10≠6×8，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等，同时注意单位要统一．
2. 在中，，，以为圆心，为半径作，则点与的位置关系是（ ）
A. 点在内B. 点在外C. 点在上D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】利用勾股定理求得边的长，然后通过比较与半径的长即可得到结论．
【详解】解：中，，，，
，
，
点在内，
故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是确定圆的半径和点与圆心之间的距离之间的大小关系．
3. 抛物线的顶点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
4. 如图，是的直径，弦于点，cm，cm，则半径为（ ）
A. 2cmB. 3cmC. 5cmD. 8cm
【答案】C
【解析】
【分析】设半径为cm，则cm，根据垂径定理得出cm，根据勾股定理得出，代入求出答案即可．
【详解】解：设半径为cm，则cm，cm，
，cm，过圆心，
cm，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
即的半径为5cm，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
5. 疫情防控，我们一直在坚守．某居委会组织两个检查组，分别对“居民体温”和“居民安全出行”的情况进行抽查．若这两个检查组在辖区内的某三个校区中各自随机抽取一个小区进行检查，则他们恰好抽到同一个小区的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有等情况数和他们恰好抽到同一个小区的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】将三个小区分别记为A、B、C，根据题意列表如下：
由表可知，共有9种等可能结果，其中他们恰好抽到同一个小区的有3种情况，
所以他们恰好抽到同一个小区的概率为.
故选：A．
【点睛】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6. 如图，在△ABC中，EF//BC，EG//AB，则下列式子一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理逐一判断即可．
【详解】∵EG//AB，EF//BC，
∴，
∵AC≠EC
∴不成立，
∴选项A错误；
∵EG//AB，EF//BC，
∴，，
∵AE≠EC，
∴不成立，
∴选项B错误；
∵EG//AB，EF//BC，
∴，
∵DF≠AF
∴不成立，
∴选项C错误；
∵EG//AB，EF//BC，
∴，，
∴，
∴选项D正确；
故选D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理，特别是比例中对应线段的属性保持一致是解题的关键．
7. 如图，的半径为6，是的内接三角形，连接OB、OC，若∠AOB与∠BCA互补，则线段AB的长为（ ）
A. B. 3C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】如图，过作于，证明，求解，再证明，利用勾股定理和含角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，过作于，
即有，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴平分，，
∴在中，，
又∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，垂径定理，勾股定理和含角的直角三角形的性质等知识，掌握垂径定理是解题的关键．
8. 已知二次函数， 其函数值与自变量之间的部分对应值如表所示：
点在函数图象上， 当时， 与的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由表格中的点坐标，运用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数开口方向和对称轴，结合二次函数图象对称性，得出结论．
【详解】解：从表中可知，二次函数过点，，，
则有，，
解得，，
即二次函数为：，
该二次函数开口向下，对称轴为直线，
∵，
∴由二次函数对称性得到，，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的对称性，掌握二次函数图象对称性是解题的关键．
9. 已知二次函数，点是其图象上两点，则（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】可画出抛物线的草图，先根据二次函数的对称性求得对称轴为方程，再根据图象法求解即可．
【详解】解：如图，
当和时，，
∴二次函数的对称轴为直线，
∵点是其图象上两点，且抛物线的开口向上，
∴当即时，点A到对称轴的距离比点B离对称轴的距离小，
由图象得：，
当即时，点A到对称轴的距离比点B离对称轴的距离大，
由图象得：，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解答的关键是根据二次函数的表达式和图象求出对称轴，再利用数形结合思想求解．
10. 如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，若点与圆心不重合，，则的度数是（ ）
A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°
【答案】D
【解析】
【分析】连接 ，根据直径所对圆周角是直角求出 ，根据直角三角形两锐角互余求出 ，再根据翻折的性质得到 所对的圆周角，然后根据 等于 所对的圆周角减去 所对的圆周角，计算即可得解．
【详解】解：如图，连接，
是直径，
，
，
，
，
根据翻折的性质，弧所对的圆周角为，所对的圆周角为，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理以及折叠问题的知识，根据同弦所对的两个圆周角互补求解是解题的关键，此题难度不大．
二、填空题（本题有6个小题，每题4分，共24分）
11. 已知线段a＝4，b＝16，线段c是a，b的比例中项，那么c等于___．
【答案】8
【解析】
【分析】根据线段比例中项的概念a：c＝c：b，可得c2＝ab＝64，即可求出c的值．
【详解】解：∵线段c是a、b的比例中项，
∴c2＝ab＝64，
解得：c＝±8，
又∵线段是正数，
∴c＝8．
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查线段的比，解题的关键是熟知线段比例中项的概念．
12. 如图，在中，点分别在边的反向延长线上，且．若，，则的长为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理列比例式进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，会利用平行线分线段成比例定理正确列出比例式是解答的关键．
13. 箱子内有分别标示号码1-6的球，每个号码各2颗，总共12颗．已知小茹先从箱内抽出5颗球且不将球放回箱内，这5颗球的号码分别是1、2、2、3、5．今阿纯打算从此箱内剩下的球中抽出1颗球，若箱内剩下的每颗球被他抽出的机会相等，则他抽出的球的号码，与小茹已抽出的5颗球中任意一颗球的号码相同的机率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据箱内剩下的球中的号码为1，3，4，4，5，6，6和小茹已抽出的5颗球中任意一颗球的号码相同的号码是1，3，5，根据概率公式即可得到结论．
【详解】解：∵箱内剩下的球中的号码为1，3，4，4，5，6，6，
∴阿纯打算从此箱内剩下的球中抽出1颗球与小茹已抽出的5颗球中任意一颗球的号码相同的号码是1，3，5，
∴与小茹已抽出的5颗球中任意一颗球的号码相同的机率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
14. 如图，在矩形中，，对角线的交点为，分别以为圆心，的长为半径画弧，恰好经过点，则图中阴影部分的面积为___________（结果保留）．
【答案】
【解析】
【分析】根据矩形的性质和等边三角形的判定与性质可得，，，进而可求得阴影面积．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∵对角线的交点为，分别以为圆心，的长为半径画弧，恰好经过点，
∴、边长为4的等边三角形，
∴，，
∴在中，，
则，
∴
∴图中阴影部分的面积为
，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、含的直角三角形的性质、扇形面积公式，熟练掌握相关知识的联系与运用，结合图形找的阴影面积的等量关系并正确求解是解答的关键．
15. 抛物线的图象与轴交点的横坐标为和1，则不等式的解集是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线与x轴交点的横坐标以及对应方程的实数根求得c、b，进而可求得方程的实数根，利用抛物线与x轴交点的横坐标，结合开口方向即可求解．
【详解】解：∵抛物线的图象与轴交点的横坐标为和1，
∴方程的两个实数根为和1，
∴，，即，
∴方程的两个实数根为和1，
∴抛物线的开口向下，且与x轴交点的横坐标为和1，
∴不等式的解集是，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题、解一元二次方程、二次函数与不等式的关系，能根据二次函数的图象与性质求解不等式的解集是解答的关键．
16. 如图，在中，弦与弦相交于点，，，延长至点，连接，设，则的取值范围是_______________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，根据可得到，再根据三角形的内角和定理求得，然后根据三角形的外角性质得到可得到结论．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查弧、弦、圆周角的关系、三角形的内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握弧与圆周角的关系以及三角形的外角性质是解答的关键．
三、解答题（本题有7个小题，共66分，解答需要写出必要的过程和文字说明）
17. 已知二次函数，当时，求函数的最小值和最大值．圆圆的解答过程如下：解：当时，；当时，；所以函数的最小值为0，最大值为3．圆圆的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程．
【答案】圆圆的解答过程不正确，正确的解答过程见解析
【解析】
【分析】根据二次函数的性质可判断圆圆的求解过程是否正确，然后根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：圆圆的解答过程不正确．正确的解答过程为：
根据题意知，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
∵，
∴当时，y取得最小值，此时，
当时，y取得最大值，此时，
∴当时，函数的最小值为，最大值为3．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答的关键是熟练掌握二次函数性质，特别要注意x的取值范围．
18. 的顶点都在正方形网格格点上，如图所示．
（1）将绕点A顺时针方向旋转得到(点对应点)， 画出．
（2）请找出过三点的圆的圆心， 标明圆心的位置．
【答案】（1）画图见解析
（2）画图见解析
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质画出对应的图形即可得到答案；
（2）过三点的圆的圆心，就是到三点距离相等的点，也就是线段和线段的垂直平分线的交点．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求：
【小问2详解】
解：作线段和线段的垂直平分线，交点标为点O，点O就是要所求作的点，如图所示：
【点睛】本题主要考查了旋转作图和线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
19. 在一个不透明的口袋里装有分别标注1、2的两个小球（小球除数字外，其余都相同），另有背面完全一样、正面分别写有3、4、5的三张卡片，现从口袋中任意摸出一个小球，再从这三张背面朝上的卡片中任意摸出一张，则：
（1）共有多少种结果？（请用列表或者画树状图的方法表示说明）
（2）小方和小圆选择下列两个规则中的一个做游戏：
①若两次摸出的数字，和为奇数，则小方赢，否则小圆赢；
②若两次摸出的数字，积为奇数，则小方赢，否则小圆赢．
小方想要在游戏中获胜机会更大些，他应选择哪一条规则，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）小方应选择规则①，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用列表法可得所有等可能结果．
（2）从表格中找到和为奇数与积为奇数的结果数，根据概率公式求解即可得出答案．
【小问1详解】
有6种等可能结果，
列表如下：
【小问2详解】小方应选择规则①，理由如下：
由表知，共有6种等可能结果，其中和为奇数的有3种结果，积为奇数的有2种结果，
所以按规则①小方获胜的概率为，
按规则②小方获胜的概率为，
∵，
∴小方应选择规则①．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能结果求出，再从中选出符合事件A或的结果数目，然后根据概率公式求出事件A或的概率．
20. 掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
【答案】（1）y关于x的函数表达式为；
（2）该女生在此项考试中是得满分，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可求解．
【小问1详解】
解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，
∴设，
∵经过点(0， )，
∴
解得∶
∴，
∴y关于x的函数表达式为；
【小问2详解】
解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶
∵对于二次函数，当y=0时，有
∴，
解得∶， (舍去)，
∵>6.70，
∴该女生在此项考试中是得满分．
【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是是解题的关键．
21. 如图，AB是的直径，四边形ABCD内接于，OD交AC于点E，AD=CD．
（1）求证：；
（2）若，，求BC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）先根据垂径定理推出，从而得到，再根据直径所对的圆周角是直角得到，所以，从而结论得证；
（2）设半径为r，再根据勾股定理列出方程求出r，从而求出直径AB的值，再次根据勾股定理可求出BC即可．
【详解】解：（1），
∴=
又为半径，
，
为直径，
，
（2）设圆的半径为r
，，
，
在中，
即，所以，
，O是AC，AB的中点
，
【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理的推论，掌握相关知识是解题的关键．
22. 已知二次函数．
（1）若图象过点，求抛物线顶点坐标；
（2）若图象与坐标轴只有两个交点，求的值；
（3）若函数图象上有两个不同的点，且，求证：．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）把代入求出a值，从而得到解析式，再把解析式化成顶点式即可得出答案；
（2）根据图象与坐标轴有两个交点，则图象与x轴只有一个交点，所以，求解即可；
（3）把分别代入得，，则，再根据，所以，根据二次函数的性质即可得出结论．
【小问1详解】
解：把代入得
，
解得：，
∴，
∴抛物线顶点坐标为；
【小问2详解】
解：∵图象与坐标轴有两个交点，
∴与x轴只有一个交点，
∴，
解得：；
【小问3详解】
证明：把分别代入得
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴当时，有最小值为，
但是，∵，不同的点，
∴，
∴
∴．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线与坐标交点问题，抛物线的性质，抛物线与一元二次方程关系，熟练掌握抛物线与一元二次方程关系是解题的关键．
23. 已知为的外接圆，．
（1）如图1，联结交于点，过作的垂线交延长线于点．
①求证：平分；
②设，请用含的代数式表示；
（2）如图2，若，为上的一点，且点位于两侧，作关于对称的图形，连接，试猜想三者之间的数量关系并给予证明．
【答案】（1）①见解析；②
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）①证明，可得，即可得证；②首先求出，得到，根据等边对等角得到，，在四边形中，利用内角和列出关系式，化简即可；
（2）猜想，，三者之间的数量关系为：，交于点，连接，，由已知可得；利用同弧所对的圆周角相等，得到，，由于与关于对称，于是，则得为等腰直角三角形，为直角三角形；利用勾股定理可得：，；利用得到，等量代换可得结论．
【小问1详解】
解：①连接，
则，
在和中，
，
∴，
∴，即平分；
②∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在四边形中，，
即，
化简得：；
【小问2详解】
，，三者之间的数量关系为：．理由：
延长交于点，连接，，如图，
，，
．
，．
．
．
与关于对称，
，
，
．
．
．
即．
，
，即．
在和中，
，
．
．
．
【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，勾股定理，圆周角定理及其推论，等腰直角三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形的判定与性质，轴对称的性质．根据图形的特点恰当的添加辅助线是解题的关键．A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）

0
1
2
3
4


0

1
2
3
4
5