浙江省杭州市西湖区景汇中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷

这是一份浙江省杭州市西湖区景汇中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023-2024学年浙江省杭州市西湖区景汇中学九年级第一学期开学数学试卷
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.）
1．下列环保标志图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列计算结果正确的是（　　）
A． B． C．＝2 D．
3．技术员分别从甲、乙两块小麦地中随机抽取1000株苗，测得苗高的平均数相同，方差分别为S甲2＝12（cm2），S乙2＝a（cm2），检测结果是乙地小麦比甲地小麦长得整齐，则a的值可以是（　　）
A．10 B．13 C．14 D．16
4．把一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝1化成一般形式，正确的是（　　）
A．x2+x﹣5＝0 B．x2﹣5x﹣5＝0 C．x2+x﹣7＝0 D．x2﹣5x+6＝0
5．将抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的函数关系式是（　　）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣（x﹣1）2+2
C．y＝﹣（x+1）2﹣2 D．y＝﹣（x+1）2+2
6．已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E是边AB的中点，连结OE，若△AOE的周长为15，则△ACD的周长是（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
7．若点A（﹣2，y1），B（﹣1，，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
8．如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上，以DE为边作矩形DEFG，使FG经过点C，若AD＝2，则矩形DEFG的面积是（　　）

A．2 B．4 C．2 D．4
9．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y＝的图象上，若点A的坐标为（﹣2，﹣3），则k的值为（　　）

A．1 B．﹣5 C．4 D．1或﹣5
10．如图，在矩形ABCD中，将△CDE沿DE折叠，点C与点M重合，连结EM并延长EM分别交BD，AD于点N，F，且BE＝BN，若AB＝6，BC＝8，则AF的长是（　　）

A．5﹣ B．10﹣2 C．4﹣ D．8﹣2
二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分.）
11．二次根式中字母x的取值范围是 　 　．
12．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 　 　．
13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），抛物线和与x轴的另一个交点为 　 　．

14．已知关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　 　．
15．已知点P（a，1﹣a）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，将点P先向右平移9个单位，再向下平移6个单位后得到的点仍在该函数图象上，则k的值是　 　．
16．将四块直角三角形按图示方式围成面积为10的▱ABCD，其中△ABF≌△CDH，其内部四个顶点构成正方形EFGH，若∠ABF＝45°，则CD的长为 　 　．

三、解答题（共8小题，满分66分）
17．（1）计算：．
（2）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
18．已知抛物线y＝ax2+2x（a≠0）的图象经过点A（1，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请写出自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大．
19．已知：如图，在菱形ABCD中，过顶点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，连结EF．
（1）求证：△DEF为等腰三角形．
（2）若∠DEF＝66°，求∠A的度数．

20．为了了解某种电动汽车的性能，某机构对这种电动汽车进行抽检，获得如图中不完整的统计图，其中A，B，C，D表示一次充电后行驶的里程数分别为150km，180km，210km．
（1）这次被抽检的电动汽车共有几辆？补全条形统计图．
（2）求这次被抽检的电动汽车一次充电后行驶的里程数的中位数和众数．
（3）估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为多少km？
21．2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
22．如图，在▱ABCD中，O为线段AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°．
（1）求证：四边形ABDE是矩形；
（2）连接OC，若AB＝2，，求OC的长．

23．在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（k是常数，且k≠0）的图象经过点A（a﹣1，2）．
（1）若a＝4，求y关于x的函数表达式；
（2）点B（﹣2，b）也在反比例函数y的图象上．
①当﹣2＜b≤﹣1，求a的取值范围；
②若B在第二象限，求证：2b﹣a＞﹣1．
24．如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上（不与点B，C重合），连结AE．点D关于直线AE的对称点为P，连结PA，PB，PD，PD交AE于点F，延长PB交AE的延长线于点H．
（1）依题意补全图形，并判断AP与AB是否相等．
（2）求∠AHB的度数．
（3）求证：BH+PH＝AH．



参考答案
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.）
1．下列环保标志图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意；
C．既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．下列计算结果正确的是（　　）
A． B． C．＝2 D．
【分析】根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；根据二次根式的性质对C、D选项进行判断．
解：A．3与2不能合并，所以A选项不符合题意；
B． ﹣＝2﹣＝，所以B选项不符合题意；
C． （）2＝2，所以C选项符合题意；
D． ＝5，所以D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键．
3．技术员分别从甲、乙两块小麦地中随机抽取1000株苗，测得苗高的平均数相同，方差分别为S甲2＝12（cm2），S乙2＝a（cm2），检测结果是乙地小麦比甲地小麦长得整齐，则a的值可以是（　　）
A．10 B．13 C．14 D．16
【分析】根据方差的定义进行判断．
解：∵苗高的平均数相同，乙地小麦比甲地小麦长得整齐，
∴S甲2＞S乙2，
即a＜12，选项A符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了方差的知识，掌握一组数据的极差越大，这组数据的波动范围就越大，这组数据就越不稳定．反之，越小越稳定是关键．
4．把一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝1化成一般形式，正确的是（　　）
A．x2+x﹣5＝0 B．x2﹣5x﹣5＝0 C．x2+x﹣7＝0 D．x2﹣5x+6＝0
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）的一般形式，a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项，可得答案．
解：（x﹣2）（x+3）＝1，
x2+x﹣6＝1，
x2+x﹣7＝0，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
5．将抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的函数关系式是（　　）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣（x﹣1）2+2
C．y＝﹣（x+1）2﹣2 D．y＝﹣（x+1）2+2
【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，﹣2）；
可设新抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+k代入得：y＝﹣（x+1）2﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
6．已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E是边AB的中点，连结OE，若△AOE的周长为15，则△ACD的周长是（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
【分析】根据平行四边形性质得到AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC＝AC，根据三角形中位线的判定与性质求出OE＝BC＝AD，CD＝AB＝2AE，根据三角形周长定义求解即可．
解：如图，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC＝AC，
∵点E是边AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，CD＝AB＝2AE，
∴OE＝BC＝AD，
∵△AOE的周长＝AE+OE+OA＝15，
∴△ACD的周长＝CD+AD+AC＝2AE+2OE+2OA＝2（AE+OE+OA）＝30，
故选：D．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理，熟记平行四边形的性质、三角形中位线定理是解题的关键．
7．若点A（﹣2，y1），B（﹣1，，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【分析】把点A（﹣2，y1），B（﹣1，，y2），C（1，y3）代入反比例函数的关系式求出y1，y2，y3，比较得出答案．
解：∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，，
∴y1＝3，y2＝6，y3＝﹣6，
∴y3＜y1＜y2，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法．
8．如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上，以DE为边作矩形DEFG，使FG经过点C，若AD＝2，则矩形DEFG的面积是（　　）

A．2 B．4 C．2 D．4
【分析】连接CE，则△DCE的面积为2，而矩形的面积是△DCE面积的2倍，所以矩形的面积为4．
解：连接CE，过点C作CH⊥DE，如图：

则S△DCE＝＝2，
∴S矩形DEFG＝2S△DCE＝2×2＝4．
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质和矩形的面积，正确作出辅助线是解题关键．
9．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y＝的图象上，若点A的坐标为（﹣2，﹣3），则k的值为（　　）

A．1 B．﹣5 C．4 D．1或﹣5
【分析】根据矩形的对角线将矩形分成面积相等的两个直角三角形，找到图中的所有矩形及相等的三角形，即可推出S四边形CEOF＝S四边形HAGO，根据反比例函数比例系数的几何意义即可求出k2+4k+1＝6，再解出k的值即可．
解：如图：
∵四边形ABCD、HBEO、OECF、GOFD为矩形，
又∵BO为四边形HBEO的对角线，OD为四边形OGDF的对角线，
∴S△BEO＝S△BHO，S△OFD＝S△OGD，S△CBD＝S△ADB，
∴S△CBD﹣S△BEO﹣S△OFD＝S△ADB﹣S△BHO﹣S△OGD，
∴S四边形CEOF＝S四边形HAGO＝2×3＝6，
∴xy＝k2+4k+1＝6，
解得，k＝1或k＝﹣5．
故选：D．

【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义、矩形的性质、一元二次方程的解法，关键是判断出S四边形CEOF＝S四边形HAGO．
10．如图，在矩形ABCD中，将△CDE沿DE折叠，点C与点M重合，连结EM并延长EM分别交BD，AD于点N，F，且BE＝BN，若AB＝6，BC＝8，则AF的长是（　　）

A．5﹣ B．10﹣2 C．4﹣ D．8﹣2
【分析】由矩形的性质得∠C＝90°，AD＝BC＝8，AD∥BC，CD＝AB＝6，则BD＝＝10，由BE＝BN，得∠BEN＝∠BNE，即可证明∠DFN＝∠DNF，则DF＝DN，由折叠得MD＝CD＝6，ME＝CE，∠DME＝∠C＝90°，∠FED＝∠CED，而∠FDE＝∠CED，所以∠FED＝∠FDE，则EF＝DF＝DN，设ME＝CE＝m，则BE＝BN＝8﹣m，EF＝DF＝DN＝2+m，可求得MF＝EF﹣ME＝2，则DF＝＝2，所以AF＝8﹣2，于是得到问题的答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，
∴∠C＝90°，AD＝BC＝8，AD∥BC，CD＝AB＝6，
∴BD＝＝＝10，
∵BE＝BN，
∴∠BEN＝∠BNE，
∵∠BEN＝∠DFN，∠BNE＝∠DNF，
∴∠DFN＝∠DNF，
∴DF＝DN，
由折叠得MD＝CD＝6，ME＝CE，∠DME＝∠C＝90°，∠FED＝∠CED，
∵∠FDE＝∠CED，
∴∠FED＝∠FDE，
∴EF＝DF＝DN，
设ME＝CE＝m，则BE＝BN＝8﹣m，
∴EF＝DF＝DN＝10﹣（8﹣m）＝2+m，
∴MF＝EF﹣ME＝2+m﹣m＝2，
∵∠DMF＝180°﹣∠DME＝90°，
∴DF＝＝＝2，
∴AF＝AD﹣DF＝8﹣2，
故选：D．
【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、二次根式的化简等知识，证明∠FED＝∠FDE是解题的关键．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分.）
11．二次根式中字母x的取值范围是 　x≤2023　．
【分析】根据二次根式有意义的条件解答即可．
解：由题意得，
2023﹣x≥0，
∴x≤2023，
故答案为：x≤2023．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 　6　．
【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2＝6，
∴这个多边形的边数为6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），抛物线和与x轴的另一个交点为 　（3，0）　．

【分析】根据抛物线的对称性即可得出结论．
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），
∴抛物线和与x轴的另一个交点为（3，0），
故答案为：（3，0）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的对称性，关键是对函数性质的应用．
14．已知关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　m＜　．
【分析】根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×2m＝1﹣8m＞0，
解得：m＜．
故答案为：m＜．
【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式Δ＞0”是解题的关键．
15．已知点P（a，1﹣a）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，将点P先向右平移9个单位，再向下平移6个单位后得到的点仍在该函数图象上，则k的值是　﹣12　．
【分析】根据平移的特性写出点Q的坐标，由点P、Q均在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，即可得出k＝2n＝3（n﹣1），解得即可．
解：∵点P的坐标为（a，1﹣a），
∴将点P先向右平移9个单位，再向下平移6个单位得到点为（a+9，1﹣a﹣6），即（a+9，﹣5﹣a）
依题意得：k＝a（1﹣a）＝（a+9）（﹣5﹣a），
解得：a＝﹣3，
∴k＝﹣3（1+3）＝﹣12，
故答案为：﹣12．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义，解题的关键：由P点坐标表示出平移后的点的坐标．
16．将四块直角三角形按图示方式围成面积为10的▱ABCD，其中△ABF≌△CDH，其内部四个顶点构成正方形EFGH，若∠ABF＝45°，则CD的长为 　　．

【分析】根据正方形的性质得到EF＝FG＝HG＝EH，∠AFG＝∠FEH＝∠EHG＝∠FGH＝90°，求得∠AED＝∠AFB＝∠CHD＝∠AED＝90°，得到AF＝BF，根据全等三角形的性质得到AF＝BF＝CH＝DH，设EF＝FG＝HG＝EH＝x，AF＝BF＝CH＝DH＝y，根据三角形的面积公式和勾股定理即可得到结论．
解：∵四边形EFGH是正方形，
∴EF＝FG＝HG＝EH，∠AFG＝∠FEH＝∠EHG＝∠FGH＝90°，
∴∠AED＝∠AFB＝∠CHD＝∠AED＝90°，
∵∠ABF＝45°，
∴AF＝BF，
∵△ABF≌△CDH，
∴AF＝BF＝CH＝DH，
设EF＝FG＝HG＝EH＝x，AF＝BF＝CH＝DH＝y，
∴BG＝DE＝x+y，AE＝CG＝x﹣y，
∴▱ABCD＝2×y2+2×（y﹣x）（y+x）+x2＝10，
∴2y2＝10，
∴CD＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．
三、解答题（共8小题，满分66分）
17．（1）计算：．
（2）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
【分析】（1）先将化为，2×化为2，即可求解；
（2）先将方程两边同时加上5进行配方，再进行求解．
解：（1）原式＝×2﹣2
＝﹣2
＝﹣；
（2）∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x﹣1+5＝5，
∴x2﹣4x+4＝5，
∴（x﹣2）2＝5，
∴x﹣2＝±，
∴x＝2+或x＝2﹣．
【点评】本题考查解一元二次方程，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和二次根式混合运算的运算法则．
18．已知抛物线y＝ax2+2x（a≠0）的图象经过点A（1，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请写出自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大．
【分析】（1）用待定系数法求出解析式即可；
（2）求出二次函数图象的对称轴，根据抛物线性质可得答案．
解：（1）把A（1，3）代入y＝ax2+2x得：
3＝a+2，
解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x；
（2）∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴抛物线y＝x2+2x的对称轴为直线x＝﹣1，
∵1＞0，
∴抛物线y＝x2+2x的开口向上，
∴当x≥﹣1时，y随x的增大而增大．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法求出二次函数解析式．
19．已知：如图，在菱形ABCD中，过顶点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，连结EF．
（1）求证：△DEF为等腰三角形．
（2）若∠DEF＝66°，求∠A的度数．

【分析】（1）利用菱形的性质得到AD＝CD，∠A＝∠C，进而利用AAS证明两三角形全等，进而利用全等三角形的性质和等腰三角形的判定解答即可；
（2）求出∠DEF＝∠DFE＝66°，由菱形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠A＝∠C，
∵DE⊥BA，DF⊥CB，
∴∠AED＝∠CFD＝90°，
在△ADE和△CDF，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴DE＝DF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）解：∵DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE＝66°，
∴∠BEF＝∠BFE＝90°﹣66°＝24°，
∴∠B＝180°﹣24°﹣24°＝132°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠A＝180°﹣∠B＝48°．
【点评】本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握菱形的性质以及AAS证明两三角形全等，此题难度一般．
20．为了了解某种电动汽车的性能，某机构对这种电动汽车进行抽检，获得如图中不完整的统计图，其中A，B，C，D表示一次充电后行驶的里程数分别为150km，180km，210km．
（1）这次被抽检的电动汽车共有几辆？补全条形统计图．
（2）求这次被抽检的电动汽车一次充电后行驶的里程数的中位数和众数．
（3）估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为多少km？
【分析】（1）根据条形统计图和扇形图可知，将一次充电后行驶的里程数分为B等级的有30辆电动汽车，所占的百分比为30%，用30÷30%即可求出电动汽车的总量；根据各组频数之和等于总数求得A的频数，即可补全统计图；
（2）根据众数和中位数的定义可得；
（3）用总里程除以汽车总辆数，即可解答．
解：（1）这次被抽检的电动汽车共有：30÷30%＝100（辆），
A等级电动汽车的辆数为：100﹣30﹣40﹣20＝10（辆），
补全条形统计图如图所示：

（2）一次充电后行驶的里程数为210千米的电动车最多，有40辆，
∴被抽检的电动汽车一次充电后行驶的里程数的众数为210；
∵100两电动车行驶的第50、51个里程数为210千米、210千米，
∴被抽检的电动汽车一次充电后行驶的里程数的中位数为＝210；
（3）这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为：×（10×150+30×180+40×210+20×240）＝201（千米），
∴估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为201千米．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、众数及中位数的定义，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
21．2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
【分析】（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，利用6月份的销售量＝4月份的销售量×（1+该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣35）元，月销售量为400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）件，利用月销售利润＝每件的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
解：（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）．
答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%；
（2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣35）元，月销售量为400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）件，
根据题意得：（y﹣35）（1560﹣20y）＝8400，
整理得：y2﹣113y+3150＝0，
解得：y1＝50，y2＝63（不符合题意，舍去）．
答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．如图，在▱ABCD中，O为线段AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°．
（1）求证：四边形ABDE是矩形；
（2）连接OC，若AB＝2，，求OC的长．

【分析】（1）证△AOB≌△DOE（ASA），得AB＝DE，再证四边形ABDE是平行四边形，然后证∠BDE＝90°，即可得出结论；
（2）过点O作OF⊥DE于点F，由矩形的性质得DE＝AB＝2，OD＝OE，再由等腰三角形的性质得DF＝EF＝DE＝1，则OF为△BDE的中位线，得，然后由平行四边形的性质得CD＝AB＝2，进而由勾股定理即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵O为AD的中点，
∴AO＝DO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAO＝∠EDO，
又∵∠AOB＝∠DOE，
∴△AOB≌△DOE（ASA），
∴AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∴平行四边形ABDE是矩形；
（2）解：如图，过点O作OF⊥DE于点F，

∵四边形ABDE是矩形，
∴DE＝AB＝2，OD＝AD，OB＝OE＝BE，AD＝BE，
∴OD＝OE，
∵OF⊥DE，
∴DF＝EF＝DE＝1，
∴OF为△BDE的中位线，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝2，
∴CF＝CD+DF＝3，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：OC＝＝＝，
即OC的长为．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
23．在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（k是常数，且k≠0）的图象经过点A（a﹣1，2）．
（1）若a＝4，求y关于x的函数表达式；
（2）点B（﹣2，b）也在反比例函数y的图象上．
①当﹣2＜b≤﹣1，求a的取值范围；
②若B在第二象限，求证：2b﹣a＞﹣1．
【分析】（1）a＝4可知点A的坐标，代入解析式即可求出k值，即可得到解析式；
（2）①反比例函数的图象经过点A（a﹣1，2）B（﹣2，b）也在反比例函数图象上，2（a﹣1）＝﹣2b，b＝1﹣a，﹣2＜b≤﹣1，即﹣2＜1﹣a≤﹣1，0≤a＜1．
②b＝1﹣a，a＝1﹣b，B在第二象限，b＞0，b﹣1＞﹣1，﹣a＝b﹣1＞﹣1，2b﹣a＞﹣1．
解：（1）若a＝4，则A（3，2），
∴k＝2×3＝6，
∴反比例函数解析式为：y＝；
（2）①∵反比例函数的图象经过点A（a﹣1，2）B（﹣2，b）也在反比例函数图象上，
∴2（a﹣1）＝﹣2b，
∴b＝1﹣a，
∵﹣2＜b≤﹣1，即﹣2＜1﹣a≤﹣1，
解得：2≤a＜3．
②∵b＝1﹣a，
∴a＝1﹣b
∵B在第二象限，b＞0，
∴b﹣1＞﹣1，
∴﹣a＝b﹣1＞﹣1，
∴2b﹣a＞﹣1．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点满足函数关系式．
24．如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上（不与点B，C重合），连结AE．点D关于直线AE的对称点为P，连结PA，PB，PD，PD交AE于点F，延长PB交AE的延长线于点H．
（1）依题意补全图形，并判断AP与AB是否相等．
（2）求∠AHB的度数．
（3）求证：BH+PH＝AH．

【分析】（1）按要求补全图形，由AE垂直平分PD，得AP＝AD，由四边形ABCD是正方形，得AB＝AD，所以AP＝AB；
（2）延长PA到点L，由AP＝AB，AP＝AD，得∠APB＝∠ABP，∠APD＝∠ADP，则∠LAB＝2∠APB，∠LAD＝2∠APD，所以∠APB＝∠LAB，∠APD＝∠LAD，则∠HPD＝∠APB﹣∠APD＝（∠LAB﹣∠LAD）＝∠BAD＝45°，所以∠AHB＝90°﹣∠HPD＝45°；
（3）连结并延长HD，作AK⊥AH交HD的延长线于点K，由AE垂直平分PD，点H在直线AE上，得DH＝PH，所以∠AHK＝∠AHB＝45°，则∠K＝∠AHK＝45°，所以AK＝AH，HK＝＝AH，再证明△DAK≌△BAH，得DK＝BH，则BH+PH＝DK+DH＝HK＝AH．
【解答】（1）解：如图1，连结PA，PB，PD，PD交AE于点F，延长BP、AE交于点H，
AP＝AB，理由如下：
∵点P与点D关于直线EF对称，
∴AE垂直平分PD，
∴AP＝AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∴AP＝AB．
（2）解：如图1，延长PA到点L，
∵AP＝AB，AP＝AD，
∴∠APB＝∠ABP，∠APD＝∠ADP，
∴∠LAB＝∠APB+∠ABP＝2∠APB，∠LAD＝∠APD+∠ADP＝2∠APD，
∴∠APB＝∠LAB，∠APD＝∠LAD，
∵∠BAD＝90°，
∴∠HPD＝∠APB﹣∠APD＝（∠LAB﹣∠LAD）＝∠BAD＝45°，
∵∠PFH＝90°，
∴∠AHB＝90°﹣∠HPD＝45°，
∴∠AHB的度数是45°．
（3）证明：如图2，连结并延长HD，作AK⊥AH交HD的延长线于点K，
∵AE垂直平分PD，点H在直线AE上，
∴DH＝PH，
∴∠AHK＝∠AHB＝45°，
∵∠HAK＝90°，
∴∠K＝∠AHK＝45°，
∴AK＝AH，
∴HK＝＝＝AH，
∵∠HAK＝∠BAD＝90°，
∴∠DAK＝∠BAH＝90°﹣∠DAH，
在△DAK和△BAH中，
，
∴△DAK≌△BAH（SAS），
∴DK＝BH，
∴BH+PH＝DK+DH＝HK，
∴BH+PH＝AH．


【点评】此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、勾股定得、全等三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．