2023届新疆维吾尔自治区喀什第六中学高三上学期9月实用性月考（一）数学（理）试题含解析

2023届新疆维吾尔自治区喀什第六中学高三上学期9月实用性月考（一）数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，N为自然数集，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据集合的交集运算，即可求解.

【详解】由已知，故选C.

2．若复数，则（    ）

A．25 B．7 C．5 D．

【答案】C

【分析】先利用复数的运算求出的代数形式，从而得到的代数形式，然后由模的计算公式求解即可．

【详解】解：因为，所以，故．

故选：C．

3．已知为非零向量，若，则

A．方向相同，且 B．方向相反，且

C．方向相同，且 D．方向相反，且

【答案】D

【详解】试题分析：根据题意可得：方向相反，且，故选择D

【解析】向量的线性关系

4．的展开式中含的项的系数为

A．30 B．60 C．90 D．120

【答案】B

【分析】展开式含的项来自，展开式通项为，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式中的项的系数，从而可得结果.

【详解】展开式含的项来自，

展开式通项为，

令，

展开式中的系数为，

所以的展开式中含的项的系数为

为，故选B.

【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.

5．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用函数的奇偶性，单调性以及特殊值即可.

【详解】函数为奇函数，故A错误；

，故D错误；

当x趋向于正无穷时，函数值也趋向于正无穷，故C错误；

当x从大于0的方向趋向于0时，函数值也趋向于 正无穷，故B正确；

故选：B．

6．若实数，满足，则点到直线的距离的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】讨论实数，化简方程式，结合图象求得距离最值即可.

【详解】当时；当时；

当时，如图所示：

直线与渐近线的距离

点到的距离，所以当时上的点到直线的最大距离为

综上：点到直线的距离的取值范围是，

故选：C．

【点睛】讨论实数，化简方程式，数形结合是解题的关键.

7．已知角是的一个内角，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充要条件的定义判断即可.

【详解】因为 是三角形内角， ，

由可得或，即 或 ，

即由p不能推出q；

由可得，可以推出 ，

因此“ ”，是“ ”的必要不充分条件；

故选：B.

8．数列满足，，则数列的前项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由数列的递推关系知奇数项构成等差数列，偶数项构成等比数列，由此可分组求和.

【详解】解：因为且为奇数时，

所以所有奇数项构成为首项，为公差的等差数列，

又因为且为偶数时，，

即所有偶数项构成为首项，为公比的等比数列，

所以

.

故选：D.

9．一个正四棱锥的侧棱长为10，底面边长为，该四棱锥截去一个小四棱锥后得到一个正四棱台，正四棱台的侧棱长为5，则正四棱台的高为（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】B

【分析】根据原正四棱锥的几何关系求得其高，再结合正四棱台的侧棱长即可求得其高.

【详解】根据题意，正四棱台是由原正四棱锥过侧棱的中点且与底面平面的平面截得的，

如下所示：

对原正四棱锥，，故其高，

又△△，其相似比为，故正四棱台的高.

故选：.

10．将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）＝4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣2x2的最大值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意利用函数的图象变换规律，得到的解析式，再利用余弦函数的图象的值域，求出，的值，可得的最大值．

【详解】将函数的图象向右平移 个单位，再向上平移一个单位，

得到g（x）＝sin（2x﹣+）+1＝﹣cos2x+1 的图象，

故g（x）的最大值为2，最小值为0，

若g（）g（）＝4，则g（）＝g（）＝2，或g（）＝g（）＝﹣2（舍去）．

故有 g（）＝g（）＝2，即 cos2＝cos2＝﹣1，

 又，x2∈[﹣2π，2π]，∴2，2∈[﹣4π，4π]，要使﹣2取得最大值，

则应有 2＝3π，2＝﹣3π，

故 ﹣2取得最大值为+3π＝．

 故选A．

【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的图象的值域，属于中档题．

11．已知椭圆的焦点为，等轴双曲线的焦点为，，若四边形是正方形，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据椭圆和双曲线的焦距相等列方程，然后整理可得.

【详解】由题意知，椭圆和双曲线的焦距相等，所以有，整理得，所以.

故选：C

12．已知，则下列不等式不成立的是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，以及不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出不等式不成立的选项.

【详解】依题意，由于为定义域上的减函数，故，故A选项不等式成立.由于为定义域上的增函数，故，则，所以B选项不等式不成立，D选项不等式成立.由于，故，所以C选项不等式成立.综上所述，本小题选B.

【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的性质，属于基础题.

二、填空题

13．等差数列中，若，为方程的两根，则等于__________．

【答案】15

【分析】由根与系数关系得，利用等差中项的性质即可求的值.

【详解】∵为方程的两根，

∴，由等差数列的性质得，即，

∴由等差中项的性质，．

故答案为：15.

14．曲线在点处的切线方程为___________.

【答案】

【解析】利用切点和斜率求得切线方程.

【详解】，即切点为，

，即斜率为，

所以切线方程为，即.

故答案为：

15．如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，，若，，则三棱锥的外接球表面积为___________.

【答案】

【分析】根据三角形均为直角三角形，且面，可判断球心的位置为中点，进而根据几何关系可求半径.

【详解】∵平面，平面，∴，又，∴

取中点分别为,连接,

由于,平面,所以平面,

因为底面为菱形，所以，，且，所以,即是三角形外接圆的圆心，因此球心在直线上，

又,所以,因此可得为球心，

又，

∴.

故答案为：

【点睛】16．已知函数满足如下条件：①函数在上单调递增；②函数恒成立，满足上述两个条件的一个函数解析式是___________.

【答案】（不唯一）

【分析】结合已知条件及常见函数可得.

【详解】由指数函数定义域为R，值域为，结合条件，

所以函数可为.

故答案为：（不唯一）.

三、解答题

17．垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理．某省为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据，其中和分别表示第i个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨），并计算得，，，，．

(1)请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合；

(2)求y关于x的线性回归方程，用所求回归方程预测该省10万人口的县城年垃圾产生总量约为多少吨．

【答案】(1)答案见解析

(2)252.5吨

【分析】（1）利用相关系数公式，代入相关数据即可求得，进而说明可用线性回归模型进行拟合；

（2）利用最小二乘法，代入相关数据求得，再利用求得，得到，当时，可以估计该县城年垃圾产生总量.

【详解】（1）由题意知，相关系数．

因为y与x的相关系数接近1，所以y与x之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合．

（2）由题意可得，，，，

所以，故．

当时，，所以该市10万人口的县城年垃圾产生总量约为252.5吨．

18．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=2csinB．

（1）求角C的大小；

（2）若c2=（a﹣b）2+4，求△ABC的面积．

【答案】（1）（2）

【详解】试题分析：（1）利用正弦定理化边为角，求出sinC=，结合三角形为锐角三角形求得C值；

（2）把已知等式展开，结合余弦定理求出ab的值，代入三角形面积公式得答案．

解：（1）由正弦定理，

得b=2Rsinb，c=2Rsinc，代入b=2csinB，

得sinB=2sinC×sinB，

∵sinB≠0，∴sinC=，

又△ABC为锐角三角形，∴C=；

（2）由c2=（a﹣b）2+4，得c2=a2+b2﹣2ab+4，

即c2﹣a2﹣b2=﹣2ab+4，

由余弦定理可得，c2﹣a2﹣b2=﹣2ab×cosC，

∴，即，

即，

则．

【解析】余弦定理的应用．

19．如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1，侧面ABB1A1为菱形，侧面ACC1A1为正方形，侧面ABB1A1⊥侧面ACC1A1．

（1）求证：A1B⊥平面AB1C；

（2）若AB＝2，∠ABB1＝60°，求三棱锥C1－COB1的体积．

【答案】（1）详见解析；（2）.

【分析】（1）先根据面面垂直的性质定理得到平面，由此得到，结合菱形的几何性质得到，进而证得平面.（2）先证得平面，由此将所求几何体的体积，转化为三棱锥的体积.由（1）得为三棱锥的高，根据三棱锥的体积公式计算出所求几何体的体积.

【详解】解：（1）因为侧面侧面，侧面为正方形，所以平面，,    又侧面为菱形，所以，所以平面.

（2）因为，所以，平面，所以，三棱锥的体积等于三棱锥的体积;     平面，所以为三棱锥的高，

因为，,

所以

【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查面面垂直的性质定理的应用，考查等体积法求体积，考查锥体的体积计算，考查空间想象能力以及逻辑推理能力，属于中档题.

20．若数列的前项和为，且满足等式.

（1）求数列的通项公式；

（2）能否在数列中找到这样的三项，它们按原来的顺序构成等差数列？说明理由；

（3）令，记函数的图像在轴上截得的线段长为，设，求，并证明：.

【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析；（3），证明见解析.

【分析】（1）由递推式，结合的关系易得是首项为，公比为的等比数列，写出通项公式即可.

（2）令有成等差数列，利用等差中项的性质可得，再结合的取值范围，易得矛盾结论，即证存在性.

（3）由题设可得，再应用裂项相消法求，最后由放缩法得，即可证结论.

【详解】（1）当时，，则，

当时，，则，

∴是首项为，公比为的等比数列，

∴，.

（2）若，有成等差数列，则，

∴，即，整理有，又，

∴，故，与矛盾，故数列中找不到三项，它们按原来的顺序构成等差数列.

（3）由（1）知：，则，

又，

∴

∴，得证.

【点睛】关键点点睛：第二问，应用等差中项的性质及反证法证明；第三问，首先确定x轴交点距离通项，再应用裂项相消法求，最后由放缩法求证结论.

21．已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，求证：函数存在极小值；

(3)请直接写出函数的零点个数.

【答案】(1)；

(2)详见解析；

(3)当或时，函数有一个零点，当或时，函数有两个零点.

【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义即得；

（2）讨论函数在区间和上的符号即可推理作答；

（3）在时，分离参数，构造函数，再探讨在上的零点情况即可作答.

【详解】（1）由函数求导得，

，则，而，

所以曲线在点处的切线方程是；

（2）函数的定义域为，由（1）知，，

因为，则当时，，，，

则有，函数在上递减，

当时，，，，

则有，函数在上递增，

于是得当时，函数取得极小值，

所以当时，函数存在极小值；

（3）函数的定义域为，

由，可得，

显然是函数的零点，

当时，函数的零点即为方程的解，

令，则，

令，则，

当时，，当时，，

函数在上递增，在上递减，

，，

即有，在，上都递减，

令，，

当时，，当时，，

在上递增，在上递减，，

即，恒有，当且仅当时取“=”，

当时，，当时，，

因此，在上单调递减，取值集合为，在上递减，取值集合为，

于是得当或时，方程有唯一解，当或时，此方程无解，

所以，当或时，函数有一个零点，当或时，函数有两个零点.

【点睛】利用导数研究零点问题：

（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；

（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；

（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.

22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ.

（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知点P（1，0），若直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值.

【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）直线的参数方程消去参数，能求出直线的直角坐标方程；由曲线的极坐标方程，能求出曲线的直角坐标方程．

（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的方程，利用韦达定理由此能求出的值．

【详解】解：（Ⅰ）直线的参数方程为为参数），

直线的直角坐标方程为．

曲线的极坐标方程为，

曲线的直角坐标方程为．

（Ⅱ）将 直线的参数方程为为参数）代入曲线的方程，得：

，

，

．

【点睛】本题考查直线的直角坐标方程、曲线的直角坐标方程、两线段的倒数和的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．

23．已知函数．

（1）若，求不等式的解集；

（2）若不等式有解，求实数的取值范围．

【答案】（1）（－2，3）；（2）．

【分析】（1）先求出的解析式，然后分三种情况解不等式即可；

（2）由于，所以要有解，只要，然后可求得实数的取值范围

【详解】解：（1）当时，

则由得，或，或

解得，或，或，

因此不等式的解集是（－2，3）．

（2），

若不等式有解，则，

当时，，得或．

当时，恒成立．

综上可知，实数的取值范围是．