2024届新疆乌鲁木齐市第六十一中学高三上学期第一次月考数学（理）试题含解析

这是一份2024届新疆乌鲁木齐市第六十一中学高三上学期第一次月考数学（理）试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出集合再求交集即可.
【详解】，，
则.
故选：B.
2．若命题p：是真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由命题为真可知方程有解，再根据根判别式求参即可.
【详解】因为命题p：是真命题
所以方程有实根，
所以，解得.
故选：B．
3．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】平方后比较大小即可
【详解】由题意得，，而，得，
故选：A
4．已知函数，若不等式的解集为，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据三个二次之间的关系分析可知方程的两个根为，利用韦达定理可得，进而可得结果.
【详解】由题意可知：方程的两个根为，则，解得，
所以.
故选：D.
5．第十四届全国人民代表大会于3月5日至13日在北京召开，政府工作报告总结了过去五年的巨大成就，绘就出未来五年的美好蓝图，既鼓舞人心，又催人奋进.为学习贯彻会议精神，现组织4名宣讲员宣讲会议精神，分配到3个社区，每个宣讲员只分配到1个社区，每个社区至少分配1名宣讲员，则不同的分配方案共有（ ）
A．72B．12C．36D．24
【答案】C
【分析】4名宣讲员分配到3个社区，每个社区至少1人，则按1，1，2分配，计算即可．
【详解】将4名宣讲员分到3个社区，每个社区至少1人，则分配方式为1，1，2，
所以不同的分配方案共有．
故选：C．
6．的展开式中的常数项为（ ）
A．80B．160C．240D．320
【答案】D
【分析】首先写出展开式的通项，原式化为从而求出展开式的常数项.
【详解】因为展开式的通项为，
又因为，
所以展开式中常数项为．
故选：D．
7．已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8
【答案】C
【分析】利用正态分布的性质即可得出结果.
【详解】因为随机变量服从正态分布，，
所以，则.
故选：C.
8．已知，随机变量，其中，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令，则原式可化为，求出其通项公式，从而可求出，则可得，然后利用二项分布的期望公式可求得结果.
【详解】令，则，
所以由，
得，
则通项公式为，
令，得，
所以，所以，
因为随机变量，
所以，
故选：A
二、多选题
9．某市教育局为了解疫情时期网络教学期间的学生学习情况，从该市随机抽取了1000名高中学生，对他们每天的平均学习时间进行问卷调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则（ ）

A．估计该市高中学生每天的平均学习时间的平均值为8.6小时
B．估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为8小时
C．估计该市高中学生每天的平均学习时间的分位数为9.2小时
D．这1000名高中学生每天的平均学习时间为小时的人数有100人
【答案】AC
【分析】对于A：利用频率分布直方图的数据，按照平均数的定义进行计算，即可判断；对于B：根据众数的定义进行判断；对于C：利用百分位数的定义进行计算即可判断；对于D：利用频率分布直方图的数据计算即可判断.
【详解】对于A： 由频率分布直方图可以得到，抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的平均值为
小时，
由此可以估计该市高中学生平均学习时间的平均值为8.6小时，故A正确；
对于B：由频率分布直方图可以得到，抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时，
由此可以估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时，故B错误；
对于C：由频率分布直方图可以得到，，，
则抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的分位数在内，设其为k，
则有：，解得，
即抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的分位数为9.2小时，
由此可以估计该市高中学生每天的平均学习时间的分位数为9.2小时，故C正确；
对于D：从频率分布直方图可以得到，这1000名高中学生每天的平均学习时间为小时的人数有人，故D错误.
故选：AC.
10．已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ）
A．所有项的系数和为B．所有奇数项的二项式系数和为
C．二项式系数最大的项为第6项或第7项D．有理项共有5项
【答案】BD
【分析】根据二项式定理求出，令即可判断A；根据二项式系数得性质即可判断BC；求出展开式得通项，再根据的指数为整数即可判断D.
【详解】由题意得，所以，
令，得所有项的系数和为，故A错误；
所有奇数项的二项式系数和为，故B正确；
由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故C错误；
展开式通项为，
当为整数时，，3，6，9，12，共有5项，
即有理项共有5项，故D正确．
故选：BD．
11．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用事件和表示从甲罐中取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，用事件B表示从乙罐中取出的球是红球，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．事件B与事件相互独立
D．是两两互斥的事件
【答案】BD
【分析】根据条件概率公式计算可知B正确；根据全概率公式计算可知A不正确；根据计算可知，故C不正确；根据互斥事件的定义可知D正确.
【详解】依题意得，，，
则，故B正确；
，，
所以
，故A不正确；
因为，，，
所以事件B与事件不相互独立，故C不正确；
根据互斥事件的定义可知是两两互斥的事件，故D正确.
故选：BD
12．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2台加工的次品率为5%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是（ ）
A．该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.06
B．该零件是次品的概率为0.036
C．如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98
D．如果该零件是次品，那么它不是第1台车床加工出来的概率为
【答案】BC
【分析】利用乘法公式、互斥事件加法求概率即可判断A，B；利用条件概率公式、对立事件即可判断C，D．
【详解】记事件：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件，
对于A，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为，故A错误；
对于B，任取一个零件是次品的概率为
，故B正确；
对于C，如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它是次品的概率为，
则如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为，故C正确；
对于D，如果该零件是次品，那么它是第1台车床加工出来的概率为，
则如果该零件是次品，那么它不是第1台车床加工出来的概率为，故D错误．
故选：BC.
三、填空题
13．函数在的最大值为 ．
【答案】7
【分析】由二次函数的性质求解，
【详解】的对称轴为，故当时取到最大值7，
故答案为：7
14．端午节吃粽子是传统的习俗．一盘中放有10个外观完全相同的粽子，其中豆沙粽3个，肉粽3个，白米粽4个，现从盘子任意取出2个，则取到白米粽的个数的数学期望为 ．
【答案】/0.8
【分析】取到白米粽的个数为随机变量，求出的可能值对应的概率，再求出期望作答.
【详解】设取到白米粽的个数为随机变量，则的可能值为，
所以，，，
所以取到白米粽的个数的数学期望.
故答案为：
15．播种用的一等品种子中混合2.0%的二等种子，1.5%的三等种子，1.0%的四等种子，用一等、二等、三等、四等种子长出优质产品的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则从这批种子中任选一颗长出优质产品的概率为 .
【答案】/48.25%
【分析】根据题意，计算种子中有一等小麦种子的比例，进而由互斥事件和相互独立事件的概率公式计算可得答案．
【详解】根据题意，一等小麦种子中混合2.0%的二等种子，1.5%的三等种子，1.0%的四等种子，
则种子中有一等小麦种子，
用一等、二等、三等、四等种子长出优质产品的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，
则从这批种子中任选一颗长出优质产品的概率为.
故答案为：
16．某班50名同学参加体能测试，经统计成绩c近似服从，若，则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为 .
【答案】
【分析】由题意可知体能测试成绩c服从正态分布，由正态分布的对称性可计算出成绩低于85分的概率为，即可计算出其人数.
【详解】由成绩c近似服从，且；
利用正态分布的对称性可知，
所以，
所以可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为人.
故答案为：
四、解答题
17．一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数的分布列；
(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数的分布列；
(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
【答案】(1)分布列见解析
(2)分布列见解析
(3)
【分析】（1）由条件可知，，根据二项分布的概率公式，求分布列；
（2）依题意的可能取值为、、、、、，求出所对应的概率，即可求解分布列；
（3）利用对立事件求概率.
【详解】（1）由，则，，
即，，
，，
，，
故的分布列为
（2）依题意的可能取值为、、、、、，
则，，
，，
，
故的分布列为
（3）所求概率为.
18．某大型商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为黑色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖．
(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X的分布列和数学期望．
(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y的分布列和数学期望．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据题意分析随机变量的可能取值，可得，进而求出各个值对应的概率可得分布列及期望；
（2）根据题意分析随机变量的可能取值，求出各个值对应的概率可得分布列及期望；
【详解】（1）第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，
则每次中奖的概率为，
因为两次中奖相互独立，所以中奖次数，
所以的可能取值为，
则，，
，
则的分布列为
所以的期望为；
（2）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，
则中奖次数的可能取值为，
则，
，
，
则的分布列为
所以的期望为.
19．某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：
假设所有学生的获奖情况相互独立．
(1)分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；
(2)用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求的分布列
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【分析】（1）根据组合数的计算以及古典概型概率计算公式求得抽到的2名学生都获一等奖的概率.
（2）根据相互独立事件概率计算公式求得的分布列.
【详解】（1）设事件为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，抽到的2名学生都获一等奖”，
则.
（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2.
记事件为“从该地区高一男生中随机抽取1名，该学生获奖”，
事件为“从该地区高一女生中随机抽取1名，该学生获奖”.
由题设知，事件，相互独立，且估计为估计为.
所以，
，
.
所以的分布列为
20．电影评论，简称影评，是对一部电影的导演、演员、镜头、摄影、剧情、线索、环境、色彩、光线、视听语言、道具作用、转场、剪辑等进行分析和评论．电影评论的目的在于分析、鉴定和评价蕴含在银幕中的审美价值、认识价值、社会意义、镜头语言等方面，达到拍摄影片的目的，解释影片中所表达的主题，既能通过分析影片的成败得失，帮助导演开阔视野，提高创作水平，以促进电影艺术的繁荣和发展；同时能通过分析和评价，影响观众对影片的理解和鉴赏，提高观众的欣赏水平，从而间接促进电影艺术的发展．某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取220人进行调查，得到数据如下表所示（单位：人）：
(1)请将列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对该部影片的评价与性别有关联？
(2)从给出“好评”的观众中按性别用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽出3人送电影优惠券，记随机变量X表示这3人中女性观众的人数，求X的分布列和数学期望．
参考公式：，其中．
参考数据：
【答案】(1)列联表见解析，认为对该部影片的评价与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.010．
(2)分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）先计算，再根据临界值比较判断即可；
（2）先应用分层抽样确定男性和女性的人数，再应用超几何分布写出分布列再计算数学期望即得.
【详解】（1）列联表如下：
零假设为：对该部影片的评价与性别无关联．
根据列联表中的数据，经计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对该部影片的评价与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.010．
（2）从给出“好评”的观众中按性别用分层抽样的方法抽取10人，
男性有：（人），女性有：（人）．
X的所有可能取值为0，1，2，3，
所以，，，，
所以X的分布列为
所以．
21．某学校有学生1000人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了100名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这100名学生的打分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，．
(1)求频率分布直方图中的值，并估计该校学生满意度打分不低于70分的人数；
(2)试估计该校学生满意度打分的众数、中位数（中位数保留小数点后2位）；
(3)若采用分层随机抽样的方法，从打分在的学生中随机抽取10人了解情况，求在打分、中分别抽取的人数.
【答案】(1)；680
(2)75，76.43;
(3)4，6
【分析】（1）由频率分布直方图的频率和为1求出的值，再由频数=总数×频率得出打分不低于70分的人数；
（2）由众数、中位数的定义求解；
（3）先求出打分在的学生人数，再用分层抽样求出打分在和中的人数即可.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，
，
解得.
该校学生满意度打分不低于70分的人数为：
.
（2）由频率分布直方图可估计众数为：75；
，
，
所以中位数为在内，设为，则：
.
所以估计中位数为：76.43.
（3）由题意打分在的学生人数为：人，
所以打分在和中的人数应分别抽取：4人，6人.
22．近些年来，短视频社交软件日益受到追捧，用户可以通过软件选择歌曲，拍摄音乐短视频，创作自己的作品．某用户对自己发布的短视频个数与收到的点赞数之和之间的关系进行了分析研究，得到如下数据：
(1)计算，的相关系数，并判断是否可以认为发布的短视频个数与收到的点赞数之和具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高．计算时精确度为
(2)求出关于的线性回归方程．
参考数据：．附：相关系数公式：，，截距.
【答案】(1)，发布的短视频个数与收到的点赞数之和具有较高的线性相关程度
(2)
【分析】（1）根据相关系数的计算公式求得，进而作出判断.
（2）根据线性回归方程的计算公式求得线性回归方程.
【详解】（1），，
所以，，，
．
发布的短视频个数与收到的点赞数之和具有较高的线性相关程度．
（2），
，
关于的线性回归方程为．
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
0
1
2
0
1
2
性别
人数
获奖人数
一等奖
二等奖
三等奖
男生
200
10
15
15
女生
300
25
25
40
0
1
2
好评
差评
合计
男性
70
110
女性
60
合计
220
好评
差评
合计
男性
40
70
110
女性
60
50
110
合计
100
120
220
X
0
1
2
3
P
3
4
5
6
7
45
50
60
65
70