2023届新疆维吾尔自治区喀什第六中学高三上学期10月期中考试数学（理）试题 含解析

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  2023届高三高考实用性考卷（二)数学试题（理科）注意事项:1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟.一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，任取一个元素，则的概率为A． B． C． D．2．复数（为虚数单位），若，则的最大值为（    ）A． B． C． D．3．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则A=（    ）A． B． C． D．4．已知非零向量，，满足，，的夹角为，且，则向量，的数量积为（    ）A．0 B． C． D．5．若满足，且的最小值为，则的值为A． B． C． D．6．已知函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝lnx，则的值为(　　)A． B．－ C．ln2 D．－ln27．若向量与平行，则点和点间距离的最小值为（    ）A． B．1 C． D．8．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.为了表彰､两个志愿者小组，组委会决定将3个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型“雪容融”吉祥物，平均分配给､两个小组，要求每个小组至少有一个“冰墩墩”，则这6个吉祥物的分配方法种数为（    ）A．9 B．18 C．19 D．209．已知某几何体的三视图如图所示，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则该几何体中最长棱的长度为（    ）A．2 B．3 C．3 D．210．已知函数的部分图象如图所示，已知点，，若将它的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴方程为A． B． C． D．11．已知椭圆和双曲线有相同的焦点，且离心率之积为1，为两曲线的一个交点，则的形状为A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定12．关于函数有下述四个结论：①的图象关于直线对称    ②在区间单调递减③的极大值为0                ④有3个零点其中所有正确结论的编号为（    ）A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④二、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分．13．给出下列条件与：①：或；：．②：，：．③：一个四边形是矩形；：四边形的对角线相等．其中是的必要不充分条件的序号为______．14．在的二项展开式中，项的系数等于___________.15．已知向量=(1，0)，=(2，－2)，=(1，)，若，则=________.16．如图，三棱锥中，是正三角形，是等腰直角三角形，，若以线段为直径的球过点，则球心到平面的距离为________．三、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10 分）已知数列的前项和为，，且.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.18．（本小题满分12分）理科竞赛小组有9名女生、12名男生，从中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．（Ⅰ）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可）（Ⅱ）如果随机抽取的7名同学的物理、化学成绩（单位：分）对应如表： 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 物理成绩 65 70 75 81 85 87 93 化学成绩 72 68 80 85 90 86 91 规定85分以上（包括85份）为优秀，从这7名同学中再抽取3名同学，记这3名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，△是边长为的正三角形，， ，分别为，的中点，，． （Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）设函数．（1）求函数的最小值；（2）设，讨论函数的单调性；（3）斜率为的直线与曲线交于、两点，求证：21．（本小题满分12分）已知椭圆为其左焦点，在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程.(2)若A，B是椭圆C上不同的两点，O为坐标原点，若，是否存在某定圆始终与直线相切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由.22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，若曲线的极坐标方程为，点的极坐标为，在平面直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；（2）设直线与曲线相交于两点，求的值.23．已知函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)若区间为不等式的解集的子集，求a的取值范围．
参考答案1．D【详解】试题分析：,,任取一个元素，则的概率为,选D.2．D【分析】首先根据复数代数形式的除法化简复数，设，根据复数模的计算公式得到，则可以看成圆上的点到原点的距离，从而求出距离最大值；【详解】解：，设，因为，所以，所以，即表示上的点，可以看成圆上的点到原点的距离，因为圆心到坐标原点的距离为，所以故选：D3．D【分析】根据同角三角函数的关系、两角和的正弦公式、诱导公式和正弦定理化简计算可得，进而即可求出A.【详解】由题意知，，，，，由正弦定理，得，又，所以，即，由，得.故选：D4．A【分析】先利用平面向量的数量积求出，再根据题意得到，进而利用平面向量的数量积公式进行求解.【详解】设，因为，的夹角为，所以，因为非零向量，，满足，所以，所以．故选：A．5．C【详解】当 时，如图所示，当目标函数过点时函数取得最小值，坐标为 ， ，解得 ，当 时，目标函数没有最小值，故选C.6．D【分析】由f（）=ln （）=﹣2，结合函数的奇偶性，从而得到答案．【详解】当x＞0时，f（x）=ln x，f（）=ln （）=﹣2，又函数f（x）是奇函数，所以f（﹣2）=﹣f（2）=﹣ln 2，故选D．7．A【分析】根据向量与平行，得到，再将问题转化为点到直线的距离求解.【详解】解：因为向量与平行，所以 ，即，所以 点和点间距离的最小值，即为点到直线的距离，，故选：A8．B【分析】分小组有1个“冰墩墩”和有2个“冰墩墩”两种情况讨论，按照分类加法与分步乘法计算原理计算可得；【详解】解：依题意小组“冰墩墩”可能有1个或2个，①小组有1个“冰墩墩”，则有种分配方法；②小组有2个“冰墩墩”，则有种分配方法；综上可得一共有种分配方法；故选：B9．D【分析】由三视图得到几何体的直观图，再一一计算可得；【详解】解：由三视图可得几何体的直观图如下四棱锥，则，，，，所以该几何体中最长棱的长度为；故选：D10．D【详解】,,,所以,右移得到,将选项代入验证可知选项正确.11．B【分析】由双曲线的焦点坐标以及双曲线的离心率求出椭圆的方程，利用双曲线与椭圆的定义求出，利用勾股定理可得结论【详解】的焦点坐标为，离心率为，，椭圆，，，得，，为直角三角形，故选B.【点睛】本题综合考查双曲线与椭圆的方程、双曲线与椭圆的离心率、双曲线与椭圆定义的应用，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力，属于难题.12．D【分析】根据给定函数，计算判断①；探讨在上单调性判断②；探讨在和上单调性判断③；求出的零点判断④作答.【详解】函数的定义域为，对于①，，则，，的图象关于直线对称，①正确；对于②，当时，，在单调递增，②不正确；对于③，当时，，在单调递减，当时，，在上单调递增，在上单调递减，又在单调递增，因此在处取极大值，③正确；对于④，由得：，即或，解得或，于是得有3个零点，④正确，所以所有正确结论的编号为①③④.故选：D13．②【解析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：对于①，在中，，解得或，故是的充要条件，不符合题意.对于②，在中，或，而中，所以是的必要不充分条件，符合题意.对于③，由于，且推不出，如四边形是等腰梯形，满足对角线相等，但是不满足四边形是矩形，故是的充分不必要，不符合题意.故答案为：②.14．【分析】利用组合知识直接计算，可得结果.【详解】由题可知：所以项的系数为故答案为：15．－##－0.5【分析】由向量平行的坐标表示计算．【详解】由已知，因为，所以，．故答案为：．16．1【分析】取CD的中点E，连接AE，BE，易知平面，过点O作OG垂直于BE交BE于点G，则OG长即为所求.【详解】因为以线段为直径的球过点，故，其中，，故，故球的半径，取CD的中点E，连接AE，BE，易证：平面，取AB的中点O.过点O作OG垂直于BE交BE于点G，其中，可得：，故，∴点到平面距离．故答案为：117．（1），（2）【详解】试题分析：（1）由已知，根据数列前项和和与通项的关系，求出，从而求出数列的通项公式；（2）由（1）可求出数列的通项公式，根据其特点，采用分组求和法，将其分为等差数列与等比数列两组进行求和，再根据等差数列与等比数列前项和公式进行运算，从而求出.试题解析：（1）∵，∴，∴，当时，，又也满足，故.又，∴.（2）∵，∴.18．(Ⅰ) ；(Ⅱ)答案见解析.【详解】试题分析：(Ⅰ)由题意可得，如果按照性别比例分层抽样，可以得到个不同的样本;(Ⅱ) X可能取值为0，1，2，3，据此求得分布列，结合分布列可得数学期望为 .试题解析：（Ⅰ）如果按照性别比例分层抽样，则从9名女生、12名男生，从中随机抽取一个容量为7的样本，抽取的女生为3人，男生为4人．可以得到个不同的样本．（II）这7名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为3人，抽取的3名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数X可能取值为0，1，2，3，则P（X=k）=，可得P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=．其X分布列为： X 0 1 2 3 P 数学期望E（X）=0+1×+2×+3×=．19．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【详解】试题分析：（Ⅰ）因为△是边长为的正三角形, 所以．又因为，分别为，的中点， 得，因为， 所以．故平面．（Ⅱ）取得中点，连接．因为，所以．又因为平面，所以，所以平面． 所以为与平面所成的角．在直角三角形中，，,所以．所以与平面所成的角的正弦值为．20．（1）；（2）当时，在上是增函数；当时，在上单调递增，在上单调递减；（3）见解析.【分析】（1）对函数求导，求其单调区间，即可求出极值，可得最小值；（2）分别讨论和时函数的单调性；（3）将直线斜率用表示出来，将要证的不等式转化为证（），最后讨论函数（）和（）单调性，即可证明原题.【详解】（1），令，得因为当时；当时，所以当时，（2），①当时，恒有，在上是增函数；② 当时，令，得，解得；令，得，解得，综上，当时，在上是增函数；当时，在上单调递增，在上单调递减 (3) ．要证，即证，等价于证，令，则只要证，由知，故等价于证 (*)．① 设，则，故在上是增函数，∴ 当时，，即．② 设，则，故在上是增函数，∴ 当时，，即．由①②知(*)成立，得证．21．(1)(2)存在定圆始终与直线相切.【分析】（1）待定系数法求解椭圆方程；（2）先考虑直线斜率不存时，直线AB的方程，再考虑斜率存在时，设出直线AB的方程，利用得到的关系式，再利用点到直线距离公式得到原点到直线AB的距离为定值，验证斜率不存在时是否符合，最后求出答案.(1)由题意得：，故，又在椭圆上，故联立得：，故，椭圆方程为(2)当直线AB斜率不存在时，因为，不妨设直线OA，OB的斜率分别为1，-1，联立y=x与，解得：，求得：直线AB为当直线AB斜率存在时，设直线AB：联立得：，设，则，因为，所以所以，由原点到直线AB的距离，存在定圆始终与直线相切，显然当直线斜率不存在时，满足要求，综上：存在定圆始终与直线相切22．(1) 曲线的方程为，直线的参数方程为 （为参数）(2) 【分析】(1)利用极坐标的公式代入以及直线的参数方程可的结果；（2）将直线的参数方程代入曲线C的普通方程化简可得关于t的一元二次方程，题目所求的就相当于代入求得结果.【详解】（1）由题意得，即 故曲线的方程为，点的直角坐标为,直线的参数方程为 （为参数）（2）设，，将直线的参数方程代入曲线的方程得 整理得，由韦达定理可知，，则 ，23．(1)；(2). 【分析】（1）利用零点讨论法即得；（2）由题可得当时，恒成立，进而可得，即求.(1)当时，函数，可表示为，由，则或或，解得：或或，故不等式的解集为．(2)由区间为不等式的解集的子集，即当时，恒成立，又时，，，故，，不等式等价于，解得，又因为当时不等式恒成立，所以，解得．故a的取值范围为．