专题18.5 矩形的判定与性质（压轴题专项讲练）-最新八年级数学下册从重点到压轴（人教版）

专题18.5  矩形的判定与性质

【典例1】在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．

（1）若G，H分别是AB，DC中点，试说明：四边形EGFH为平行四边形；

（2）在（1）的条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．

【思路点拨】

（1）证明△AFG≌△CEH（SAS），得GF＝HE，同理GE＝HF，即可得出结论；

（2）由“对角线相等的平行四边形是矩形”得EF＝GH，再证四边形AGHD是平行四边形，得GH＝BC＝4，然后分两种情况分别求出t的值即可．

【解题过程】

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，

∴∠GAF＝∠HCE，

∵G、H分别是AB、DC的中点，

∴AG＝BG，CH＝DH，

∴AG＝CH，

∵AE＝CF，

∴AF＝CE，

在△AFG与△CEH中，

∴△AFG≌△CEH（SAS），

∴GF＝HE，

同理：GE＝HF，

∴四边形EGFH是平行四边形．

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°，

∴AC5，

由（2）可知四边形EGFH是平行四边形，

连接GH，

∵点G、H分别是矩形ABCD的边AB、DC的中点，

∴AG＝DH，AG∥DH，

∴四边形AGHD是平行四边形，

∴GH＝BC＝4，

∴当EF＝GH＝4时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：

①如图1，

AE＝CF＝t，

则EF＝5﹣2t＝4，

解得：t＝0.5；

②如图2，

AE＝CF＝t，

则EF＝5﹣2（5﹣t）＝4，

解得：t＝4.5；

综上所述，当t为0.5或4.5时，四边形EGFH为矩形．

1．（2021•富平县二模）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（　　）

A．8 B．9 C．10 D．12

2．（2021春•武安市期末）如图，四边形ABCD中，以对角线AC为斜边作Rt△ACE，连接BE、DE，BE⊥DE，AC，BD互相平分．若2AB＝BC＝4，则BD的值为（　　）

A．2 B． C．3 D．4

3．（2020春•江津区期中）如图，四边形ABCD，∠D＝∠C＝90°，CD＝2，点E在边AB，且AD＝AE，BE＝BC，则AE•BE的值为（　　）

A． B．1 C． D．

4．（2021•灞桥区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，P是CD边上一点，M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，以下四种情况，哪一种四边形PMEN不可能为矩形（　　）

A．AD＝3 B．AD＝4 C．AD＝5 D．AD＝6

5．（2021春•梁山县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点（P不与B，C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是（　　）

A．AM＜6 B．AM＜12 C．AM＜12 D．AM＜6

6．（2021春•十堰期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OAB的度数为 　   　．

7．（2020春•石城县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动，Q以每秒4cm的速度从点C出发，在B、C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止（同时点Q也停止），这段时间内，当运动时间为　   　时，P、Q、C、D四点组成矩形．

8．（2021春•川汇区期末）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝6，则GH的最小值是 　   　．

9．（2021秋•龙岗区校级期中）如图，点A（0，4），点B（3，0），点P为线段AB上一个动点，作PM⊥y轴于点M，作PN⊥x轴于点N，连接MN，当MN取最小值时，则PN为 　   　．

10．（2022•龙岗区一模）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC交BC于D点，E点是AB的中点，分别过D，E两点作线段AC的垂线，垂足分别为G，F两点．

（1）求证：四边形DEFG为矩形；

（2）若AB＝10，EF＝4，求CG的长．

11．（2021秋•萍乡期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接AF，DE，DF．

（1）求证：四边形AEFD为矩形；

（2）若AB＝3，DE＝4，BF＝5，求DF的长．

12．（2021秋•罗湖区校级月考）如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，∠AEC＝90°．

（1）求证：四边形AECF是矩形；

（2）连接BF，若AB＝4，∠ABC＝60°，BF平分∠ABC，求平行四边形ABCD的面积．

13．（2022春•东台市月考）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DEAC，连接AE、CE．

（1）求证：四边形OCED为矩形；

（2）若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，求AE的长．

14．（2022•云南模拟）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是BC中点，点E是AD中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．

（1）试判断四边形ADCF的形状，并加以证明；

（2）若AB＝17，BC＝30，求四边形ADCF的面积．

15．（2021•峨山县模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，过点O作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD、DE．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）若BC＝3，∠BAC＝30°，求DE的长．

16．（2021秋•法库县期末）如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB．

（1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形；

（2）如图2，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求PE+PF的值．

17．（2021春•淮滨县期中）如图，平行四边形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点（E不与A，D重合），且点E由点A向点D运动，速度为1cm/s，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF，设点E运动时间为t．

（1）求证：无论t为何值，四边形CEDF都是平行四边形；

（2）①当t＝　   　s时，四边形CEDF是矩形；

②当t＝　   　s时，四边形CEDF是菱形．

18．（2021秋•峡江县期末）如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H．

（1）求证：四边形EGFH是矩形；

（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，他的猜想是否正确，请予以说明．

19．（2021春•番禺区期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）延长AE至G，使EG＝AE，连接CG，延长CF，交AD于点P．

①当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由；

②若AP＝2DP＝8，CP，CD＝5，求四边形EGCF的面积．

20．（2021•永嘉县校级模拟）矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E，F在对角线AC上，点M，N分别在边AD，BC上．

（1）如图1，若AE＝CF＝1，M，N分别是AD，BC的中点．求证：四边形EMFN为矩形．

（2）如图2，若AE＝CF＝0.5，AM＝CN＝x（0＜x＜2），且四边形EMFN为矩形，求x的值．