27.2.1 第4课时 两角分别相等的两个三角形相似 课件

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 27.2.1 相似三角形的判定第4课时 两角分别相等的两个三角形相似 学习目标：1. 探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理.2. 掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算. (重点、难点)3. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算.  一、知识链接学校举办活动，需要三个内角分别为90°，60°，30°的形状相同、大小不同的三角纸板若干.  小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？一、要点探究探究点1：两角分别相等的两个三角形相似操作   与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，使∠A=∠A′=40°，     ∠B=∠B′=55°，探究下列问题： 问题1    度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值. 你有什么发现？  问题2     试证明△ABC∽△A′B′C′.证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′（或 A′B′的延长线）上，截取 A′D=AB，过点 D 作 DE // B′C′，交 A′C′ 于点 E，【补全证明过程】【要点归纳】由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似.符号语言：在△ABC 和△A'B'C' 中，∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴ △ABC ∽ △A'B'C'.【典例精析】例1    如图，在△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80 °，∠F=60 °．求证：△ABC ∽△DEF.   【针对训练】如图，在 △ABC 和 △A'B'C' 中，若∠A=50°，∠B=75°，∠A' = 50°，当∠C'=         时，△ABC ∽△A'B'C'.  例2     如图，弦 AB 和 CD 相交于 ⊙O 内一点 P，求证：PA·PB=PC·PD.证明：连接AC，DB.∵∠A 和 ∠D 都是弧 CB 所对的圆周角，∴ ∠A= __ ___，同理 ∠C= ___ ____，∴ △PAC ∽ △PDB，∴__    ___ ，即PA ·PB = PC · PD.【针对训练】如图，⊙O 的弦 AB，CD 交于点 P，若 PA=3，PB = 8，PC = 4，则 PD =      .   【分析】此图中，没有完整的三角形出现，根据题目给的四条边，可以知道，它们属于       △BCP和△ADP因此连接AD、BC，根据圆周角的性质得到解题所需角度，进而求解    探究点2：判定两个直角三角形相似例3    如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8.  E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D.  求AD的长.  【要点归纳】由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 思考   对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL”判定它们全等.那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？  证明    如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=90°，∠C′=90°，.求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′.   【要点归纳】由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.   例4   如图，∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD =，当 AB 的长为        时，△ACB 与△ADC相似．【分析】观察得到AB和AC分别是斜边，但两条直角边的对应关系并没有确定，因此需要分类讨论【针对训练】在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.(1) ∠A=35°，∠B′=55°：           ；(2) AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8：          ；(3) AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15：             . 二、课堂小结  1. 如图，已知 AB∥DE，∠AFC ＝∠E，则图中相似三角形共有(      )A. 1对  　　B. 2对      C. 3对  　　D. 4对  第1题图             第2题图            第3题图           第4题图如图，△ABC中，AE 交 BC 于点 D，∠C=∠E，AD : DE=3 : 5，AE=8，BD=4，则DC的长等于    (        )A.   　　B.       C.   　　D. 3. 如图，点 D 在 AB上，当∠         ＝∠        (或∠       =  ∠        )时，△ACD∽△ABC；4. 如图，在 Rt△ABC 中， ∠ABC = 90°，BD⊥AC于点D.  若 AB=6，AD=2，则 BD=        ，AC=         ，BC=          .5.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.   6. 如图，△ABC 的高 AD，BE 交于点 F．求证：.   7. 如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE．    参考答案合作探究一、要点探究探究点1：两角分别相等的两个三角形相似问题2     解：则有△A′DE ∽△A′B′C′，∠A′DE =∠B′.∵∠B=∠B′，∴∠A′DE=∠B.又∵ A′D=AB，∠A=∠A′，∴△A′DE ≌△ABC（ASA），∴△ABC∽△A′B′C′ .【典例精析】例1    证明：∵ 在△ ABC中，∠A=40°，∠B=80°，∴ ∠C=180°－∠A－∠B=60°.∵ 在△DEF中，∠E=80°，∠F=60°.∴ ∠B=∠E，∠C=∠F.∴ △ABC ∽△DEF.【针对训练】 55°例2     ∠D    ∠B     【针对训练】6  探究点2：判定两个直角三角形相似例3    解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA=90 ° .又∠C=90 °，∠A=∠A，∴ △AED ∽△ABC.∴ .∴ .证明    证明：设= k ，则AB=kA′B′，AC=kA′C′.由勾股定理，得，.∴        ∴ Rt △ABC ∽ Rt △A′B′C′.例4   3 或3 解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD =，∴.要使这两个直角三角形相似，有两种情况：(1) 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，有 AC : AD ＝AB : AC， 即: 2 =AB :，解得 AB=3；(2) 当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，有 AC : CD ＝AB : AC ， 即:=AB :，解得 AB=3．∴ 当 AB 的长为 3 或3 时，这两个直角三角形相似．【针对训练】(1) 是  (2)是  (3) 是当堂检测1. C    2. A3. ACD         B         ADC         ACB 4. 4        18        5.证明: ∵  DE∥BC，EF∥AB，∴∠AED＝∠C，∠A＝∠FEC.  ∴  △ADE∽△EFC. 6. 证明： ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F，∴ ∠FEA=∠FDB=90°，∠AFE =∠BFD (对顶角相等).∴ △FEA ∽ △ FDB，∴.7. 证明：∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC，∠DAE= ∠3+ ∠DAC，∠1=∠3，∴ ∠BAC=∠DAE.∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ，∠E=180°－∠3－∠AOE，∠DOC =∠AOE（对顶角相等），∴ ∠C= ∠E.∴ △ABC∽△ADE.