2022-2023学年重庆市渝北区六校联考八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年重庆市渝北区六校联考八年级（下）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  要使在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在式子：；；；；；中二次根式的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3.  下列二次根式中属于最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知，，则、的关系为(    )

A. 相等 B. 互为相反数 C. 互为倒数 D. 互为负倒数

5.  如图，数轴上的点表示的数为，以为边长的正方形的一个顶点在点处，以点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  图是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形若，且，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  将一根的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度，则的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，平行四边形的对角线，相交于点，点是中点，若，的周长为，则平行四边形的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，平行四边形的对角线、相交于点，，点是的中点，连接、，若，下列结论：；当时，；；，其中正确的个数有(    )

A.  B.  C.  D.

10.  定义：如果，那么叫做以为底的对数，记做例如：因为，所以；因为，所以则下列说法正确的个数为(    )
；
；
若，则；
．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.  化简的结果是______ ．

12.  实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______ ．

13.  如图，点在中，，，，则图中阴影部分的面积为______ ．

14.  计算的结果是        ．

15.  如图，在中，、分别是、的中点，，是线段上一点，连接、，若，则的长度是______ ．

16.  如图，在中，，，点是边上的点，将沿折叠得到，线段与边交于点若为直角，则的长是        ．

17.  若关于的不等式组的解集是，且关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数的值之和为______ ．

18.  若一个四位数的个位数字、十位数字、百位数字之和为，则称这个四位数为“永恒数”将“永恒数”的千位数字与百位数字交换顺序，十位数字与个位数字交换顺序得到一个新的四位数，并规定若一个“永恒数”的百位数字与个位数字之差恰为千位数字，且为整数，则的最大值为        ．

三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算
；
．

20.  本小题分
化简：
；
．

21.  本小题分
嘉淇同学要证，她先用下列尺规作图步骤作图：
，；
以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接；
过点作，垂足为点．
并写出了如表不完整的已知和求证．
在方框中填空，以补全已知和求证；

按嘉淇的想法写出证明过程．

22.  本小题分
为迎接元旦，其水果店计划购进特级赣南脐橙和精品红心蜜柚两种水果若干千克，若脐橙每千克的进价是蜜柚每千克进价的倍；该水果店购进脐橙所用费用为元，购进蜜柚所有费用为元，脐橙的数量比蜜柚的数量多千克．
求特级赣南脐橙每千克的进价；
若该水果店第一周以元千克的价格售出脐橙千克；第二周售价每千克价格降低了元，结果售出千克，第三周售价是在第一周的基础上打七折，结果剩余的脐橙全部被销售这三周脐橙的总利润不低于元求的最小值．

23.  本小题分
如图，在甲村至乙村的公路旁有一块山地需要开发，现有一处需要爆破，已知点与公路上的停靠点的距离为米，与公路上另一停靠点的距离为米，且，为了安全起见，爆破点周围半径米范围内受会有危险请通过计算判断在公路上行驶时是否会遇到危险？若无，请说明理由，若有危险请求出危险路段的长度．

24.  本小题分
如图，在中，是上的任意一点不与点、重合，过点平行于的直线分别与、的外角的平分线交于点、．
与相等吗？证明你的结论．
试确定点的位置，使四边形是矩形，并加以证明．

25.  本小题分
在中，，、分别是、的中点，延长到点，使，连接、、、，与交于点．
试说明与互相平分；
若，，求的长．

26.  本小题分
如图，矩形中，，为边上一点，将沿翻折，使点恰好落在边上的点处，．
求的长；
如图，连接交于点，为上的点，连接交于点，．
求点到的距离；
求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在实数范围内有意义，
，
解得：，
故选：．
根据二次根式有意义的条件得出不等式，求出不等式的解集即可．
本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式，能根据二次根式有意义的条件得出不等式是解此题的关键，注意：中．
 

2.【答案】 

【解析】解：，；符合二次根式的定义，属于二次根式；
的被开方数是负数，属于它不是二次根式；
是三次根式；
被开方数是负数，属于它不是二次根式；
综上所述，二次根式的个数是．
故选：．
根据二次根式的定义作出判断．
本题考查了二次根式的定义．二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．
 

3.【答案】 

【解析】解：．，被开方数含有开方开得尽的因式，故不符合题意；
B.，被开方数是完全平方数，故不符合题意；
C.是最简二次根式，故符合题意；
D.，被开方数是小数，故不符合题意．
故选：．
检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故、互为倒数，
故选：．
根据乘积为的两个数互为倒数，可得答案．
本题考查了实数的性质，乘积为的两个数互为倒数．
 

5.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得，，
则，
点表示的数是，
故选：．
根据勾股定理求出，进而得到的长，根据数轴的概念解答即可．
本题考查的是勾股定理、实数与数轴，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

6.【答案】 

【解析】解：在中，，
，
在中，由勾股定理得，
，
故选：．
先根据含角的直角三角形的性质得出的长，再根据勾股定理求出的长即可．
本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理，含角的直角三角形的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
如图，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围．
【解答】
解：如图，
当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
；
当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在中，，，
，
此时，
所以的取值范围是．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：平行四边形的对角线，相交于点，
，
点是中点，
，
的周长，
的周长，
，
，
平行四边形的周长；
故选：．
根据平行四边形的对角线互相平分，得到是的中点，进而得到为的中位线，得到的周长是的周长的倍，用的周长减去的长，得到的长，即可得解．
本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线定理．熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，，
，，
，点是的中点，
是等边三角形，
，
，
，
，
，故正确；
，
，
，
，
，
，故正确；
为中点，为中点，
为的中位线，
，
，
，故正确；
，
，
，，
，
，
，故错误．
故选：．
由四边形是平行四边形，得到，，，点是的中点，推出是等边三角形，证得，求出，故正确；
由，可求出的长，进而可求出，故正确；
易证为的中位线，可得，又因为，所以可得，故正确；
根据等底同高的三角形面积相等可得，再由可知，进而可得，故错误．
此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及中位线性质定理的运用．注意证得是等边三角形，是的中位线是关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，说法符合题意；
由于，设，，
则，，
于是，说法符合题意；
则，说法符合题意；
设，则，
两边同时取以为低的对数，
，则，
所以，即，
则，
，
，说法符合题意；
故选：．
根据对数的定义和乘方解题即可．
本题以新定义题型为背景，主要考查了学生的数的乘方的计算能力，在解答新定义题型的时候，首先一定要把定义理解透彻，然后灵活应用定义变化，一一判断给出的说法是否正确．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
本题需先根据二次根式的乘除法则进行计算即可求出答案．
本题主要考查了二次根式的乘除法，在解题时要能灵活应用二次根式的乘除法则求出答案是本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由数轴得：，
，



．
故答案为：．
由数轴可得：，则有，再进行化简即可．
本题主要考查二次根式的化简，数轴，解答的关键是由数轴得出．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，，
，
是直角三角形，，
．
故答案为：．
根据勾股定理和，，，可以先求出的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以求出阴影部分的面积．
本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是求出的长．
 

14.【答案】 

【解析】解：



．
故答案为：．
利用积的乘方的逆运算及平方差公式，二次根式的相应的运算对式子进行求解即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

15.【答案】 

【解析】解：、分别是、的中点，
，
，
，
，
，点是的中点，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理得到，根据题意求出，根据直角三角形的性质求出．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，

，，
，
，
，
将沿折叠得到，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，从而得到，进而得到，再由折叠的性质可得，从而得到，进而得到，即可求解．
本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，图形的折叠问题，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：关于的不等式组整理得，
而不等式组的解集为，

，
解分式方程得且，
关于的分式方程有整数解，且为整数，
符合条件的所有整数为，，
符合条件的所有整数的和为：．
故答案为：．
表示出不等式组的解集，确定出的范围，根据分式方程有整数解确定出的值，即可得到符合条件的的所有值的和．
本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，再在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：设，则，


，
又，
，，且，
，
要使最大，必使，且为整数，则，
最大为，
故答案为：．
设，则，再利用能被整除得到与的值，即可求解．
本题以新定义为背景，考查了整式的运算、因式分解，解题的关键是熟练应用“永恒数”的定义计算．
 

19.【答案】解：原式
．
原式
． 

【解析】根据零指数幂的意义，二次根式的乘法运算以及乘方运算即可求出答案．
根据平方差公式以及二次根式的除法运算即可求出答案．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘法运算，本题属于基础题型．
 

20.【答案】解：原式
．
原式


． 

【解析】先根据平方差公式和完全平方公式，将括号展开，再合并同类项即可；
将括号里面的通分，把除法改写为乘法，再根据分式的混合运算法则和运算顺序，进行计算即可．
本题主要考查了整式的混合运算，分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式，完全公式，以及分式的混合运算法则和运算顺序．
 

21.【答案】   

【解析】解：已知：如图，，，，，
求证：，
故答案为：，；
证明：，
，
，
，
，
≌，
．
根据作图步骤求解；
根据证明三角形全等，再根据全等的性质证明．
本题考查了基本作图，掌握平行线的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：设蜜柚每千克的进价为元，则特级赣南脐橙每千克的进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：特级赣南脐橙每千克的进价为元；
特级赣南脐橙的数量为：千克，
由题意得：，
解得：，
答：的最小值为． 

【解析】设蜜柚每千克的进价为元，则特级赣南脐橙每千克的进价为元，由题意：该水果店购进脐橙所用费用为元，购进蜜柚所有费用为元，脐橙的数量比蜜柚的数量多千克．列出分式方程，解方程即可；
由题意：这三周脐橙的总利润不低于元．列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】解：在公路上行驶时会遇到危险．
理由如下：如图，过作于．

米，米，，
根据勾股定理得米．
，
米，
由于米米，故有危险，
故在公路上行驶时会遇到危险；
如图，设为需要封锁的公路，
爆破点周围半径米范围内不得进入，
米，
米，
米，
米，
故需要封锁的公路长为米． 

【解析】过作于根据米，米，，利用根据勾股定理有米．利用，得到米．再根据米米可以判断有危险，最后根据勾股定理求出封锁路段的长度即可．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，以便利用勾股定理．
 

24.【答案】解：；
理由是：直线，
，
平分，
，
，
，
同理，
．
在的中点上时，四边形是矩形，
理由是：，，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形． 

【解析】根据平行线性质和角平分线定义推出，，根据等腰三角形的判定推出，即可；
根据平行四边形的判定得出平行四边形，根据对角线相等的平行四边形是矩形推出即可．
本题综合考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，平行线的性质，角平分线定义等知识点的应用．
 

25.【答案】解：、分别是、的中点，
是的中位线，
且．
又，即，
，，
四边形是平行四边形，
与互相平分；

在中，，，，
由勾股定理得
又由知，，且，
．
在中，，，，
由勾股定理得． 

【解析】结合已知条件推知四边形是平行四边形，在该平行四边形的两条对角线互相平分；
根据勾股定理求得的长度，然后由平行四边形的性质和勾股定理来求的长度．
本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质．三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
 

26.【答案】解：由折叠性质得，，
设，则，
，
，
，
解得，
；
过作于，过作于，如图，

则，
由折叠性质知，，
，
，
点到的距离为；
过点作于点，如图，

设，则，
，
，
解得，
，
，，
≌，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，

设，则，
，
，
解得，
，
． 

【解析】由折叠性质得，，设，则，由，列出方程便可得答案；
过作于，过作于，则，由折叠性质知，，由三角形的面积法求得，进而得到点到的距离；
过点作于点，设，则，由，列出方程求得，进而证明≌，求得，求得，再证明≌，得，求得，设，则，由，列出方程求得，进而求得．
本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，折叠性质，关键是正确构造直角三角形与全等三角形．