人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示教案

第一章  空间向量与立体几何

1.3  空间向量及其运算的坐标表示

1.3.2  空间向量运算的坐标表示

一、教学目标

1、熟练掌握空间向量运算的坐标表示；

2、通过类比的方式快速掌握空间向量的线性运算、数乘运算、数量积的坐标表示；

3、通过空间向量运算的坐标表示，充分了解二维与三维的关联，扩大视界.

二、教学重点、难点

重点：空间向量运算的坐标表示的理解与掌握.

难点：空间向量运算的熟练应用.

三、学法与教学用具

1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.

2、教学用具：多媒体设备等

四、教学过程

（一）创设情景，揭示课题

【复习回顾】

【引入问题】能否通过类比方式，找出空间向量运算的坐标表示及其公式？

（二）阅读精要，研讨新知

【类比转化】通过空间向量与平面向量的类比，二维平面与三维空间的关系，得出以下结论.

【例题研讨】阅读领悟课本例2、例3（用时约为2-3分钟，教师作出准确的评析.）

例2如图1.3-8. 在正方体中， 分别是的中点.求证: .

证明：设，建立如图所示的空间直角坐标系,则

，，

所以，

所以.

所以,即.

例3如图1.3-9，在棱长为1的正方体中，为的中点，分别在棱上. .

（1）求的长.

（2）求与所成角的余弦值.

解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则

，

因为为的中点，所以

所以，即的长为.

（2）由（1）得，

所以，

所以

所以，与所成角的余弦值是.

【小组互动】完成课本练习1、2、3、4、5，同桌交换检查，老师答疑.

【练习答案】

（三）探索与发现、思考与感悟

1．（多选）已知向量，下列等式中正确的是（       ）

A．                 B．

C．         D．

解：，∴，

对于A，，该等式错误，所以A错；

对于B，，，该等式正确，所以B正确；

对于C，，该等式正确，所以C正确；

对于D，，

，

∴，该等式正确，所以D正确.  故选BCD．

2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（       ）

A．    B．    C．    D．

解：因为，，

所以，，

所以向量在向量上的投影向量是

. 故选C

3．如图,已知直三棱柱中, 为的中点, .求证：

（1）；

（2）平面．

证明：（1）如图,以点为原点, 所在直线

分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.

设,则,

,

所以

因为

所以，即.

（2）取的中点,连接,因为,

所以，又,所以

又和不共线,所以

又平面,平面,

所以平面.

4．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，分别为的中点.若.

（1）求；

（2）求异面直线与所成角的余弦值；

（3）判断四边形的形状.

解：（1）如图，以为原点，射线为轴，轴，轴的正半轴，建立空间直角坐标系.

则，，，，，，

所以，则.

 （2）由（1）知，，，

所以

所以异面直线与所成角的余弦值为

（3）因为，所以四边形AEFG是平行四边形，

又，

所以，即，

又，

所以四边形是矩形.

（四）归纳小结，回顾重点

（五）作业布置，精炼双基

1.完成课本习题1.3   4-9

2.预习1.4  空间向量的应用

五、教学反思：（课后补充，教学相长）