福建省三明市三元区2022-2023学年上学期九年级期中数学试卷 (含答案)

2022-2023学年福建省三明市三元区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个边项中，只有一个符合题目要求的。

1．一元二次方程的常数项是　　

A．1 B．2 C．3 D．

2．小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是　　

A． B． C． D．

3．下列各组线段（单位：中，成比例线段的是　　

A．1、2、2、3 B．1、2、3、4 C．1、2、2、4 D．3、5、9、13

4．在下列各组图形中，一定相似的是　　

A． B． 

C． D．

5．某实验小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是　　

A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小刚随机出的是“石头” 

B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽取一张牌的花色是方块 

C．布袋中有1个红球和2个黄球，它们只是颜色上有区别，从中任取一球是黄球 

D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的点数是4

6．下列选项中能使成为菱形的是　　

A． B． C． D．

7．将方程配方后，原方程可变形为　　

A． B． C． D．

8．如图，正方形中，点是对角线上的一点，且，连接，，则的度数为　　

A． B． C． D．

9．观察表格中数据，一元二次方程的一个近似解为　　

A． B． C． D．

10．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与，交于点，，连结，交于点，连结，．若，，则下列结论：

①；

②四边形是菱形；

③垂直平分线段；

④．其中正确结论的个数是　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.

11．如果，那么　　．

12．如图，直线，，，，则的长是　 　．

13．在一个不透明的盒子里装有5个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中、不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数地来越大，摸到墨球的频率逐渐稳定在0.25左右，则据此估计盒子中大约有白球 　　个．

14．已知，，，则　　．

15．已知，且，则　　．

16．若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为 　　．

三、解答题：本题共9小题，共86分，作图或添辅助线用铅笔画完，需用水笔再描黑.

17．（8分）解方程：

（1）；

（2）．

18．（8分）如图，在正方形中，、分别是、的中点，，连接，交于点，求证：

（1）；

（2）．

19．（8分）图①、图②是两张大小、形状完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点和点在小正方形的顶点上，请在图①、图②中各画一个四边形，满足以下要求：

（1）在图①中以为边画菱形，点、在小正方形顶点上，且菱形的面积为3；

（2）在图②中以为边画，点、在小正方形的顶点上，且此平行四边形一条对角线的长等于的长；

（3）求图②中的面积．

20．（8分）关于的一元二次方程．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的一个根为，求方程的另一个根．

21．（8分）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1、2、3、4、的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验前先搅拌均匀．

（1）若从中任取一球，球上数字为偶数的概率是多少？

（2）若从中任取一球（不放回），再从中任取一球，请用画树状图或列表格的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率．

22．（10分）若一元二次方程的两根为，则，，我们把这个命题叫做韦达定理．设，是方程的两根，请根据韦达定理求下列各式的值：

（1）　　；　　；

（2）；

（3）．

23．（10分）已知四边形中，，连接，过点作的垂线交于点，连接．

（1）如图1，若，求证：四边形是菱形；

（2）如图2，连接，设，相交于点，垂直平分线段．

（ⅰ）求的大小；

（ⅱ）若，求证：．

24．（12分）某租赁公司拥有汽车100辆．据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆，租出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车辆每月只需维护费100元．

（1）当每辆车的月租金为4600元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？

（2）规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到40.4万元？

（3）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到最大值，最大收益是多少？

25．（14分）已知矩形中，，是边上一点，连接，将沿着直线折叠得到．

（1）若；

①如图1，若点在边上，的长为 　　；

②、、三点在同一直线上时，求的长；

（2）如图3，当点是的中点时，此时点落在矩形内部，延长交于点，若点是的三等分点，求的长．

2022-2023学年福建省三明市三元区九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

1．【解答】解：，

移项，得，

一元二次方程的常数项是．

故选：．

2．【解答】解：一共有10种等可能的结果0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，小军能一次打开该旅行箱的只有1种情况，

小军能一次打开该旅行箱的概率是：．

故选：．

3．【解答】解：、，故选项错误；

、，故选项错误；

、，故选项正确；

、，故选项错误．

故选：．

4．【解答】解：、形状不相同，不相似，不符合题意；

、形状不相同，不相似，不符合题意；

、形状不相同，不相似，不符合题意；

、形状相同，相似，符合题意．

故选：．

5．【解答】解：、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小刚随机出的是“石头“的概率为，故选项不符合题意；

、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是；故选项不符合题意．

、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是红球的概率为，故选项不符合题意；

、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为，故选项符合题意．

故选：．

6．【解答】解：、四边形是平行四边形，

，故选项不符合题意；

、四边形是平行四边形，，

为菱形，故选项符合题意；

、四边形是平行四边形，，

为矩形，故选项不符合题意；

、四边形是平行四边形，，

为矩形，故选项不符合题意；

故选：．

7．【解答】解：，

，

则，即，

故选：．

8．【解答】解：四边形为正方形，

，，

，

，

．

故选：．

9．【解答】解：当时，；当时，．

一元二次方程的一个近似解为．

故选：．

10．【解答】解：在矩形中，，

，

是的中点，

，

在和中，

，

，

，

故①选项正确；

在矩形中，，，

，

，

四边形是平行四边形，

，，

，

，

，，

，

，

，

，

垂直平分线段，

，

四边形是菱形，

故②选项正确；

，，

是等边三角形，

，

，

垂直平分线段，

故③选项正确；

，，

，

，

，，

，

，

，

故④选项不正确，

综上所述，正确的有①②③，

故选：．

11．【解答】解：，

，

．

故答案为：．

12．【解答】解：线，

，

，，，

，

，

故答案为：6．

13．【解答】解：设估计盒子中大约有白球个，根据题意得：

，

解得：，

经检验是原方程的解，

答：估计盒子中大约有白球15个．

故答案为：15．

14．【解答】解：，，

，

，

．

故答案为：100．

15．【解答】解：设，则，，，

因为，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，，，

所以

．

故答案为：6．

16．【解答】解：关于的一元二次方程有一根为，

一元二次方程必有．

．

故答案为：．

17．【解答】解：（1），

移项得，

配方得，即，

开方得，

，．

（2），

移项得：，

分解因式得：，

所以或，

解得：，．

18．【解答】证明：（1）四边形是正方形，

，，

，

，即，

在和中，

，

；

（2）由（1）知，

，

，即，

，

，

．

19．【解答】解：（1）如图①中，四边形即为所求；

（2）如图②中，四边形即为所求；

（3）的面积．

20．【解答】（1）证明：△

，

方程总有两个实数根；

（2）设方程的另一个根为，

根据根与系数的关系得，，

解得，，

即方程的另一根为1．

21．【解答】解：（1）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1、2、3、4、的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，

若从中任取一球，球上数字为偶数的概率是：；

（2）画树状图得：

共有12种等可能的结果，两个球上的数字之和为偶数的有4种情况，

两个球上的数字之和为偶数的概率为：．

22．【解答】解：（1），是方程的两根，

，，

故答案为：5，2；

（2）

；

（3），是方程的两根，

，

得，

．

23．【解答】（1）证明：设与交于点，

，，

，

，

，

，

，

，

四边形是平行四边形，

，

平行四边形是菱形；

（2）解：垂直平分，

且，

，

又且，

垂直平分，

，

，

，

又，

；

证明：由得，

又，

，

同理可得，在等腰中，，

，

在与中，

，

，

，

又，

，

即．

24．【解答】解：（1）因为月租金4600元，未租出6辆车，租出94辆车；

月收益：（元，即38.48万元．

（2）设上涨个100元，由题意得

整理得：

解得：，，

因为规定每辆车月租金不能超过7200元，

所以取，．

答：月租金定为5000元；

（3）设上涨个100元，月收益为元，则，

，

有最大值．

当，最大值，

即每辆车的月租金定为7200元时，租赁公司的月收益最大，是452400元．

25．【解答】解：（1）四边形是矩形，

，，，

①如图1，点在边上，

由折叠得，

，

，

故答案为：6．

②如图2，由折叠得，，

平分，，，

，

，

，

，

，

，

的长为2．

（2）如图3，连接，

点是的中点，

，

由折叠得，，，

，，

在和中，

，

，

设，

点是的三等分点，

，，

，

，

解得，（不符合题意，舍去），

，

的长为．

声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/11/25 8:27:42；用户：陈文祺；邮箱：15395952626；学号：38764849