【备战2023高考】数学考点全复习——第46讲《平面的性质与点线面的位置关系》精选题（新高考专用）

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第46讲 平面的性质与点线面的位置关系

【基础知识回顾】
1、 平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(注意：三点不一定能确定一个平面)．
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
2、 空间中两直线的位置关系
(1)空间中两直线的位置关系
　　　 　　　　　　　　　　　　
(1)两条异面直线不能确定一个平面．
(2)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线.
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：.
(3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补．
(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．
(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补．
(3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向都相反，那么这两个角相等．　　　　　　　
知识点三 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．
(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
3、知识必备
1．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
2．异面直线的两个结论
(1)平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
(2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面．

1、a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(　　)
A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面
B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交
C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等
D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c
【答案】C
【解析】　若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，
则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；
由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.
2、如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是(　　)

A．直线AC
B．直线AB
C．直线CD
D．直线BC
【答案】C　
【解析】　由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，
又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，
所以点D在平面ABC与平面β的交线上．
又因为C∈平面ABC，C∈β，
所以点C在平面β与平面ABC的交线上，
所以平面ABC∩平面β＝CD.
3、如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是(　　)
A．A，M，O三点共线
B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面
D．B，B1，O，M共面
【答案】A　
【解析】　连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，
∴A1，C1，A，C四点共面，
∴A1C⊂平面ACC1A1，
∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，
又M∈平面AB1D1，
∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．
∴A，M，O三点共线．
4、 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】　如图，因为AB∥CD，
所以AE与CD所成角为∠EAB.
在Rt△ABE中，设AB＝2，
则BE＝，
则tan∠EAB＝＝，
所以异面直线AE与CD所成角的正切值为.
5、(2022·厦门模拟)下列说法正确的是(　　)
A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面
B．和同一条直线异面的两直线一定共面
C．与两异面直线分别相交的两直线一定不平行
D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交
【答案】　C
【解析】　两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，故A错误；
如图1，直线DD1与B1C1都是直线AB的异面直线，同样DD1与B1C1也是异面直线，故B错误；
如图2，设直线AB与CD是异面直线，则直线AC与BD一定不平行，否则若AC∥BD，有AC与BD确定一个平面α，则AC⊂α，BD⊂α，所以A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，所以AB⊂α，CD⊂α，这与假设矛盾，故C正确；
如图1，AB∥CD，而直线AA1与AB相交，但与直线CD不相交，故D错误．
　　
图1　　　　　　　　图2
6、(2022·渭南模拟)在空间中，给出下面四个命题，其中假命题为________．(填序号)
①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；
②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β；
③若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；
④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．
【答案】　①②④
【解析】　对于①，当平面α外两点的连线与平面α垂直时，此时过两点有无数个平面与平面α垂直，所以①不正确；
对于②，若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，平面α与β可能平行，也可能相交，所以②不正确；
对于③，直线l与平面内的任意直线垂直时，得到l⊥α，所以③正确；
对于④，两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条相交直线或两条平行直线或直线和直线外的一点，所以④不正确．

考向一　 平面的基本性质及应用
例1、如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：


(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．





【证明】　(1)连接EF，CD1，
A1B. ∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．
(2)∵EF∥CD1，EF2＝EN.∴BM≠EN.

又∵点M，N，B，E均在平面BED内，∴BM，EN在平面BED内，又BM与EN不平行，∴BM，EN是相交直线，故选B.
3、(2018·全国Ⅱ卷)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.由条件可知D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，)，B1(1，1，)，所以＝(－1，0，)，＝(1，1，).则cos〈，〉＝＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.

4、(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 C
【解析】取DD1中点F，连EF，AF，AE，易知EF∥DC，所以∠AEF为两异面直线所成的角．在Rt△AEF中，令正方体棱长为1，则EF＝1，AF＝，所以tan∠AEF＝＝.故选C.