【备战2023高考】数学考点全复习——第55讲《两条直线的位置关系》精选题（新高考专用）

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第55讲 两条直线的位置关系

【基础知识回顾】
知识梳理
1. 斜率存在的两条直线平行与垂直
若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
则l1∥l2⇔k1＝k2，b1≠b2；
l1⊥l2⇔k1·k2＝－1；
l1与l2重合⇔k1＝k2，b1＝b2．
2. 直线的一般式方程中的平行与垂直条件
若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(其中A1，B1不同时为0，A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0．
3. 两直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组
的解一一对应．
(1)相交⇔方程组有一组解；
(2)平行⇔方程组无解；
(3)重合⇔方程组有无数组解．
4. 已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则两点间的距离为d＝．
5. 设点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，则点P到直线l的距离为d＝
．
6. 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0)之间的距离d＝．
7.五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
7. (5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．

1、点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为(　　)
A．2 B.
C. D.
【答案】　C
【解析】　点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为d＝＝.
2、直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于(　　)
A．2 B．－3
C．2或－3 D．－2或－3
【答案】　C
【解析】直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠(m≠0)，
故m＝2或－3.
3、直线l1：2x＋y－1＝0和l2：x－2y＋7＝0的交点的坐标为________．
【答案】(－1,3)
【解析】解方程组得
所以两条直线交点的坐标为(－1,3).
4、坐标原点(0，0)关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是(　　)
A． B． C． D．
【答案】：A
【解析】：设对称点的坐标为(x0，y0)，则解得即所求点的坐标是，故选A．
5、数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(1，0)，B(0，2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为(　　)
A．4x＋2y＋3＝0 B．2x－4y＋3＝0 C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0
【答案】：B
【解析】：因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线，
又A(1，0)，B(0，2)，故AB的中点为，kAB＝－2，
故AB的中垂线方程为y－1＝，即2x－4y＋3＝0. 故选B．

考向一　 两条直线的位置关系
例1、(1)已知直线l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，则实数a的值为(　　)
A．－ B．0 C．－或0 D．2
(2)已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0垂直，则a等于(　　)
A．1 B． C．0 D．0或
【答案】：(1)C (2) B
【解析】：(1)若a≠0，则由l1∥l2⇒＝，故2a＋2＝－1，即a＝－；若a＝0，l1∥l2，故选C．
(2)由l1与l2垂直可知，×＝－1，解得a＝，故选B．
变式1、　(1)(2022·汉中模拟)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0(a∈R)，则“ea＝”是“l1∥l2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】　A
【解析】　当l1∥l2时，
解得a＝－1或a＝2.
而由ea＝，解得a＝－1，
所以“ea＝”是“l1∥l2”的充分不必要条件．
(2)(2022·长春模拟)已知直线l经过点(1，－1)，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l的方程为(　　)
A．2x＋y－1＝0 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．2x－y－3＝0
【答案】　C
【解析】　∵直线l与直线2x－y－5＝0垂直，
∴设直线l的方程为x＋2y＋c＝0，
∵直线l经过点(1，－1)，
∴1－2＋c＝0，即c＝1.
直线l的方程为x＋2y＋1＝0.
变式2、(多选)已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是(　　)
A.若l1∥l2，则m＝－1或m＝3
B.若l1∥l2，则m＝3
C.若l1⊥l2，则m＝－
D.若l1⊥l2，则m＝
【答案】　BD
【解析】　若l1∥l2则1×3－m(m－2)＝0，解得m＝3或m＝－1，
当m＝－1时，l1：x－y－1＝0，l2：x－y－1＝0，l1与l2重合，
∴m＝－1(舍去)，故m＝3，故B正确；
若l1⊥l2，则1×(m－2)＋m×3＝0，解得m＝，故C不正确，D正确.
方法总结：(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．
考向二 两条直线的交点问题
例2、求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．
【答案】：5x＋3y－1＝0
【解析】：方法一　先解方程组得l1，l2的交点坐标为(－1，2)，
再由l3的斜率求出l的斜率为－，
于是由直线的点斜式方程求出l：y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0．
方法二　由于l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，
而l过l1，l2的交点(－1，2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，
故l的方程为5x＋3y－1＝0．
方法三　由于l过l1，l2的交点，故l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一条，
将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0．其斜率为－＝－，解得λ＝，
代入直线系方程得l的方程为5x＋3y－1＝0．
变式1、已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________.
【答案】　
【解析】　由方程组
解得
(若2k＋1＝0，即k＝－，则两直线平行)
∴交点坐标为.
又∵交点位于第一象限，∴
解得－＜k＜.
变式2、三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是(　　)
A．k∈R B．k∈R且k≠±1，k≠0
C．k∈R且k≠±5，k≠－10 D．k∈R且k≠±5，k≠1
【答案】C　
【解析】)由l1∥l3得k＝5；由l2∥l3，得k＝－5；由x－y＝0与x＋y－2＝0，得x＝1，y＝1，若l1，l2的交点(1,1)在l3上，则k＝－10.若l1，l2，l3能构成一个三角形，则k≠±5，且k≠－10，故选C.
变式3、经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________．
【答案】　4x＋3y－6＝0
【解析】　由方程组得
即P(0,2)．
因为l⊥l3，所以直线l的斜率k＝－，
所以直线l的方程为y－2＝－x，
即4x＋3y－6＝0.
方法总结：(1)求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标．
(2)求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，常用的直线系方程如下：
①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R，且m≠C)；②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；③过直线l1：A1x＋B1y＋C1 ＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
考向三 两直线的距离问题
例3、已知点P(2，－1)．
(1)求过点P且与原点距离为2的直线l的方程．
(2)求过点P且与原点距离最大的直线l的方程，并求出最大距离．
(3)是否存在过点P且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．

【解析】　(1)过点P的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，－1)，可见过P(2，－1)垂直于x轴的直线满足条件．此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由已知得＝2，解得k＝.此时l的方
程为3x－4y－10＝0.综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
(2)过点P与原点O距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，由l⊥OP，得klkOP＝－1.∴kl＝－＝2.由直线的点斜式方程得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，最大距离为＝.
(3)由(2)可知，过P点不存在与原点距离超过的直线，∴不存在过P点且与原点距离为6的直线．

变式1、(1)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】　C
【解析】因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，
所以|PQ|的最小值为.
(2)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　)
A．1 B. C. D．2
【答案】　B
【解析】由y＝k(x＋1)可知直线过定点P(－1,0)，设A(0，－1)，当直线y＝k(x＋1)与AP垂直时，点A到直线y＝k(x＋1)的距离最大，
即为|AP|＝.
变式2、(多选)(2022·济南调研)已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为(　　)
A.2x＋3y－8＝0 B.4x＋6y＋5＝0
C.6x＋9y－10＝0 D.12x＋18y－13＝0
【答案】　BD
【解析】　设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，
直线l到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，
由题意知d1＝，d2＝.
因为＝，所以＝，
即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－，即直线l为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.
变式3、直线l1经过点(3,0)，直线l2经过点(0,4)，且l1∥l2，d表示l1和l2之间的距离，则d的取值范围是________．
【答案】　(0,5]
【解析】当直线l1，l2都与过(3,0)，(0,4)两点的直线垂直时，
dmax＝＝5；
当直线l1和l2都经过(3,0)，(0,4)两点时，两条直线重合．
所以0